Corpi a massa variabile
Supponiamo che un corpo di massa $M$ si muova all’istante $t$, con velocità $V$ rispetto ad un riferimento inerziale $S$. Nell’intervallo di tempo $dt$, il corpo espelle una quantità di massa $dM$ (se la massa viene persa $dM = -deltaM$ ; se invece viene acquistata $dM = deltaM$) con velocità $v_g$ , rispetto ad un sistema solidale con il corpo stesso. In questo intervallo di tempo la velocità del corpo sarà passata a $V + dV$. Rispetto al riferimento inerziale $S$, la velocità di espulsione della massa $dM$ sarà
$v_(g,T) = v_(g) + V$
Confrontando le quantità di moto al tempo $t$ ed al tempo $t+dt$ si ottiene
$MV = (M + dM)(V + dV) - dM (v_(g) + V)$
dove il segno meno al secondo membro è dovuto alla diversa orientazione della quantità di materia $(M+dM)$ e $dM$.
Da
$MV = (M + dM)(V + dV) - dM (v_(g) + V)$
arriva poi a
$M * frac{dV}{dt} - v_g * frac{dM}{dt}=0$
Ma non capisco come arriva a questa formula. Potete chiarirmi le idee? Grazie
$v_(g,T) = v_(g) + V$
Confrontando le quantità di moto al tempo $t$ ed al tempo $t+dt$ si ottiene
$MV = (M + dM)(V + dV) - dM (v_(g) + V)$
dove il segno meno al secondo membro è dovuto alla diversa orientazione della quantità di materia $(M+dM)$ e $dM$.
Da
$MV = (M + dM)(V + dV) - dM (v_(g) + V)$
arriva poi a
$M * frac{dV}{dt} - v_g * frac{dM}{dt}=0$
Ma non capisco come arriva a questa formula. Potete chiarirmi le idee? Grazie
Risposte
"qwerty90":
Da
$MV = (M + dM)(V + dV) - dM (v_(g) + V)$
arriva poi a
$M * frac{dV}{dt} - v_g * frac{dM}{dt}=0$
Ma non capisco come arriva a questa formula. Potete chiarirmi le idee? Grazie
Si tratta di applicare il teorema della conservazione della Quantità di moto : non essendoci , nel tuo caso , risultante di forze esterne, la quantità di moto del sistema "corpo più massa espulsa" si deve conservare . Quindi la q.d.m. prima dell'espulsione della massa , data da $MV$ , deve essere uguale a quella dopo l'espulsione della massa : $(M + dM)(V + dV) - dM (v_(g) + V)$
Sviluppa il secondo membro, e trascura il prodotto : $dM*dV$ , (perchè prodotto di due quantità molto piccole , trascurabile rispetto agli altri termini se l'intervallo di tempo è abbastanza piccolo) . Ti rimane : $M*dV-dM*v_g=0$.
Dividendo per il tempo $dt$ , e prendendo il limite per $dt\rarr0$, ottieni proprio la relazione finale, dove $frac{dV}{dt}$ è l'accelerazione, e il termine $frac{dM}{dt}$ è la variazione della massa nel tempo.
Non vorrei che peppensionato45 si arrabbi, ma la sua spiegazione, basata su presupposti fisici corretti, è un po' debole dal punto di vista formale.
Il ragionamento andrebbe infatti bene se si sostituissero delle 'variazioni piccole' (insomma dei $Delta$ invece che $d$) un po' in ogni espressione.
In particolare, a un matematico la frase "il limite per $dt→0$" sconcerterebbe un po', e nel sito di matematici ne bazzicano parecchi (alcuni anche molto cattivi!
)
Il ragionamento andrebbe infatti bene se si sostituissero delle 'variazioni piccole' (insomma dei $Delta$ invece che $d$) un po' in ogni espressione.
In particolare, a un matematico la frase "il limite per $dt→0$" sconcerterebbe un po', e nel sito di matematici ne bazzicano parecchi (alcuni anche molto cattivi!
)
No, Mirco FN , non mi arrabbio mica,sai, per questo! Ci vuole ben altro!
Però ,vedi , a parte il fatto che era piuttosto implicito , per me , ( e comunque hai fatto bene a chiarirlo per i giovanotti e le signorine che leggono) che fino all'ultimo passaggio i $d$ devono intendersi come $\delta$, cioè parliamo di "piccole quantità" finite , ( ho evitato il termine "infinitesimo" apposta, perchè con i matematici , specie i "cattivissimi" prof cui ti riferisci, non si mai bene .. quando usare certi concetti) , ti confesso che ...ho copiato integralmente l'ultima parte , quella dove ho detto "....prendendo il limite per $dt\rarr0$..." , da un bel libro di Fisica : " Paul Tipler - Fisica 1 - ed. Zanichelli ( io ho la seconda) , pag 238 " , proprio per essere sicuro di non sbagliare! Devo buttarlo via?
Ogni tanto vado anche a rileggermi qualche capitolo del libro di Courant e Robbins : " Che cos' è la matematica ? " ed . Boringhieri , nell'ultima edizione riveduta da Ian Stewart , celebre matematico inglese ; in particolare , per l'oggetto del contendere , c'è un bel paragrafetto , non esistente nella edizione originale del libro e aggiunta proprio da Stewart, verso la fine del libro , dove si parla di "Analisi non standard" .
In esso ( non ce l'ho sottomano, esprimo il concetto) si spiega che dei matematici stanno facendo un tipo di Analisi Matematica dove si vuol restituire al famigerato $dx$ un suo ruolo di protagonista, togliendolo dall' abisso di infamia ( mi sembra che dica proprio così..) nel quale è stato relegato per secoli . Quindi l' Analisi "non standard" che ne viene fuori , pur conducendo agli stessi risultati dell'Analisi standard , sembra un "campionario degli orrori" e degli errori che Courant e Robbins si erano vivamente raccomandati di evitare. Ma l'Analisi non Standard non è accettata da tutti i matematici, che di fronte ad essa storcono il naso !
