Corpo rigido e urto
Ho un dubbio sul seguente testo:
"Un’asta rigida di sezione trascurabile, lunga $l = 1 m$ e di massa $M = 12 Kg$ è imperniata nel suo centro ed è libera di ruotare in un piano orizzontale. Contro un suo estremo viene lanciato un oggetto di dimensoni trascurabili e di massa $m = 1 Kg$, con velocità $vecv = 2 *u_x m/s$; l’asta è orientata secondo l’asse $y$. Dopo l’urto l’oggetto rimbalza con velocità $vecv_0 = −0.5 *u_x m/s$. Calcolare:
1. la velocità angolare $ω$ dell’asta dopo l’urto;
2. le componenti dell’impulso $vecJ$ comunicato al perno.
Si supponga ora che, con le stesse condizioni iniziali, l’urto avvenga elasticamente. Calcolare in questo
caso:
3. $vecω'$ e $vecJ'$."
[Risoluzione]
Iniziamo considerando al solito un sistema di coordinate cartesiane con l'asse $y$ verso l'alto, l'asse $x$ verso destra e l'asse $z$ uscente dal piano del disegno.
L'urto avviene nel primo caso senza poter supporre che sia elastico, anzi poichè nella parte finale del problema si chiede di supporlo elastico, di sicuro all'inizio non sarà elastico. Pertanto, trattandosi di corpi rigidi, vediamo che non si conserva la quantità di moto perchè l'asta è imperniata nel suo centro, ma si conserva il momento angolare scegliendo proprio il $CM$ come polo per il calcolo dei momenti. L'asta è disposta verticalmente ed è quindi ferma.
Sulla prima parte nulla da dire, la soluzione che ho adottato mi sembra accettabile. Ho solo una domanda (guardare l'immagine per chiarire meglio il concetto): quando il corpo più piccolo che colpisce l'asta si muove, il vettore $vecr$ che identifica la sua posizione rispetto al centro di massa dell'asta varia ovviamente nel tempo. Al momento dell'urto, $vecr$ viene considerato in modulo pari a $l/2$ come se la massa più piccola si disponesse in modo perfettamente perpendicolare all'asta anche se in realtà dovrebbe esserci sempre un piccolo spostamento di $vecr$ tale che $vecr$ e $mvecv$ non siano perfettamente perpendicolari. Spero di essermi spiegato. Come mai si considera $l/2$?
Per quanto riguarda la parte finale del problema ho adesso un dubbio più grande. L'urto viene adesso considerato elastico dunque avremo, come prima, conservazione del momento angolare ma anche conservazione di energia cinetica. Questa volta, però, la velocità del corpo dopo l'urto (che prima valeva in modulo $v'$) non è nota ma dobbiamo determinarla. Abbiamo due equazioni in due incognite: $\omega'$ e $v''$.
Dalla conservazione del momento angolare abbiamo:
$ l/2 * mv = I_Z*\omega' - l/2*mv'' $
Il segno meno in questo termine $ - l/2*mv'' $ credo derivi dal fatto che il vettore velocità viene preso diretto verso sinistra dunque, in base alla regola della mano destra, il verso del vettore $vecL$ risultante sarà discorde al verso dell'asse $z$.
Ma come si fa a dire a priori che la velocità $vecv''$ sarà diretta verso sinistra subito dopo l'urto?
Mi scuso per il messaggio molto lungo.
"Un’asta rigida di sezione trascurabile, lunga $l = 1 m$ e di massa $M = 12 Kg$ è imperniata nel suo centro ed è libera di ruotare in un piano orizzontale. Contro un suo estremo viene lanciato un oggetto di dimensoni trascurabili e di massa $m = 1 Kg$, con velocità $vecv = 2 *u_x m/s$; l’asta è orientata secondo l’asse $y$. Dopo l’urto l’oggetto rimbalza con velocità $vecv_0 = −0.5 *u_x m/s$. Calcolare:
1. la velocità angolare $ω$ dell’asta dopo l’urto;
2. le componenti dell’impulso $vecJ$ comunicato al perno.
