Corda in caduta libera
Salve a tutti, per chi ha seguito il mio ultimo esercizio definito da alcuni utenti "diabolico" questo è un altro sempre inventato dal mio prof. Ora non so se questo sia realmente tanto difficile, fatto sta che io non sono riuscito a risolverlo. Allora abbiamo una corda lunga $ l $ inestensibile e omogenea di densità $ lambda $ , la corda è attaccata al soffitto dalle due estremità. I due spezzoni di corda sono posti a distanza infinitesimale $ dl $ uno dall'altro, insomma, tanto quanto basta affinché non si tocchino. Si taglia la parte di corda fissata a destra proprio all'estremità di contatto col soffitto. Trovare la relazione che indica come varia la reazione del sostegno di sinistra al variare del tempo. Vi allego un'immagine, tanto per capirci meglio! 
Grazie in anticipo a tutti quelli che cercheranno di aiutarmi! 
Grazie in anticipo a tutti quelli che cercheranno di aiutarmi!
Risposte
A questo punto si impone un po' di ricerca bibliografica.
Grazie anche al Physics Forum ([edit] search: falling chain ceiling), si scopre velocemente che il problema risulta documentato in S. Thornton, J. Marion, Classical Dynamics of Particles and Systems (Fifth Edition), Thomson, Brooks/Cole, 2004, pp.333-335, dove propone due diversi metodi di soluzione, di cui il secondo basato sull'energia (ripreso da Calkin and March, Am. J. Phys., 57, 154 (1989)). Non ho tuttavia analizzato quest'ultimo, che sembra contraddire la mia impressione che l'energia non si conservi, però mi incuriosisce e magari se avrò tempo ...
Purtroppo non posso postare il link per questioni di copyright, ma non è difficile trovare il testo citato, in ogni caso la soluzione che propone per il primo metodo (tensioni ed impulsi), è, per una catena di lunghezza $b$ e massa $M$, $T=\frac{Mg}{2}(\frac{3x}{b}+1)$, dove $x$ è la distanza dell'estremo libero dal soffitto.
Grazie anche al Physics Forum ([edit] search: falling chain ceiling), si scopre velocemente che il problema risulta documentato in S. Thornton, J. Marion, Classical Dynamics of Particles and Systems (Fifth Edition), Thomson, Brooks/Cole, 2004, pp.333-335, dove propone due diversi metodi di soluzione, di cui il secondo basato sull'energia (ripreso da Calkin and March, Am. J. Phys., 57, 154 (1989)). Non ho tuttavia analizzato quest'ultimo, che sembra contraddire la mia impressione che l'energia non si conservi, però mi incuriosisce e magari se avrò tempo ...
Purtroppo non posso postare il link per questioni di copyright, ma non è difficile trovare il testo citato, in ogni caso la soluzione che propone per il primo metodo (tensioni ed impulsi), è, per una catena di lunghezza $b$ e massa $M$, $T=\frac{Mg}{2}(\frac{3x}{b}+1)$, dove $x$ è la distanza dell'estremo libero dal soffitto.
@ Cmax :
Quindi, poiché per noi è : $ M/b = \lambda$ , si può anche scrivere, per la catena :
$ T = (Mg)/2 + 3/2*\lambda*g*x $
che credo sia la tua soluzione, per la catena. Un termine costante, dovuto al peso del tratto iniziale a Sn, e un termine variabile linearmente con $x$ (distanza percorsa dall'estremo destro della corda, credo), quindi col quadrato del tempo poiché $x = 1/2*g*t^2$
Il fattore del termine variabile sarebbe dunque $3/2$ e non $3$....e hai ragione tu.
Sarebbe interessante vedere quali sono i passaggi che conducono a questa soluzione.
Quindi, poiché per noi è : $ M/b = \lambda$ , si può anche scrivere, per la catena :
$ T = (Mg)/2 + 3/2*\lambda*g*x $
che credo sia la tua soluzione, per la catena. Un termine costante, dovuto al peso del tratto iniziale a Sn, e un termine variabile linearmente con $x$ (distanza percorsa dall'estremo destro della corda, credo), quindi col quadrato del tempo poiché $x = 1/2*g*t^2$
Il fattore del termine variabile sarebbe dunque $3/2$ e non $3$....e hai ragione tu.