Però ,vedi , a parte il fatto che era piuttosto implicito , per me , ( e comunque hai fatto bene a chiarirlo per i giovanotti e le signorine che leggono) che fino all'ultimo passaggio i $d$ devono intendersi come $\delta$, cioè parliamo di "piccole quantità" finite , ( ho evitato il termine "infinitesimo" apposta, perchè con i matematici , specie i "cattivissimi" prof cui ti riferisci, non si mai bene .. quando usare certi concetti) , ti confesso che ...ho copiato integralmente l'ultima parte , quella dove ho detto "....prendendo il limite per $dt\rarr0$..." , da un bel libro di Fisica : " Paul Tipler - Fisica 1 - ed. Zanichelli ( io ho la seconda) , pag 238 " , proprio per essere sicuro di non sbagliare! Devo buttarlo via?
Ogni tanto vado anche a rileggermi qualche capitolo del libro di Courant e Robbins : " Che cos' è la matematica ? " ed . Boringhieri , nell'ultima edizione riveduta da Ian Stewart , celebre matematico inglese ; in particolare , per l'oggetto del contendere , c'è un bel paragrafetto , non esistente nella edizione originale del libro e aggiunta proprio da Stewart, verso la fine del libro , dove si parla di "Analisi non standard" .
In esso ( non ce l'ho sottomano, esprimo il concetto) si spiega che dei matematici stanno facendo un tipo di Analisi Matematica dove si vuol restituire al famigerato $dx$ un suo ruolo di protagonista, togliendolo dall' abisso di infamia ( mi sembra che dica proprio così..) nel quale è stato relegato per secoli . Quindi l' Analisi "non standard" che ne viene fuori , pur conducendo agli stessi risultati dell'Analisi standard , sembra un "campionario degli orrori" e degli errori che Courant e Robbins si erano vivamente raccomandati di evitare. Ma l'Analisi non Standard non è accettata da tutti i matematici, che di fronte ad essa storcono il naso !
"peppensionato45":
Ogni tanto vado anche a rileggermi qualche capitolo del libro di Courant e Robbins : " Che cos' è la matematica ? " ed . Boringhieri , nell'ultima edizione riveduta da Ian Stewart , celebre matematico inglese ; in particolare , per l'oggetto del contendere , c'è un bel paragrafetto , non esistente nella edizione originale del libro e aggiunta proprio da Stewart, verso la fine del libro , dove si parla di "Analisi non standard" .
In esso ( non ce l'ho sottomano, esprimo il concetto) si spiega che dei matematici stanno facendo un tipo di Analisi Matematica dove si vuol restituire al famigerato $dx$ un suo ruolo di protagonista, togliendolo dall' abisso di infamia ( mi sembra che dica proprio così..) nel quale è stato relegato per secoli . Quindi l' Analisi "non standard" che ne viene fuori , pur conducendo agli stessi risultati dell'Analisi standard , sembra un "campionario degli orrori" e degli errori che Courant e Robbins si erano vivamente raccomandati di evitare. Ma l'Analisi non Standard non è accettata da tutti i matematici, che di fronte ad essa storcono il naso !
Caro peppe....
Io sono ingegnere come te quindi sull'uso dei $dx$ sfondi una porta aperta.... Ma l'analisi non standard non credo possa giustificare proprio tutto quello che facciamo noi ingegneri coi $dx$ (anche se funziona
).Comunque è meglio non iniziare qui una discussione più volte trattata già sui formalismi e non formalismi e sul rigore e non rigore....
Se hai tempo dai un'occhiata qui
"peppensionato45":
[quote="qwerty90"]
Da
$MV = (M + dM)(V + dV) - dM (v_(g) + V)$
arriva poi a
$M * frac{dV}{dt} - v_g * frac{dM}{dt}=0$
Ma non capisco come arriva a questa formula. Potete chiarirmi le idee? Grazie
Si tratta di applicare il teorema della conservazione della Quantità di moto : non essendoci , nel tuo caso , risultante di forze esterne, la quantità di moto del sistema "corpo più massa espulsa" si deve conservare . Quindi la q.d.m. prima dell'espulsione della massa , data da $MV$ , deve essere uguale a quella dopo l'espulsione della massa : $(M + dM)(V + dV) - dM (v_(g) + V)$
Sviluppa il secondo membro, e trascura il prodotto : $dM*dV$ , (perchè prodotto di due quantità molto piccole , trascurabile rispetto agli altri termini se l'intervallo di tempo è abbastanza piccolo) . Ti rimane : $M*dV-dM*v_g=0$.
Dividendo per il tempo $dt$ , e prendendo il limite per $dt\rarr0$, ottieni proprio la relazione finale, dove $frac{dV}{dt}$ è l'accelerazione, e il termine $frac{dM}{dt}$ è la variazione della massa nel tempo.[/quote]
Ok ora mi è chiaro. Grazie
"peppensionato45":
...ho copiato integralmente l'ultima parte , quella dove ho detto "....prendendo il limite per $dt\rarr0$..." , da un bel libro di Fisica : " Paul Tipler - Fisica 1 - ed. Zanichelli ( io ho la seconda) , pag 238 " , proprio per essere sicuro di non sbagliare! Devo buttarlo via?
Intanto non si butta via alcun libro! La distruzione dei libri mi ricorda un passato anche recente che pensavo sepolto ma che temo di poter vivere!
Per tornare all'argomento, si tratta di una affermazione fatta da un fisico che si esprime peggio di un ingegnere.
