Corpi rigidi in piano ruotante

[CLaudio Nine]

Ciao a tutti!! Ho un dubbio di Fisica 1.

Si consideri un sistema di riferimento ortonormale $Oxyz$.






Si consideri un'asta che si trova in un piano $xy$, come in figura. L'asta ha massa $m$ e lunghezza $2l$. L'angolo che l'asta forma con la verticale è definito come $phi$.

La posizione del centro di massa è:

$(G-O) = { ( x=lsin(phi) ),( y=-lcos(phi) ):} $

L'asse $y$ è fisso e gli assi $x$ e $z$ ruotano attorno all'asse $y$ con velocità angolare $vec(omega)(t)$.

$vec(omega)(t) = omega_0cos(omega_0t) hat(j)$

Devo scrivere l'energia cinetica dell'asta ponendomi in un sistema di riferimento fisso, inerziale, ovvero:

$T= 1/2 m v_g^2 + 1/2 I_g dot(phi)_(text(tot))^2$

Vi faccio due domande:

Domanda numero 1:

La velocità del centro di massa è:

$vec(v)_g= vec(v)text(*)_g + vec(omega) xx (G-O)$

Dove

$ vec(v)text(*)_g = ldot(phi)cos(phi)hat(i) + ldot(phi)sin(phi)$

e

$ vec(omega) xx (G-O)= omega_0cos(omega_0t) hat(j) xx (lsin(phi)hat(i)-lcos(phi) hat(j))$

E' corretto???

Domanda 2

Nel secondo addendo dell'energia cinetica, chi è

$dot(phi)_(text(tot))^2$ ???

Dal libro leggo:

$dot(phi)_(text(tot))^2= dot(phi)^2 + (omega_0cos(omega_0t))^2 $

Qualcuno saprebbe spiegarmi come mai aggiunge quel $(omega_0cos(omega_0t))^2 $ ???

[anonymous_0b37e9]

Intanto:

$[\omega=\omega_0cos(\omega_0t)] rarr [\theta=sin(\omega_0t)]$

Inoltre, per la legge di composizione delle velocità angolari:

$vec\omega_(a s s o l u t a)=vec\omega_(r e l a t i v a)+vec\omega_(t r a s c i n a m e n t o)$

Velocità angolare relativa

$vec\omega_(r e l a t i v a)=dot\phicos\thetaveci+dot\phisin\thetaveck$

Velocità angolare di trascinamento

$vec\omega_(t r a s c i n a m e n t o)=\omega_0cos(\omega_0t)vecj$

Velocità angolare assoluta

$vec\omega_(a s s o l u t a)=dot\phicos\thetaveci+\omega_0cos(\omega_0t)vecj+dot\phisin\thetaveck$

In definitiva:

$\omega_(a s s o l u t a)^2=dot\phi^2cos^2\theta+\omega_0^2cos^2(\omega_0t)+dot\phi^2sin^2\theta=dot\phi^2+\omega_0^2cos^2(\omega_0t)$