Si supponga ora che, con le stesse condizioni iniziali, l’urto avvenga elasticamente. Calcolare in questo
caso:
3. $vecω'$ e $vecJ'$."
[Risoluzione]
Iniziamo considerando al solito un sistema di coordinate cartesiane con l'asse $y$ verso l'alto, l'asse $x$ verso destra e l'asse $z$ uscente dal piano del disegno.
L'urto avviene nel primo caso senza poter supporre che sia elastico, anzi poichè nella parte finale del problema si chiede di supporlo elastico, di sicuro all'inizio non sarà elastico. Pertanto, trattandosi di corpi rigidi, vediamo che non si conserva la quantità di moto perchè l'asta è imperniata nel suo centro, ma si conserva il momento angolare scegliendo proprio il $CM$ come polo per il calcolo dei momenti. L'asta è disposta verticalmente ed è quindi ferma.
Sulla prima parte nulla da dire, la soluzione che ho adottato mi sembra accettabile. Ho solo una domanda (guardare l'immagine per chiarire meglio il concetto): quando il corpo più piccolo che colpisce l'asta si muove, il vettore $vecr$ che identifica la sua posizione rispetto al centro di massa dell'asta varia ovviamente nel tempo. Al momento dell'urto, $vecr$ viene considerato in modulo pari a $l/2$ come se la massa più piccola si disponesse in modo perfettamente perpendicolare all'asta anche se in realtà dovrebbe esserci sempre un piccolo spostamento di $vecr$ tale che $vecr$ e $mvecv$ non siano perfettamente perpendicolari. Spero di essermi spiegato. Come mai si considera $l/2$?
Per quanto riguarda la parte finale del problema ho adesso un dubbio più grande. L'urto viene adesso considerato elastico dunque avremo, come prima, conservazione del momento angolare ma anche conservazione di energia cinetica. Questa volta, però, la velocità del corpo dopo l'urto (che prima valeva in modulo $v'$) non è nota ma dobbiamo determinarla. Abbiamo due equazioni in due incognite: $\omega'$ e $v''$.
Dalla conservazione del momento angolare abbiamo:
$ l/2 * mv = I_Z*\omega' - l/2*mv'' $
Il segno meno in questo termine $ - l/2*mv'' $ credo derivi dal fatto che il vettore velocità viene preso diretto verso sinistra dunque, in base alla regola della mano destra, il verso del vettore $vecL$ risultante sarà discorde al verso dell'asse $z$.
Ma come si fa a dire a priori che la velocità $vecv''$ sarà diretta verso sinistra subito dopo l'urto?
Mi scuso per il messaggio molto lungo.
Risposte
"MrEngineer":
. Come mai si considera $l/2$?
Siccome interessa il momento angolare, e ai fini di questo conta solo la componente y di $vecr$, il valore è sempre $l/2$
"MrEngineer":
Ma come si fa a dire a priori che la velocità $vecv''$ sarà diretta verso sinistra subito dopo l'urto?
.
Mettici pure il segno più, non c'è problema. Caso mai ti verrà che $v''$ è negativo. Che poi non è detto. Dipende dai valori che ci metti dentro.
Grazie mgrau per la preziosa risposta. Provo a mettere il segno più e vedo che succede. Ti farò sapere!
Mi sono perso nei meandri dei calcoli più oscuri
EDIT: ok, sono riuscito a venirne a capo. Avevo dimenticato un elevamento a potenza che faceva impazzire i calcoli. Mettendo segno più al momento $v''$ sarà negativo come previsto. Adesso sì che si può dire che sarà diretto verso sinistra.
Ad essere onesto questa osservazione mi sfugge ancora!
Mi sono perso nei meandri dei calcoli più oscuri
EDIT: ok, sono riuscito a venirne a capo. Avevo dimenticato un elevamento a potenza che faceva impazzire i calcoli. Mettendo segno più al momento $v''$ sarà negativo come previsto. Adesso sì che si può dire che sarà diretto verso sinistra.
"mgrau":
Siccome interessa il momento angolare, e ai fini di questo conta solo la componente y di $vecr$, il valore è sempre $l/2$
Ad essere onesto questa osservazione mi sfugge ancora!
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