Anche con l'analisi classica il $dt$ è già (per definizione) un differenziale e quindi non è una quantità che si fa tendere a zero. Infatti in notazione classica (di Leibniz) la derivata, che è un limite del rapporto tra due infinitesimi, si esprime come rapporto tra differenziali.
Per queste considerazioni non serve scomodare l'analisi non standard.
egregio prof MircoFN ( sei un prof, vero? )
riporto poche righe, tratte dal libro che ho citato, di Courant e Robbins, 2° edizione riveduta da Ian Stewart : “ Che cos’è la Matematica ? “ – ed Boringhieri, a pag 525 e seguenti ( non posso copiare tutto il paragrafo) :
“….Il tentativo di Leibnitz di spiegare la derivata partiva in modo corretto dal rapporto incrementale di una funzione $y=f(x)$ : $(\Delta y)/(\Deltax)=(f(x_1)-f(x))/(x_1-x)$ . Per indicare il limite, la derivata, Leibnitz scriveva : $dy/dx$ , sostituendo il simbolo di differenza $\Delta$ con il simbolo “differenziale” $d$. Se ci si rende conto che questo simbolo è semplicemente un’indicazione del fatto che si deve eseguire il passaggio al limite $\Deltax\rarr0$, e di conseguenza $\Deltay\rarr0$, la cosa non presenta difficoltà né misteri. Prima di passare al limite , si elimina il denominatore $\Deltax$ del rapporto , o lo si trasforma in maniera che il passaggio al limite possa avvenire senza complicazioni. Questo è sempre il punto cruciale del processo di derivazione; se si provasse a passare al limite senza aver prima eseguita la riduzione , si otterrebbe la relazione priva di significato $(\Deltay)/(\Deltax)=0/0$. “
Perciò , non si può definire la derivata come il rapporto di due differenziali : $dy/dx$ è solo una comoda indicazione del processo da fare, di passaggio al limite del rapporto incrementale, dopo aver opportunamente eliminato il $\Deltax$ al denominatore.
Inoltre, per quanto riguarda l’altro discorso sull’analisi non standard, non l’ho scomodata affatto , ho solo detto che “ogni tanto mi vado a rileggere un paragrafetto ...”
Cito il paragrafetto dello stesso libro di cui sopra , aggiunto da Ian Stewart , pag 625 e segg. ( questo è più interessante del precedente, e in un certo senso conforta …i poveri mortali che hanno sempre pensato nella maniera sbagliata !..) :
“ Par. 12 – Analisi non standard
A p. 527 Courant e Robbins osservano che i “differenziali” come quantità infinitamente piccole sono ora definitivamente e disonorevolmente messi da parte. ..Nonostante il verdetto, però, c’è sempre stato qualcosa di intuitivo e di attraente nei ragionamenti di vecchio stampo con gli infinitesimi . Fanno ancora parte del nostro linguaggio, quando parliamo di “istanti” di tempo , di velocità “istantanea”, di una curva come una serie di segmenti infinitamente piccoli , di area sotto una curva come una somma infinita di rettangoli infinitesimi. Questo tipo di intuizione risulta giustificato, infatti è stato recentemente scoperto che il concetto di quantità infinitamente piccola non è disonorevole , e dopotutto non c’è bisogno di abbandonarlo definitivamente. E’ possibile costruire una struttura rigorosa per l’Analisi, in cui le definizioni con $\epsilon$ e $\delta$ di Weierstrass sono sostituite da proposizioni sugli infinitesimi che sembrano incredibilmente simili alle idee intuitive di Leibnitz, Newton e Cauchy.
La tecnica che permette agli infinitesimi di guadagnare una reputazione si chiama “ Analisi non standard” . E’ una alternativa assolutamente accettabile, agli $\epsilon$ e $\delta$ , ma per varie ragioni ( una sola delle quali è il conservatorismo scientifico ) quasi tutti i matematici preferiscono il punto di vista di Weierstrass. “ Eccetera…
Ti dirò : mi sento un po’ più sollevato, ora che Stewart ha detto che non sono proprio un….disonorato!
Ti ringrazio per aver affermato che : “esiste almeno un ingegnere che si esprime meglio di qualche fisico.”
Però anche : “Mencuccini ,Silvestrini –Fisica 1 ed Liguori ( ho la 2°) “ dicono , a pag. 105 : “ Osserviamo che il differenziale può essere maneggiato come qualunque altra entità algebrica. Ad esempio, dividendo la $df=f'(x_o)dx$ per $dx$ si ha : $(df)/(dx)=f'(x)$” .
Infine, sta tranquillo : a costo di sprofondare al piano di sotto, conservo tutti i libri.
Stammi bene, Mirco.
riporto poche righe, tratte dal libro che ho citato, di Courant e Robbins, 2° edizione riveduta da Ian Stewart : “ Che cos’è la Matematica ? “ – ed Boringhieri, a pag 525 e seguenti ( non posso copiare tutto il paragrafo) :
“….Il tentativo di Leibnitz di spiegare la derivata partiva in modo corretto dal rapporto incrementale di una funzione $y=f(x)$ : $(\Delta y)/(\Deltax)=(f(x_1)-f(x))/(x_1-x)$ . Per indicare il limite, la derivata, Leibnitz scriveva : $dy/dx$ , sostituendo il simbolo di differenza $\Delta$ con il simbolo “differenziale” $d$. Se ci si rende conto che questo simbolo è semplicemente un’indicazione del fatto che si deve eseguire il passaggio al limite $\Deltax\rarr0$, e di conseguenza $\Deltay\rarr0$, la cosa non presenta difficoltà né misteri. Prima di passare al limite , si elimina il denominatore $\Deltax$ del rapporto , o lo si trasforma in maniera che il passaggio al limite possa avvenire senza complicazioni. Questo è sempre il punto cruciale del processo di derivazione; se si provasse a passare al limite senza aver prima eseguita la riduzione , si otterrebbe la relazione priva di significato $(\Deltay)/(\Deltax)=0/0$. “
Perciò , non si può definire la derivata come il rapporto di due differenziali : $dy/dx$ è solo una comoda indicazione del processo da fare, di passaggio al limite del rapporto incrementale, dopo aver opportunamente eliminato il $\Deltax$ al denominatore.
