Corrente indotta in una spira!
Ciao a tutti 
Vorrei chiedere un aiuto nel risolvere questo problema. C''è di seguito allegata la mia risoluzione, solo che mi viene sballata di due tre ordini di grandezza... quindi non riesco a capire se ho sbagliato io a importare il procedimento e per caso il risultato ottenuto coincide con una delle possibili scelte del quiz, oppure se c'è un errore di tipo dimensionale dei passaggi....
Ecco il testo:
Una spira quadrata di lato b=1,4cm e resistenza elettrica $ R=18 \Omega $, è posta alla distanza $ a=2,1cm $ da un filo rettilineo indefinito percorso da corrente I. La corrente che fluisce nel filo varia nel tempo secondo la legge
$ I=I_0e^(-lambdat ) $ , dove $ I_0=30A $ e $ lambda=0,4s^-1 $ . IL valore della corrente indotta nella spira al tempo $ tau=2s $ quanto vale?
Per procedere ho ragionato così:
Ho considerato la corrente indotta nella spira come
$ i=epsilon_i/R=-\frac{d\Phi(B)}{Rdt} $ .
$ \Phi(B)=int_(\Sigma) B \cdot u_n d\Sigma $ = $ Bb^2 $ con B il campo magnetico generato dal filo percorso da corrente.
Per trovare B ho fatto
$ intdB=int_(a)^(a+b)\frac{\mu_0 I(t)}{2\pir}dr $
$ B=\frac{\mu_0 I(t)}{2\pi}ln(\frac{a+b}{b}) $
e quindi trovo
$ \Phi(B)=\frac{\mu_0 I(t)b^2}{2\pi}ln(\frac{a+b}{b}) $
$ i=-\frac{d\Phi(B)}{dtR}=\frac{\mu_0b^2}{2\pi}I_0\lambdae^(-lambda tau)ln(\frac{a+b}{b}) $
Risolvendo il conto ottengo
$ i=0,12xx10^-12 $ .
Potreste aiutarmi a capire cosa non va nel ragionamento?
Grazie mille
Vorrei chiedere un aiuto nel risolvere questo problema. C''è di seguito allegata la mia risoluzione, solo che mi viene sballata di due tre ordini di grandezza... quindi non riesco a capire se ho sbagliato io a importare il procedimento e per caso il risultato ottenuto coincide con una delle possibili scelte del quiz, oppure se c'è un errore di tipo dimensionale dei passaggi....
Ecco il testo:
Una spira quadrata di lato b=1,4cm e resistenza elettrica $ R=18 \Omega $, è posta alla distanza $ a=2,1cm $ da un filo rettilineo indefinito percorso da corrente I. La corrente che fluisce nel filo varia nel tempo secondo la legge
$ I=I_0e^(-lambdat ) $ , dove $ I_0=30A $ e $ lambda=0,4s^-1 $ . IL valore della corrente indotta nella spira al tempo $ tau=2s $ quanto vale?
Per procedere ho ragionato così:
Ho considerato la corrente indotta nella spira come
$ i=epsilon_i/R=-\frac{d\Phi(B)}{Rdt} $ .
$ \Phi(B)=int_(\Sigma) B \cdot u_n d\Sigma $ = $ Bb^2 $ con B il campo magnetico generato dal filo percorso da corrente.
Per trovare B ho fatto
$ intdB=int_(a)^(a+b)\frac{\mu_0 I(t)}{2\pir}dr $
$ B=\frac{\mu_0 I(t)}{2\pi}ln(\frac{a+b}{b}) $
e quindi trovo
$ \Phi(B)=\frac{\mu_0 I(t)b^2}{2\pi}ln(\frac{a+b}{b}) $
$ i=-\frac{d\Phi(B)}{dtR}=\frac{\mu_0b^2}{2\pi}I_0\lambdae^(-lambda tau)ln(\frac{a+b}{b}) $
Risolvendo il conto ottengo
$ i=0,12xx10^-12 $ .
Potreste aiutarmi a capire cosa non va nel ragionamento?
Grazie mille
Risposte
Sbagliato.......ma come hai calcolato il flusso?? L'esempio del filo e della spira quadrata c'è pure nella Bibbia ormai....
$ \Phi(B)=int_(\Sigma)B\cdotu_nd\Sigma=BSigmacos(\theta) $ ?
No, il campo magnetico $B$ è un vettore ed ha un suo valore in un determinato punto, devi integrare il campo magnetico sulla superficie della spira...qual è l'espressione del campo magnetico generato da un filo indefinito?
che io sappia è $ B=\frac{mu_0i}{2piR}(u_txxu_r)) $ e poi l'ho integrato tra a e a+b
Non devi integrare B, devi integrare il flusso di $B$...B dipende solo dalla distanza dal filo, prendi un'area infinitesima di area $b*dx$ della spira, il flusso di B vale $dPhi=Bbdx$...e integri $dPhi$ tra $a$ e $a+b$
Al posto della R nell'espressione di B chiaramente ci devi mettere x...
Riscrivo il procedimento:
$ i=\frac{\epsilon_i}{R}=-\frac{d\Phi(B)}{Rdt} $ considero
$ Phi(B)=int_(Sigma)B\cdot u_nd\Sigma $ con
B generato dal filo, quindi
$ B=\frac{mu_0i(t)}{2pix} $ con x al posto di R dato che la distanza dal filo varia
$ Phi(B)=\frac{mu_0i(t)}{2pi}int_(a)^(a+b)\frac{dx}{x}=\frac{mu_0i(t)}{2pi}ln(\frac{a+b}{a}) $
Infine ora derivo rispetto al tempo l'espressione del flusso ottenendo
$ i=\frac{mu_0I_0lambdae^(-lambdatau)}{2piR}ln(\frac{a+b}{a}) $
$ i=\frac{\epsilon_i}{R}=-\frac{d\Phi(B)}{Rdt} $ considero
$ Phi(B)=int_(Sigma)B\cdot u_nd\Sigma $ con
B generato dal filo, quindi
$ B=\frac{mu_0i(t)}{2pix} $ con x al posto di R dato che la distanza dal filo varia
$ Phi(B)=\frac{mu_0i(t)}{2pi}int_(a)^(a+b)\frac{dx}{x}=\frac{mu_0i(t)}{2pi}ln(\frac{a+b}{a}) $
Infine ora derivo rispetto al tempo l'espressione del flusso ottenendo
$ i=\frac{mu_0I_0lambdae^(-lambdatau)}{2piR}ln(\frac{a+b}{a}) $
manca una b nel flusso
Si, me ne sono accorto ora di averlo tralasciato.
Chiedo scusa per la perdita di tempo.
Grazie per l'aiuto!
Chiedo scusa per la perdita di tempo.
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