Correttezza del procedimento per corpo rigido
Ciao a tutti. Per questo esercizio ho applicato un procedimento che vorrei la conferma da voi essere giusto o meno. "Un corpo rigido, formato da un'asta di massa $ m=1,5 kg $ e lunghezza $ d $ e da un disco di eguale massa e raggio $ R=d/4 $ , è posato sopra un piano orizzontale su cui può muoversi senza attrito ed è inizialmente in quiete. Un punto materiale, di massa $ M=0,4 kg $ , in moto con velocità $ v=10m/S $ , urta il corpo rigido nel punto P distante $ r=7/8d $ dall'estremo O e vi resta attaccato. Nell'ipotesi che sul corpo non agisca nessun vincolo, 1) descrivere il moto del sistema corpo-punto dopo l'urto, precisando se si tratta di moto rotatorio, traslatorio, o rototraslatorio; 2) calcolare la velocità del CM del sistema dopo l'urto.
Io ho fatto questo: supponendo che il moto sia rotatorio mi sono calcolato i momenti della forza peso dell'asta e del disco rispetto al punto P (polo), ed ho trovato una uguaglianza, per cui la differenza dei momenti è 0, ergo $ alpha $ è nulla; di conseguenza non c'è rotazione e dunque il moto è traslatorio. E' giusto questo procedimento? Generalemente come posso, anche in un altro esercizio, determinare se il moto di un sistema è rotatorio, traslatorio o rototraslatorio? Nel libro successivamente, per il punto 3) , porta la conservazione del momento angolare rispetto al punto O ma non ho ben chiaro come, mi potete aiutare a capire? Grazie a tutti anticipatamente per le risposte
Io ho fatto questo: supponendo che il moto sia rotatorio mi sono calcolato i momenti della forza peso dell'asta e del disco rispetto al punto P (polo), ed ho trovato una uguaglianza, per cui la differenza dei momenti è 0, ergo $ alpha $ è nulla; di conseguenza non c'è rotazione e dunque il moto è traslatorio. E' giusto questo procedimento? Generalemente come posso, anche in un altro esercizio, determinare se il moto di un sistema è rotatorio, traslatorio o rototraslatorio? Nel libro successivamente, per il punto 3) , porta la conservazione del momento angolare rispetto al punto O ma non ho ben chiaro come, mi potete aiutare a capire? Grazie a tutti anticipatamente per le risposte
Risposte
Il sistema poggia su un piano orizzontale , senza attrito.no ? Esso ha il solo scopo di equilibrare i pesi , sia del corpo dato che della massa urtante, ma non ha alcuna influenza sulla dinamica dell'urto anelastico in oggetto. Devi ragionare circa il moto del sistema sul piano, come se il sistema fosse isolato.
Ho detto questo, perchè mi pare che tu abbia una difficoltà a trovare il centro di massa, visto che fai i momenti dei pesi.
In generale, dati più corpi di forma semplice, supponiamo omogenei, devi concentrare la massa di ognuno nel CM rispettivo. Il CM del sistema ha coordinate $(x,y,z)$ , in un opportuno riferimento, date da :
$x = (m_1x_1 + m_2x_2 + .....) /(m_1 + m_2 +....) $
e analoghe per y e z . Una quantità come $mx$ si chiama "momento statico" di $m$ , e il centro di massa ha coordinata $x$ uguale al rapporto tra la somma dei momenti statici rispetto al piano $yz$ e la massa totale . E cosí per le altre due coordinate. Non occorre invocare il "peso".
Se poi ci sono assi di simmetria, il CM giace su questi assi di simmetria. Se la distribuzione è piana, come nel tuo caso, il CM giace sul piano.
Nel tuo caso, hai un'asta di massa $m$, un disco di ugual massa, e una massa $M$ che colpisce anelasticamente l'asta e si attacca nel punto $P$, che dista $7/8d$ da $O$ . Risulta, a conti fatti, che il punto $P$ coincide col CM del sistema iniziale (asta + disco). Quindi la retta lungo la quale si muove $M$ passa per il CM del sistema (asta + disco) prima dell'urto, dunque il CM finale sarà ancora coincidente con $P$ : il sistema finale non ruota ma trasla soltanto.
Diversamente, il moto sarebbe rototraslatorio. Cioè , se il punto di impatto non fosse il CM del sistema prima dell'urto , si avrebbe un CM finale, diverso da quello iniziale, che trasla con una certa velocità , mentre il sistema finale ruota rispetto a tale CM.
La velocità di traslazione si trova con la conservazione della q.di moto .
Il sistema finale trasla e ruota quando la retta su cui viaggia $M$ non passa per il CM iniziale. Allora non passerà neanche per il CM finale. Si assume il centro di massa finale come polo per il calcolo del momento angolare, e si scrive la conservazione del momento angolare del sistema rispetto a tale polo , per determinare la velocità angolare.
Se l'asta è imperniata in $O$ , si deve assumere $O$ come polo per il calcolo del momento angolare , e imporre anche qui la conservazione del momento angolare .
Un consiglio per usare imgur.com : se hai un'immagine salvata come .png o .jpeg, basta che la carichi su imgur , copi il link che ti dà e lo incolli nel messaggio.
Ho detto questo, perchè mi pare che tu abbia una difficoltà a trovare il centro di massa, visto che fai i momenti dei pesi.
In generale, dati più corpi di forma semplice, supponiamo omogenei, devi concentrare la massa di ognuno nel CM rispettivo. Il CM del sistema ha coordinate $(x,y,z)$ , in un opportuno riferimento, date da :
$x = (m_1x_1 + m_2x_2 + .....) /(m_1 + m_2 +....) $
e analoghe per y e z . Una quantità come $mx$ si chiama "momento statico" di $m$ , e il centro di massa ha coordinata $x$ uguale al rapporto tra la somma dei momenti statici rispetto al piano $yz$ e la massa totale . E cosí per le altre due coordinate. Non occorre invocare il "peso".
Se poi ci sono assi di simmetria, il CM giace su questi assi di simmetria. Se la distribuzione è piana, come nel tuo caso, il CM giace sul piano.
Nel tuo caso, hai un'asta di massa $m$, un disco di ugual massa, e una massa $M$ che colpisce anelasticamente l'asta e si attacca nel punto $P$, che dista $7/8d$ da $O$ . Risulta, a conti fatti, che il punto $P$ coincide col CM del sistema iniziale (asta + disco). Quindi la retta lungo la quale si muove $M$ passa per il CM del sistema (asta + disco) prima dell'urto, dunque il CM finale sarà ancora coincidente con $P$ : il sistema finale non ruota ma trasla soltanto.
Diversamente, il moto sarebbe rototraslatorio. Cioè , se il punto di impatto non fosse il CM del sistema prima dell'urto , si avrebbe un CM finale, diverso da quello iniziale, che trasla con una certa velocità , mentre il sistema finale ruota rispetto a tale CM.
La velocità di traslazione si trova con la conservazione della q.di moto .
Il sistema finale trasla e ruota quando la retta su cui viaggia $M$ non passa per il CM iniziale. Allora non passerà neanche per il CM finale. Si assume il centro di massa finale come polo per il calcolo del momento angolare, e si scrive la conservazione del momento angolare del sistema rispetto a tale polo , per determinare la velocità angolare.
Se l'asta è imperniata in $O$ , si deve assumere $O$ come polo per il calcolo del momento angolare , e imporre anche qui la conservazione del momento angolare .
Un consiglio per usare imgur.com : se hai un'immagine salvata come .png o .jpeg, basta che la carichi su imgur , copi il link che ti dà e lo incolli nel messaggio.
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