Inoltre, per quanto riguarda l’altro discorso sull’analisi non standard, non l’ho scomodata affatto , ho solo detto che “ogni tanto mi vado a rileggere un paragrafetto ...”
Cito il paragrafetto dello stesso libro di cui sopra , aggiunto da Ian Stewart , pag 625 e segg. ( questo è più interessante del precedente, e in un certo senso conforta …i poveri mortali che hanno sempre pensato nella maniera sbagliata !..) :
“ Par. 12 – Analisi non standard
A p. 527 Courant e Robbins osservano che i “differenziali” come quantità infinitamente piccole sono ora definitivamente e disonorevolmente messi da parte. ..Nonostante il verdetto, però, c’è sempre stato qualcosa di intuitivo e di attraente nei ragionamenti di vecchio stampo con gli infinitesimi . Fanno ancora parte del nostro linguaggio, quando parliamo di “istanti” di tempo , di velocità “istantanea”, di una curva come una serie di segmenti infinitamente piccoli , di area sotto una curva come una somma infinita di rettangoli infinitesimi. Questo tipo di intuizione risulta giustificato, infatti è stato recentemente scoperto che il concetto di quantità infinitamente piccola non è disonorevole , e dopotutto non c’è bisogno di abbandonarlo definitivamente. E’ possibile costruire una struttura rigorosa per l’Analisi, in cui le definizioni con $\epsilon$ e $\delta$ di Weierstrass sono sostituite da proposizioni sugli infinitesimi che sembrano incredibilmente simili alle idee intuitive di Leibnitz, Newton e Cauchy.
La tecnica che permette agli infinitesimi di guadagnare una reputazione si chiama “ Analisi non standard” . E’ una alternativa assolutamente accettabile, agli $\epsilon$ e $\delta$ , ma per varie ragioni ( una sola delle quali è il conservatorismo scientifico ) quasi tutti i matematici preferiscono il punto di vista di Weierstrass. “ Eccetera…
Ti dirò : mi sento un po’ più sollevato, ora che Stewart ha detto che non sono proprio un….disonorato!
Ti ringrazio per aver affermato che : “esiste almeno un ingegnere che si esprime meglio di qualche fisico.”
Però anche : “Mencuccini ,Silvestrini –Fisica 1 ed Liguori ( ho la 2°) “ dicono , a pag. 105 : “ Osserviamo che il differenziale può essere maneggiato come qualunque altra entità algebrica. Ad esempio, dividendo la $df=f'(x_o)dx$ per $dx$ si ha : $(df)/(dx)=f'(x)$” .
Infine, sta tranquillo : a costo di sprofondare al piano di sotto, conservo tutti i libri.
Stammi bene, Mirco.
Grazie per la lezione. Ti faccio semplicemente notare che alla fine hai sostenuto, con varie citazioni, le considerazioni che avevo anticipato.
La notazione usata dai fisici ed ingegneri secondo me è comoda, ma almeno una volta bisogna vedere cosa si intende in maniera matematicamente più rigorosa. La strada da seguire è quella che diceva mircoFN ed il ragionamento è molto semplice, perciò vale la pena di perderci qualche minuto nel caso non fosse chiaro. 
Una espressione del tipo [tex]dx = f(t) dt[/tex] va intesa come [tex]\Delta x = f(t_0) \Delta t + O(\Delta t^2)[/tex], dove [tex]\Delta x = x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)[/tex].
Dividendo per [tex]\Delta t[/tex] e prendendo il limite [tex]\Delta t \to 0[/tex] il membro di sinistra diventa [tex]\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)}{t_0 + \Delta t - t_0} = \left \frac{dx(t)}{dt} \right|_{t_0}[/tex].
Il membro di destra invece diventa [tex]\lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t_0) \Delta t + O(\Delta t^2)}{\Delta t} = f(t_0) + \lim_{\Delta t \to 0} O(\Delta t) = f(t_0)[/tex].
Abbiamo allora il risultato [tex]\left \frac{dx(t)}{dt} \right|_{t_0} = f(t_0)[/tex].
Una espressione del tipo [tex]dx = f(t) dt[/tex] va intesa come [tex]\Delta x = f(t_0) \Delta t + O(\Delta t^2)[/tex], dove [tex]\Delta x = x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)[/tex].
Dividendo per [tex]\Delta t[/tex] e prendendo il limite [tex]\Delta t \to 0[/tex] il membro di sinistra diventa [tex]\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)}{t_0 + \Delta t - t_0} = \left \frac{dx(t)}{dt} \right|_{t_0}[/tex].
Il membro di destra invece diventa [tex]\lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t_0) \Delta t + O(\Delta t^2)}{\Delta t} = f(t_0) + \lim_{\Delta t \to 0} O(\Delta t) = f(t_0)[/tex].
Abbiamo allora il risultato [tex]\left \frac{dx(t)}{dt} \right|_{t_0} = f(t_0)[/tex].
Grazie a MircoFN, Faussone ed Eredir per la difesa della matematica.
Saluti cattivissimi.
E, per una visione laica su "dx" e dintorni, indico questo mio intervento nel thread citato da MircoFN: https://www.matematicamente.it/forum/qua ... tml#324600
Saluti cattivissimi.
