Corpi rigidi, pendolo composto

[igol10]

"Un pendolo fisico è costituito da un'asta rigida, di lunghezza L e massa m, alla quale, è saldato, ad una sua estremità, un disco massiccio di massa M e raggio R, come mostrato in figura. Si calcoli il periodo delle piccole oscillazioni del pendolo quando esso è posto in oscillazione attorno all'estremo O dell'asta."

Immagine:


Il libro propone una soluzione per cui viene calcolato il centro di massa dell'intero sistema asta + disco e l'unica forza agente è quindi la forza peso nel centro di massa. Utilizza quindi la seconda equazione cardinale (quella dei momenti, per intenderci) trovando la seguente uguaglianza:

$ I_oalpha = -(M+m)gx_{CM}sintheta $

Che per piccole oscillazioni si può approssimare a:

$ I_oalpha = -(M+m)gx_{CM}theta $

Da qui è facile poi calcolare il periodo: $ T = 2pi sqrt(I_o/((M+m)gx_{CM})) $

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Un altro modo con cui lo stesso problema può essere risolto si ha (invece che calcolando la posizione del centro di massa del sistema) ragionando sui singoli corpi rigidi. Cioè applico la seconda equazione cardinale della dinamica, calcolata sempre rispetto al punto O, al singolo corpo e poi sommo. In pratica:
Per l'asta:
$ I_{a s t a}alpha_1 = -L/2mgsintheta $
Per il disco:
$ I_{d i s c o}alpha_2 = -(L+R)Mgsintheta $
Noto che $ alpha_1 = alpha_2 $ allora sommo le due equazioni e ricavo:
$ (I_{a s t a} + I_{d i s c o})alpha = -(L/2m + (L+R)M)gsintheta $
Che è equivalente all' equazione trovata nel primo metodo:
$ I_oalpha = -(M+m)gx_{CM}sintheta $
Infatti:
$ I_{a s t a} + I_{d i s c o} = I_o$
$ x_{CM} = (mL/2 + (L+R)M)/(m+M) $

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Le mie domande sono:
Questo è un moto di puro rotolamento ? Secondo me sì, perché esiste un punto che in ogni istante ha velocità nulla. Questo punto è il punto O. Ecco perché l'accelerazione del sistema può essere descritto sfruttando una sola equazione cardinale, cioè calcolando i momenti rispetto al punto O attorno al quale c'è appunto puro rotolamento.
Io, in linea di massima, potrei risolvere lo stesso problema rispetto ai centri di massa dei due corpi rigidi?? utilizzando il fatto sempre valido che:
$ (partial vec(p)_{CM})/(partial t) = vec(F)_{ext} $ ( risultante delle forze esterne agenti sul sistema )
$ (partial vec(L)_{CM})/(partial t) = vec(tau)_{CM} $ ( risultante dei momenti delle forze calcolati rispetto al centro di massa)
Se si può fare potreste impostarmi almeno le equazioni rispetto ai due centri di massa dei corpi rigidi?
Grazie

[donald_zeka]

Non capisco perchè ti devi complicare la vita a studiare il moto rispetto al cdm oppure dividendo il sistema in pezzi.

Comunque, non c'entra niente il moto di puro rotolamento, qui non c'è nessun rotolamento (che sarebbe una combinazione di rotazione e traslazione di un corpo in un determinato modo e con determinate proprietà), questa è solo una sbarra imperniata a un punto fisso rispetto al quale si applica la seconda equazione cardinale.

Studiare il moto del sistema nel sistema di riferimento del cdm (ossia applicare la seconda cardinale nel cdm) può essere abbastanza complicato dato che tale sistema di riferimento non è in genere inerziale, cosa che complica molto le cose. Ma non vedo appunto l'utilità di complicarsi la vita in questa maniera quando c'è un punto fisso attorno al quale ruota l'asta.

[igol10]

Ho risolto questo problema in vari modi per un unico motivo: vedere se avessi capito bene la teoria. Con la tua risposta mi sono chiare molte più cose ora e quindi ti ringrazio!