Corrente indotta
Due guide conduttrici infinite di resistenza trascurabile sono collegate ad un estremo da un generatore di forza elettromotrice che le mantiene alla differenza di potenziale DV. Un tratto di filo conduttore AB di lunghezza b, resistenza R e massa m, può scorrere senza attrito sulle guide. Il circuito è immerso un un campo magnetico B, perpendicolare al piano del circuito e con verso entrante. Il filo è mantenuto in quiete da un fermo.
Si calcolino:
a) La corrente I che circola nella spira e la potenza P dissipata per effetto Joule.
b) La reazione vincolare F (modulo, direzione e verso) dovuta alla presenza del fermo.
Si rimuova ora il fermo, lasciando il filo libero di muoversi.
a) Si indichi, qualitativamente, l’andamento della velocità v del filo AB in funzione del tempo.
b) Si calcoli la velocità v (modulo, direzione e verso) del filo AB quando viene raggiunta la
velocità di regime (dopo un tempo sufficientemente lungo).
Ciao, io sono in difficoltà con gli ultimi punti, non riesco a trovare una strada per calcolare la velocità v. Io ho pensato l'andamento di v sia asintotico ad una velocità di regime, ma come faccio a calcolarla?
Si calcolino:
a) La corrente I che circola nella spira e la potenza P dissipata per effetto Joule.
b) La reazione vincolare F (modulo, direzione e verso) dovuta alla presenza del fermo.
Si rimuova ora il fermo, lasciando il filo libero di muoversi.
a) Si indichi, qualitativamente, l’andamento della velocità v del filo AB in funzione del tempo.
b) Si calcoli la velocità v (modulo, direzione e verso) del filo AB quando viene raggiunta la
velocità di regime (dopo un tempo sufficientemente lungo).
Ciao, io sono in difficoltà con gli ultimi punti, non riesco a trovare una strada per calcolare la velocità v. Io ho pensato l'andamento di v sia asintotico ad una velocità di regime, ma come faccio a calcolarla?
Risposte
"Albi":
... Io ho pensato l'andamento di v sia asintotico ad una velocità di regime, ...
Certo che sì, la velocità tenderà asintoticamente al valore finale, che teoricamente sarà raggiunto solo dopo un tempo infinito, non "abbastanza lungo". Non capisco perché non venga richiesta la funzione del tempo v(t) per la velocità, ad ogni modo rispondendo a questa semplice domanda:
quand'è che una generica velocità non aumenta/diminuisce più?
... sarà semplice determinare la velocità asintotica $v(\infty)$.
Se guardi sul Forum ci sono molti post sul problema in questione. Ad esempio puoi guardare qui.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=226264
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=226264
Ma il problema dice che c'è anche un generatore di tensione, influisce sul bilancio delle forze? O almeno della corrente?
Certo. Se scrivi l'equazione del circuito avrai che la tensione del generatore è uguale alla caduta sul resistore e alla forza contro elettromotrice dovuta al movimento.
Se moltiplichi questa relazione per la corrente hai una chiara relazione energetica:
potenza erogata dal generatore = potenza dissipata nel resistore + potenza meccanica ceduta al conduttore mobile
Rispetto ad altri casi in cui la potenza meccanica (gravitazionale) viene convertita in energia elettromagnetica che si trasforma poi in energia cinetica, questo è un caso di motore elettrico (molto semplice) in cui alimenti per produrre direttamente energia meccanica.
Se moltiplichi questa relazione per la corrente hai una chiara relazione energetica:
potenza erogata dal generatore = potenza dissipata nel resistore + potenza meccanica ceduta al conduttore mobile
Rispetto ad altri casi in cui la potenza meccanica (gravitazionale) viene convertita in energia elettromagnetica che si trasforma poi in energia cinetica, questo è un caso di motore elettrico (molto semplice) in cui alimenti per produrre direttamente energia meccanica.
Posso condividermi i miei conti per un controllo?
L'equazione differenziale che si trova è: $m{dv}/{dt} = -BbI_{t}$ dove $I_{t} = \frac{Blv - \DeltaV}{R}$.
Così ottengo ${dv}/{dt} = -\frac{B^2b^2}{mR}*v + \frac{Bb\DeltaV}{mR} $ ed imponendo la condizione inziale $v(0) = 0 $ trovo:
$v(t) = \frac{\DeltaV}{Bb}(1 - e^{-\frac{B^2b^2}{mR}*t})$ e la velocità per un tempo abbastanza elevato è $v = \frac{\DeltaV}{Bb}$
L'equazione differenziale che si trova è: $m{dv}/{dt} = -BbI_{t}$ dove $I_{t} = \frac{Blv - \DeltaV}{R}$.
Così ottengo ${dv}/{dt} = -\frac{B^2b^2}{mR}*v + \frac{Bb\DeltaV}{mR} $ ed imponendo la condizione inziale $v(0) = 0 $ trovo:
$v(t) = \frac{\DeltaV}{Bb}(1 - e^{-\frac{B^2b^2}{mR}*t})$ e la velocità per un tempo abbastanza elevato è $v = \frac{\DeltaV}{Bb}$
Visto che il tuo dubbio era solo quello di determinare la velocità asintotica, con il mio suggerimento, cercavo di indicarti la strada più breve per ottenerla ovvero: per avere una velocità costante, l'accelerazione ... e quindi la forza ... e quindi la corrente deve essere nulla, a tal fine la fem indotta deve uguagliare la fem del generatore. 
$B\ b\ v(\infty)=\Delta V$
$B\ b\ v(\infty)=\Delta V$
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