E, per una visione laica su "dx" e dintorni, indico questo mio intervento nel thread citato da MircoFN: https://www.matematicamente.it/forum/qua ... tml#324600
Eredir ,
penso che non ci sia una notazione più conveniente per i fisici e gli ingegneri , e una più rigorosa per i matematici. Non è questione di notazioni , è questione di definizioni .
Vorrei farti notare che quando scrivi : “ ...Una espressione del tipo $dx=f(t)dt$...." hai già piazzato due differenziali , uno al primo e l’altro al secondo membro ! Cioè, qualcosa che ancora devi definire e definirai DOPO la derivata , è giusto o no ? E quando dici che quella espressione : “…va intesa come $\Deltax=f(t_o)\Deltat+O(\Deltat^2)$...." hai dato per scontati altri due concetti : 1) l’incremento della variabile indipendente $\Deltat$ è uguale al suo differenziale $dt$ , e 2) che l’incremento della funzione è fatto di due parti , di cui una lineare con $\Deltat$ e l’altra “$O$ grande di $\(Deltat)^2$”.
Non so quanti ragazzi che si accostano al concetto di derivata abbiano dimestichezza con i simboli di Landau, a questo punto dell’Analisi.
No, questo non mi sembra giusto.
Per me, la migliore definizione della derivata è quella tradizionale, cioè il “limite del rapporto incrementale, nel punto $x_o$, per incremento tendente a zero” , ed è anche la più semplice. Che poi si usi la notazione di Leibnitz $(dx)/(dt)$ oppure le altre in uso , è un discorso secondario.
Adesso arrabbiatevi pure tutti quanti, e scagliatevi pure contro di me, a partire dai cattivissimi professori…, ma anche quelli meno cattivi.
Per il prof Patrone , che se ne sta in attesa di leggere le amenità che io scrivo da povero “non matematico” e “non fisico” : ho capito una sola cosa , professore , e cioè che la mia presenza su questo forum non è gradita, né a lei né ad altri.
Io non ho “offeso” la Matematica, che non ha certo bisogno di paladini in sua difesa, ai quali lei concede i suoi ringraziamenti. La Matematica fortunatamente sta lì, e sopravvive da sola, illuminata e riscaldata da qualche genio ogni tanto… uno è libero di attingere alla sua fonte come vuole. Lei mi dirà : “ chi attinge, non deve inquinare le acque !” Certo , ha ragione. Chiedo scusa a lei e agli altri, se ho inquinato la purezza della sua Scienza con le mie imprecise idee. Però ora io sono da solo contro quattro, e ho anche qualche problema di cardiopalmo…
Perciò la prego vivamente di chiudere il mio account su questo forum , nel quale evidentemente sono capitato per errore.
E’ stato un piacere (parziale) . Saluti “cordialissimi” , professore.
penso che non ci sia una notazione più conveniente per i fisici e gli ingegneri , e una più rigorosa per i matematici. Non è questione di notazioni , è questione di definizioni .
Vorrei farti notare che quando scrivi : “ ...Una espressione del tipo $dx=f(t)dt$...." hai già piazzato due differenziali , uno al primo e l’altro al secondo membro ! Cioè, qualcosa che ancora devi definire e definirai DOPO la derivata , è giusto o no ? E quando dici che quella espressione : “…va intesa come $\Deltax=f(t_o)\Deltat+O(\Deltat^2)$...." hai dato per scontati altri due concetti : 1) l’incremento della variabile indipendente $\Deltat$ è uguale al suo differenziale $dt$ , e 2) che l’incremento della funzione è fatto di due parti , di cui una lineare con $\Deltat$ e l’altra “$O$ grande di $\(Deltat)^2$”.
Non so quanti ragazzi che si accostano al concetto di derivata abbiano dimestichezza con i simboli di Landau, a questo punto dell’Analisi.
No, questo non mi sembra giusto.
Per me, la migliore definizione della derivata è quella tradizionale, cioè il “limite del rapporto incrementale, nel punto $x_o$, per incremento tendente a zero” , ed è anche la più semplice. Che poi si usi la notazione di Leibnitz $(dx)/(dt)$ oppure le altre in uso , è un discorso secondario.
Adesso arrabbiatevi pure tutti quanti, e scagliatevi pure contro di me, a partire dai cattivissimi professori…, ma anche quelli meno cattivi.
Per il prof Patrone , che se ne sta in attesa di leggere le amenità che io scrivo da povero “non matematico” e “non fisico” : ho capito una sola cosa , professore , e cioè che la mia presenza su questo forum non è gradita, né a lei né ad altri.
Io non ho “offeso” la Matematica, che non ha certo bisogno di paladini in sua difesa, ai quali lei concede i suoi ringraziamenti. La Matematica fortunatamente sta lì, e sopravvive da sola, illuminata e riscaldata da qualche genio ogni tanto… uno è libero di attingere alla sua fonte come vuole. Lei mi dirà : “ chi attinge, non deve inquinare le acque !” Certo , ha ragione. Chiedo scusa a lei e agli altri, se ho inquinato la purezza della sua Scienza con le mie imprecise idee. Però ora io sono da solo contro quattro, e ho anche qualche problema di cardiopalmo…
Perciò la prego vivamente di chiudere il mio account su questo forum , nel quale evidentemente sono capitato per errore.
E’ stato un piacere (parziale) . Saluti “cordialissimi” , professore.
"peppensionato45":
No, Mirco FN , non mi arrabbio mica,sai, per questo! Ci vuole ben altro!
Però ,vedi , a parte il fatto che era piuttosto implicito , per me , ( e comunque hai fatto bene a chiarirlo per i giovanotti e le signorine che leggono) che fino all'ultimo passaggio i $d$ devono intendersi come $\delta$, cioè parliamo di "piccole quantità" finite , ( ho evitato il termine "infinitesimo" apposta, perchè con i matematici , specie i "cattivissimi" prof cui ti riferisci, non si mai bene .. quando usare certi concetti) , ti confesso che ...ho copiato integralmente l'ultima parte , quella dove ho detto "....prendendo il limite per $dt\rarr0$..." , da un bel libro di Fisica : " Paul Tipler - Fisica 1 - ed. Zanichelli ( io ho la seconda) , pag 238 " , proprio per essere sicuro di non sbagliare! Devo buttarlo via?
