Corrente indotta dalla rotazione di una spira
Ciao a tutti,
ho una spira di raggio \(\displaystyle R \), densità lineare di carica \(\displaystyle \lambda \) che ruota intorno al proprio asse con una velocità angolare costante \(\displaystyle \omega \). Voglio trovare la corrente indotta da questa rotazione.
Io ho ragionato così:
$ \vec J = \lambda \vec v = \lambda \omega R \hat \theta $
Adesso \(\displaystyle I \) è il flusso di \(\displaystyle J \), dunque integrando in coordinate polari:
$ I = \int R \vec J \cdot d\vec l = R \int\lambda \omega R dl= 2 \pi \lambda \omega R^2 $
Il risultato (di cui non ho certezza che sia giusto) dice che $ I = \lambda \omega R $.
Dove ho sbagliato?
ho una spira di raggio \(\displaystyle R \), densità lineare di carica \(\displaystyle \lambda \) che ruota intorno al proprio asse con una velocità angolare costante \(\displaystyle \omega \). Voglio trovare la corrente indotta da questa rotazione.
Io ho ragionato così:
$ \vec J = \lambda \vec v = \lambda \omega R \hat \theta $
Adesso \(\displaystyle I \) è il flusso di \(\displaystyle J \), dunque integrando in coordinate polari:
$ I = \int R \vec J \cdot d\vec l = R \int\lambda \omega R dl= 2 \pi \lambda \omega R^2 $
Il risultato (di cui non ho certezza che sia giusto) dice che $ I = \lambda \omega R $.
Dove ho sbagliato?
Risposte
Il risultato è corretto e senza accorgertene lo avevi già ricavato anche tu inizialmente, pensando fosse la densità di correte, ma non poteva esserlo, visto che era già dimensionalmente errata.
"RenzoDF":
Il risultato è corretto e senza accorgertene lo avevi già ricavato anche tu inizialmente, pensando fosse la densità di correte, ma non poteva esserlo, visto che era già dimensionalmente errata.
Ma perchè il risultato dovrebbe essere quello?
Puoi vederlo come rapporto fra carica e tempo: la carica $Q=\lambda \ 2\piR$, il tempo impiegato dalla spira per compiere un giro \(T=2\pi/\omega\).
"RenzoDF":
Puoi vederlo come rapporto fra carica e tempo: la carica $Q=\lambda \ 2\piR$, il tempo impiegato dalla spira per compiere un giro \(T=2\pi/\omega\).
Ma cos'è sbagliato nel mio ragionamento? Non si può definire la densità di carica nel caso lineare?
"DamunaTaliffato":
...Non si può definire la densità di carica nel caso lineare?
Certo che si può, te la ha fornita il testo come dato. Come misura avrà \(\text{C/m}\), moltiplicandola poi per la velocità \(\text{m/s}\), avrai l'intensità di corrente associata alla rotazione della spira, che come ben sai si misura in \(\text{A=C/s}\)
non la densità di corrente che, se "volumetrica" si misura in \(\text{A}/\text{m}^2\), se "superficiale" in \(\text{A}/\text{m}\).
Non capisco poi quel flusso, attraverso quale superficie andavi a calcolarlo, e cosa sei andato ad integrare.
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