Corpi e molla
Due corpi identici, di massa 1Kg, fermi su un piano orizzontale liscio, sono collegati da una molla di costante elastica k=400 N/m. Un terzo corpo, identico ai precedenti, che si muove con velocità v=1m/s urta elasticamente il sistema dei due corpi.
Determinare
il periodo di oscillazione;
la velocità del centro di massa del sistema oscillante;
il massimo valore dell'energia potenziale immagazzinata dalla molla.
Determinare
il periodo di oscillazione;
la velocità del centro di massa del sistema oscillante;
il massimo valore dell'energia potenziale immagazzinata dalla molla.
Risposte
Io ho provato a risolverlo in questo modo, ma ho un dubbio sul risultato del secondo punto:
1) nel centro di massa del sistema oscillante i due corpi attaccati alla molla hanno velocità uguale e percorrono distanze uguali, dal momento che la massa è la stessa.
Quindi se ciascuno dei due corpi percorre una certa distanza [tex]x[/tex] la molla si sarà allungata di [tex]2x[/tex]
L'equazione del moto è:
[tex]-k2x=ma[/tex]
da cui si deduce che la pulsazione è [tex]\omega =\sqrt {\frac {2k}{m}}[/tex] e quindi il periodo è
[tex]T=2\pi\sqrt {\frac {m}{2k}}[/tex]
2)il centro di massa del sistema dei tre corpi ha una velocità pari a [tex]v_{cm}=v/3[/tex]
Rispetto al centro di massa il corpo inizialmente in moto ha una velocità [tex]v_{1}=v-v/3=2/3v[/tex]
mentre la velocità del sistema dei due corpi collegati dalla molla, sempre rispetto al CM del sistema è [tex]v_{s}=0-v/3=-v/3[/tex]
Poichè sul sistema non agiscono forze esterne la quantità di moto totale si conserva.
In particolare nel sistema di riferimento del CM le velocità dei corpi dopo l'urto cambiano solo di segno ma restano uguali in modulo.
Pertanto dopo l'urto, in tale riferimento, la velocità del sistema oscillante sarà [tex]v_{s}=-(-v/3)=v/3[/tex]
La velocità del sistema oscillante nel sistema inerziale fermo è quindi [tex]V_{s}=v_{cm}+v/3=v/3+v/3=2/3v[/tex]
Questo risultato mi lascia perplesso perchè ciò vorrebbe dire che dopo l'urto i due corpi del sistema oscillante non si muovono rispetto al centro di massa del sistema oscillante, ma allora il sistema non oscillerebbe.
Infatti dalla conservazione dell'energia, indicando con [tex]v_s[/tex] la velocità del centro di massa del sistema oscillante e con gli apici le velocità relative al centro di massa del sistema oscillante, abbiamo che
[tex]\frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}mv^2+\frac {1}{2}(2m)v_s^2+2\cdot\frac {1}{2}mv'^2[/tex]
Imponendo la conservazione della quantità di moto:
[tex]mV=mv+2mv_s[/tex]
e quindi risolvendo si trova [tex]v'=0[/tex]
Non riesco a capire dove sbaglio...secondo voi?
1) nel centro di massa del sistema oscillante i due corpi attaccati alla molla hanno velocità uguale e percorrono distanze uguali, dal momento che la massa è la stessa.
Quindi se ciascuno dei due corpi percorre una certa distanza [tex]x[/tex] la molla si sarà allungata di [tex]2x[/tex]
L'equazione del moto è:
[tex]-k2x=ma[/tex]
da cui si deduce che la pulsazione è [tex]\omega =\sqrt {\frac {2k}{m}}[/tex] e quindi il periodo è
[tex]T=2\pi\sqrt {\frac {m}{2k}}[/tex]
2)il centro di massa del sistema dei tre corpi ha una velocità pari a [tex]v_{cm}=v/3[/tex]
Rispetto al centro di massa il corpo inizialmente in moto ha una velocità [tex]v_{1}=v-v/3=2/3v[/tex]
mentre la velocità del sistema dei due corpi collegati dalla molla, sempre rispetto al CM del sistema è [tex]v_{s}=0-v/3=-v/3[/tex]
Poichè sul sistema non agiscono forze esterne la quantità di moto totale si conserva.
In particolare nel sistema di riferimento del CM le velocità dei corpi dopo l'urto cambiano solo di segno ma restano uguali in modulo.
Pertanto dopo l'urto, in tale riferimento, la velocità del sistema oscillante sarà [tex]v_{s}=-(-v/3)=v/3[/tex]
La velocità del sistema oscillante nel sistema inerziale fermo è quindi [tex]V_{s}=v_{cm}+v/3=v/3+v/3=2/3v[/tex]
Questo risultato mi lascia perplesso perchè ciò vorrebbe dire che dopo l'urto i due corpi del sistema oscillante non si muovono rispetto al centro di massa del sistema oscillante, ma allora il sistema non oscillerebbe.
Infatti dalla conservazione dell'energia, indicando con [tex]v_s[/tex] la velocità del centro di massa del sistema oscillante e con gli apici le velocità relative al centro di massa del sistema oscillante, abbiamo che
[tex]\frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}mv^2+\frac {1}{2}(2m)v_s^2+2\cdot\frac {1}{2}mv'^2[/tex]
Imponendo la conservazione della quantità di moto:
[tex]mV=mv+2mv_s[/tex]
e quindi risolvendo si trova [tex]v'=0[/tex]
Non riesco a capire dove sbaglio...secondo voi?
Qualcuno può aiutarmi a dissolvere i miei dubbi?
Non ho seguito molto il ragionamento che fai nel secondo punto.
Io semplicemente ragionerei così.
Dato che tutti i corpi hanno uguale massa subito dopo l'urto il corpo urtato avrà la velocità del corpo urtante che si fermerà.
Ora, esaminando solo il sistema dei due corpi collegati dalla molla, possiamo scrivere per la quantità di moto:
$mv = 2mV_{cm}$
quindi $V_{cm}=v/2$.
Per il terzo punto basta che consideri che l'energia iniziale del sistema deve conservarsi e tieni conto che quando i corpi sono alla massima elongazione (o compressione) si muovono solidali col centro di massa...
Non è necessario in questo problema ma ti consiglio di vedere il concetto di massa ridotta ben descritto anche in wikipedia.
Considerando la massa ridotta la pulsazione la calcoli subito come $sqrt(k/m_r)=sqrt(2k/m)$
Io semplicemente ragionerei così.
Dato che tutti i corpi hanno uguale massa subito dopo l'urto il corpo urtato avrà la velocità del corpo urtante che si fermerà.
Ora, esaminando solo il sistema dei due corpi collegati dalla molla, possiamo scrivere per la quantità di moto:
$mv = 2mV_{cm}$
quindi $V_{cm}=v/2$.
Per il terzo punto basta che consideri che l'energia iniziale del sistema deve conservarsi e tieni conto che quando i corpi sono alla massima elongazione (o compressione) si muovono solidali col centro di massa...
Non è necessario in questo problema ma ti consiglio di vedere il concetto di massa ridotta ben descritto anche in wikipedia.
Considerando la massa ridotta la pulsazione la calcoli subito come $sqrt(k/m_r)=sqrt(2k/m)$
Hai ragione, l'urto avviene solo fra due corpi e non fra tutti e tre.
Grazie del chiarimento
Grazie del chiarimento
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