Ogni tanto vado anche a rileggermi qualche capitolo del libro di Courant e Robbins : " Che cos' è la matematica ? " ed . Boringhieri , nell'ultima edizione riveduta da Ian Stewart , celebre matematico inglese ; in particolare , per l'oggetto del contendere , c'è un bel paragrafetto , non esistente nella edizione originale del libro e aggiunta proprio da Stewart, verso la fine del libro , dove si parla di "Analisi non standard" .
In esso ( non ce l'ho sottomano, esprimo il concetto) si spiega che dei matematici stanno facendo un tipo di Analisi Matematica dove si vuol restituire al famigerato $dx$ un suo ruolo di protagonista, togliendolo dall' abisso di infamia ( mi sembra che dica proprio così..) nel quale è stato relegato per secoli . Quindi l' Analisi "non standard" che ne viene fuori , pur conducendo agli stessi risultati dell'Analisi standard , sembra un "campionario degli orrori" e degli errori che Courant e Robbins si erano vivamente raccomandati di evitare. Ma l'Analisi non Standard non è accettata da tutti i matematici, che di fronte ad essa storcono il naso !
Volendo dire pane al pane e vino al vino: è inutile e contraddittorio usare gli infinitesimi per poi fare il limite per "dt" che tende a zero. Certo non lo si fa in analisi non standard, povera bestiolina sempre tirata per la coda.
Dire che l'analisi non standard non è accettata dai matematici è semplicemente e puramente ridicolo ( http://mathworld.wolfram.com/NonstandardAnalysis.html http://www-3.unipv.it/webphilos_lab/dos ... andard.pdf ). Semmai i matematici sono preoccupati del fatto che l'analisi non standard venga maneggiata da chi non ha la più pallida idea di cosa sia in realtà.
"peppensionato45":
Eredir ,
penso che non ci sia una notazione più conveniente per i fisici e gli ingegneri , e una più rigorosa per i matematici. Non è questione di notazioni , è questione di definizioni .
E' una questione di notazione nel senso che la scrittura $dx=f(t)dt$ non è definita, ma si può vedere come una operazione di passaggio al limite secondo lo schema del mio post precedente.
"peppensionato45":
Vorrei farti notare che quando scrivi : “ ...Una espressione del tipo $dx=f(t)dt$...." hai già piazzato due differenziali , uno al primo e l’altro al secondo membro ! Cioè, qualcosa che ancora devi definire e definirai DOPO la derivata , è giusto o no ? E quando dici che quella espressione : “…va intesa come $\Deltax=f(t_o)\Deltat+O(\Deltat^2)$...." hai dato per scontati altri due concetti : 1) l’incremento della variabile indipendente $\Deltat$ è uguale al suo differenziale $dt$ , e 2) che l’incremento della funzione è fatto di due parti , di cui una lineare con $\Deltat$ e l’altra “$O$ grande di $\(Deltat)^2$”.
Ma il punto è proprio che nel mio discorso non introduco mai dei "differenziali".
Lo spirito del mio discorso è che la scrittura formale $dx=f(t)dt$ si può interpretare utilizzando concetti di analisi elementare, senza bisogno di scomodare mezzi matematici "pesanti" (forme differenziali, analisi non-standard, etc.).
"peppensionato45":
Non so quanti ragazzi che si accostano al concetto di derivata abbiano dimestichezza con i simboli di Landau, a questo punto dell’Analisi.
Per semplificare l'argomento si possono tranquillamente togliere i simboli di Landau ed usare forme più elementari.
"peppensionato45":
No, questo non mi sembra giusto.
Per me, la migliore definizione della derivata è quella tradizionale, cioè il “limite del rapporto incrementale, nel punto $x_o$, per incremento tendente a zero” , ed è anche la più semplice. Che poi si usi la notazione di Leibnitz $(dx)/(dt)$ oppure le altre in uso , è un discorso secondario.
Ma infatti l'unico concetto di analisi che ho sfruttato è la definizione tradizionale di derivata (ovvero di limite).
Aggiungo un paio di parole in più alla chiusa di FP.
Molto difficilmente si comincerà ad insegnare la ANS ai primi anni di università: infatti la ANS non è "l'Analisi classica cui sono stati aggiunti gli infinitesimi", ma è una teoria fine e complessa che necessita, per essere introdotta assiomaticamente, di solide basi di Logica, Teoria dei Modelli ed altre teorie molto astratte e complesse.
Intendo dire: se si hanno chiari i concetti dell'Analisi classica, quelli dell'ANS appaiono come una naturale estensione (anche se comunque non è possibile capire a fondo la teoria se non si conoscono varie zozzerie logiche); d'altra parte, se bisognasse partire direttamente dall'ANS, la cosa risulterebbe molto più complicata.
Quindi, visto che conviene sempre introdurre prima l'Analisi classica, a questo punto è inutile impelagarsi nel'insegnamento dell'ANS... A tal proposito, ricordo una cosa che ho scritto tempo fa (ogni tanto l'argomento torna a galla):
Nelle diapositive citate (sempre di Dossena, guarda un po'
) si dice esplicitamente:
cosicché, a conti fatti, l'ANS è solo un pesante "trucco" formale e niente di più profondo.
Molto difficilmente si comincerà ad insegnare la ANS ai primi anni di università: infatti la ANS non è "l'Analisi classica cui sono stati aggiunti gli infinitesimi", ma è una teoria fine e complessa che necessita, per essere introdotta assiomaticamente, di solide basi di Logica, Teoria dei Modelli ed altre teorie molto astratte e complesse.
Intendo dire: se si hanno chiari i concetti dell'Analisi classica, quelli dell'ANS appaiono come una naturale estensione (anche se comunque non è possibile capire a fondo la teoria se non si conoscono varie zozzerie logiche); d'altra parte, se bisognasse partire direttamente dall'ANS, la cosa risulterebbe molto più complicata.
Quindi, visto che conviene sempre introdurre prima l'Analisi classica, a questo punto è inutile impelagarsi nel'insegnamento dell'ANS... A tal proposito, ricordo una cosa che ho scritto tempo fa (ogni tanto l'argomento torna a galla):
"gugo82":
Dal punto di vista dell'analista, la teoria standard va più che bene; nell'Analisi facciamo a meno degli infinitesimi da 150 anni e lavoriamo benissimo.
Per quanto riguarda il rapporto tra Analisi e Analisi non-standard, trovo significative le diapositive 68-69 reperibili al seguente url.
Nelle diapositive citate (sempre di Dossena, guarda un po'
) si dice esplicitamente:L'estensione [tex]$\mathfrak{NS}$[/tex] (non standard) della teoria [tex]$\mathfrak{S}$[/tex] (standard) è inessenziale: ogni formula derivabile da [tex]$\mathfrak{NS}$[/tex] è derivabile da [tex]$\mathfrak{S}$[/tex].
cosicché, a conti fatti, l'ANS è solo un pesante "trucco" formale e niente di più profondo.
Professore,
io non maneggio proprio nulla! Figuriamoci l'analisi non standard !
Questa è la frase di Ian Stewart , tratta dal libro che ho citato ( il bello è che l'ho già scritta una volta) , il quale afferma che quasi tutti i matematici preferiscono il punto di vista di Weierstrass, non che "i matematici (tutti, come lei vorrebbe farmi dire...) non accettano l'analisi non standard" :
La tecnica che permette agli infinitesimi di guadagnare una reputazione si chiama “ Analisi non standard” . E’ una alternativa assolutamente accettabile , ma per varie ragioni ( una sola delle quali è il conservatorismo scientifico ) quasi tutti i matematici preferiscono il punto di vista di Weierstrass. .
Se quanto sopra è "ridicolo" , lo vada a dire a Stewart, non a me .
Questa discussione sta diventando noiosa ed inopportuna.
Professore , chiuda il mio account per favore , glielo dico per la seconda volta.
io non maneggio proprio nulla! Figuriamoci l'analisi non standard !
Questa è la frase di Ian Stewart , tratta dal libro che ho citato ( il bello è che l'ho già scritta una volta) , il quale afferma che quasi tutti i matematici preferiscono il punto di vista di Weierstrass, non che "i matematici (tutti, come lei vorrebbe farmi dire...) non accettano l'analisi non standard" :
La tecnica che permette agli infinitesimi di guadagnare una reputazione si chiama “ Analisi non standard” . E’ una alternativa assolutamente accettabile , ma per varie ragioni ( una sola delle quali è il conservatorismo scientifico ) quasi tutti i matematici preferiscono il punto di vista di Weierstrass. .
Se quanto sopra è "ridicolo" , lo vada a dire a Stewart, non a me .
Questa discussione sta diventando noiosa ed inopportuna.
Professore , chiuda il mio account per favore , glielo dico per la seconda volta.
"peppensionato45":
Questa è la frase di Ian Stewart , tratta dal libro che ho citato ( il bello è che l'ho già scritta una volta) , il quale afferma che quasi tutti i matematici preferiscono il punto di vista di Weierstrass, non che "i matematici (tutti, come lei vorrebbe farmi dire...) non accettano l'analisi non standard" :
La tecnica che permette agli infinitesimi di guadagnare una reputazione si chiama “ Analisi non standard” . E’ una alternativa assolutamente accettabile , ma per varie ragioni ( una sola delle quali è il conservatorismo scientifico ) quasi tutti i matematici preferiscono il punto di vista di Weierstrass. .
Se quanto sopra è "ridicolo" , lo vada a dire a Stewart, non a me .
"peppensionato45":
Ogni tanto vado anche a rileggermi qualche capitolo del libro di Courant e Robbins : " Che cos' è la matematica ? " ed . Boringhieri , nell'ultima edizione riveduta da Ian Stewart , celebre matematico inglese ; in particolare , per l'oggetto del contendere , c'è un bel paragrafetto , non esistente nella edizione originale del libro e aggiunta proprio da Stewart, verso la fine del libro , dove si parla di "Analisi non standard" .
In esso ( non ce l'ho sottomano, esprimo il concetto) si spiega che dei matematici stanno facendo un tipo di Analisi Matematica dove si vuol restituire al famigerato $dx$ un suo ruolo di protagonista, togliendolo dall' abisso di infamia ( mi sembra che dica proprio così..) nel quale è stato relegato per secoli . Quindi l' Analisi "non standard" che ne viene fuori , pur conducendo agli stessi risultati dell'Analisi standard , sembra un "campionario degli orrori" e degli errori che Courant e Robbins si erano vivamente raccomandati di evitare. Ma l'Analisi non Standard non è accettata da tutti i matematici, che di fronte ad essa storcono il naso !
"non preferire" è molto diverso da "non accettare", a casa mia.
Non a caso, condivido in pieno quello che dice Ian Stewart.
"peppensionato45":
Professore , chiuda il mio account per favore , glielo dico per la seconda volta.
Ciao Peppe,
scusa se mi intrometto, ma devo dirti che la tua reazione mi sembra davvero esagerata...
Non mi sembra nessuno ti abbia offeso. C'è stato uno scambio di idee e ci sono state puntualizzazioni a quello che hai detto. niente di così scandaloso.
Il bello del forum è che ogni tanto si insegna ogni tanto si impara e a volte si discute, ma finché si mantiene il rispetto e l'educazione non mi pare ci si debba rabbuiare così..
Oltre tutto sarebbe un peccato se andassi via, hai dato una mano a molti utenti fino ad ora....
(E poi sei un ingegnere! Mica possiamo dare campo libero a fisici e matematici!
)
"Faussone":
[quote="peppensionato45"]
Professore , chiuda il mio account per favore , glielo dico per la seconda volta.
Ciao Peppe,
scusa se mi intrometto, ma devo dirti che la tua reazione mi sembra davvero esagerata...
Oltre tutto sarebbe un peccato se andassi via, hai dato una mano a molti utenti fino ad ora....
[/quote]
Concordo! Meglio che venga chiuso il topic e non l'account
Ciao collega Faussone , e innanzitutto felice di conoscerti.
Vedi, il fatto è che io non sopporto le persone spocchiose e scortesi . Scrivere così :
Dire che l'analisi non standard non è accettata dai matematici è semplicemente e puramente ridicolo
come ha fatto quel tale professore con me , significa in sostanza scrivere : " Stai dicendo ridicolaggini ! Insomma sei ridicolo. "
E penso che nessuno si possa ( e si debba) permettere di dare del "ridicolo" ad un altro . Neanche Einstein.
Ti ringrazio per le parole di apprezzamento, fra colleghi ci si intende di più, e ci si rispetta di più, perchè la barca è , anche se in settori diversi, più o meno la stessa ! Sai, di barche.... ne ho viste tante , ho fatto l'ing. navale per quarant'anni , e ne ho tirate di navi dal fondo!...Non sto neanche a dirti quante soluzioni tecniche ho dovuto a volte improvvisare,sia in Italia che all'estero , non solo con le conoscenze teoriche ma anche e soprattutto con l'esperienza, in situazioni difficili di emergenza estrema.... Ho fatto tra l'altro innumerevoli volte il consulente di varie Procure della Repubblica , in episodi gravissimi di incidenti su navi dove ci sono stati anche dei morti...
Quindi immagina se può intimidirmi un "infinitesimo" o un "differenziale" , o un professore, per cattivo che possa essere! Hai presente, per dirne una , i cinesi ? Nei cantieri cinesi ti guardano tutti con gli stessi occhi , operai e ingegneri... Sono molto più tosti dei professori di casa nostra|
Vedi, il fatto è che io non sopporto le persone spocchiose e scortesi . Scrivere così :
Dire che l'analisi non standard non è accettata dai matematici è semplicemente e puramente ridicolo
come ha fatto quel tale professore con me , significa in sostanza scrivere : " Stai dicendo ridicolaggini ! Insomma sei ridicolo. "
E penso che nessuno si possa ( e si debba) permettere di dare del "ridicolo" ad un altro . Neanche Einstein.
Ti ringrazio per le parole di apprezzamento, fra colleghi ci si intende di più, e ci si rispetta di più, perchè la barca è , anche se in settori diversi, più o meno la stessa ! Sai, di barche.... ne ho viste tante , ho fatto l'ing. navale per quarant'anni , e ne ho tirate di navi dal fondo!...Non sto neanche a dirti quante soluzioni tecniche ho dovuto a volte improvvisare,sia in Italia che all'estero , non solo con le conoscenze teoriche ma anche e soprattutto con l'esperienza, in situazioni difficili di emergenza estrema.... Ho fatto tra l'altro innumerevoli volte il consulente di varie Procure della Repubblica , in episodi gravissimi di incidenti su navi dove ci sono stati anche dei morti...
Quindi immagina se può intimidirmi un "infinitesimo" o un "differenziale" , o un professore, per cattivo che possa essere! Hai presente, per dirne una , i cinesi ? Nei cantieri cinesi ti guardano tutti con gli stessi occhi , operai e ingegneri... Sono molto più tosti dei professori di casa nostra|
"peppensionato45":
Ciao collega Faussone , e innanzitutto felice di conoscerti.
Vedi, il fatto è che io non sopporto le persone spocchiose e scortesi . Scrivere così :
Dire che l'analisi non standard non è accettata dai matematici è semplicemente e puramente ridicolo
come ha fatto quel tale professore con me , significa in sostanza scrivere : " Stai dicendo ridicolaggini ! Insomma sei ridicolo. "
E penso che nessuno si possa ( e si debba) permettere di dare del "ridicolo" ad un altro . Neanche Einstein.
Ti ringrazio per le parole di apprezzamento, fra colleghi ci si intende di più, e ci si rispetta di più, perchè la barca è , anche se in settori diversi, più o meno la stessa ! Sai, di barche.... ne ho viste tante , ho fatto l'ing. navale per quarant'anni , e ne ho tirate di navi dal fondo!...Non sto neanche a dirti quante soluzioni tecniche ho dovuto a volte improvvisare,sia in Italia che all'estero , non solo con le conoscenze teoriche ma anche e soprattutto con l'esperienza, in situazioni difficili di emergenza estrema.... Ho fatto tra l'altro innumerevoli volte il consulente di varie Procure della Repubblica , in episodi gravissimi di incidenti su navi dove ci sono stati anche dei morti...
Quindi immagina se può intimidirmi un "infinitesimo" o un "differenziale" , o un professore, per cattivo che possa essere! Hai presente, per dirne una , i cinesi ? Nei cantieri cinesi ti guardano tutti con gli stessi occhi , operai e ingegneri... Sono molto più tosti dei professori di casa nostra|
Cercare di imbrogliare le carte è molto meglio, vero?
https://www.matematicamente.it/forum/cor ... tml#390085
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