Sarebbe interessante vedere quali sono i passaggi che conducono a questa soluzione.
Mi limito a postare la soluzione che ho ricavato per il solo tratto finale della discesa della fune, cioè quello in cui il tratto estremo della fune si trova nella curva, di passaggio da destra a sinistra. Per il resto della soluzione, mi risulta che l'impulso del momento (con riferimento alla figura che ho postato, abbia proprio modulo $lambdav^(2)2r$, ed, essendo il braccio della tensione $T$ sul tratto a destra, rispetto al polo O, pari a $2r$, si ha che $T=lambdav^2$, che è uguale all'impulso della forza necessario per decelerare la fune nel passaggio da destra a sinistra. Sul tratto a sinistra grava quindi solo il peso della fuune presente.
Ho utilizzato l'approssimazione di raggio della curva molto piccolo rispetto alla lunghezza della fune nel calcolare l'energia cinetica della fune in questo tratto finale, che ho supposto costante ($E_c$) e pari alla variazione di energia potenziale tra l'istante iniziale della caduta e la fune completamente stesa. Ho ipotizzato che le fui rimangano verticali (ci deve essere una reazione esterna perchè questo avvenga).
La forza dovuta alla variazione di quantità di moto nello scorrimento della fune verso sinistra l'ho così calcolata
$d/(dt)Q_y=lim_(Deltat -> 0) (int_(ralpha(t))^(ralpha(t+Deltat))lambdav_(Py)ds)/(Deltat)=omegar(cosalpha-1)$
Dove $omega$ è la velocità angolare della carrucola.
La velocità angolare l'ho calcolata integrando sul tratto di fune in movimento l'energia cinetica e ponendola uguale alla costante $E_c$
$omega=sqrt(E_c/(lambdar^3(alpha-sinalpha)))$
Sostituendo nell'espressione della forza si ottiene che per $alpha$ che tende a zero, ovvero per fune quasi completamente distesa, la forza tende a zero, e rimane solo il peso a gravare sul tratto di fune di sinistra.
Per quanto riguarda il valore massimo di tale forza, questo mi risulta essere a circa $alpha=1,97$ in radianti, dipendente dall'energia cinetica, dalla densità della fune e dal raggio della curva.
Ho utilizzato l'approssimazione di raggio della curva molto piccolo rispetto alla lunghezza della fune nel calcolare l'energia cinetica della fune in questo tratto finale, che ho supposto costante ($E_c$) e pari alla variazione di energia potenziale tra l'istante iniziale della caduta e la fune completamente stesa. Ho ipotizzato che le fui rimangano verticali (ci deve essere una reazione esterna perchè questo avvenga).
La forza dovuta alla variazione di quantità di moto nello scorrimento della fune verso sinistra l'ho così calcolata
$d/(dt)Q_y=lim_(Deltat -> 0) (int_(ralpha(t))^(ralpha(t+Deltat))lambdav_(Py)ds)/(Deltat)=omegar(cosalpha-1)$
Dove $omega$ è la velocità angolare della carrucola.
La velocità angolare l'ho calcolata integrando sul tratto di fune in movimento l'energia cinetica e ponendola uguale alla costante $E_c$
$omega=sqrt(E_c/(lambdar^3(alpha-sinalpha)))$
Sostituendo nell'espressione della forza si ottiene che per $alpha$ che tende a zero, ovvero per fune quasi completamente distesa, la forza tende a zero, e rimane solo il peso a gravare sul tratto di fune di sinistra.
Per quanto riguarda il valore massimo di tale forza, questo mi risulta essere a circa $alpha=1,97$ in radianti, dipendente dall'energia cinetica, dalla densità della fune e dal raggio della curva.
Caspita! Che lunga discussione su questo problemino!
Ho letto e alla fine mi sembra di aver colto che ci sia una incompatibilità tra due questioni.
La soluzione trovata da Cmax, e con qualche piccola differenza credo non importante al fine del ragionamento, da navigatore e da arrigo all'inizio (e da altri che mi sfuggono) presuppone che l'estremo libero della corda cada con accelerazione costante g.
Questa soluzione credo sia anche la stessa che ha avuto in mente chi ha per primo proposto l'esercizio come un esercizietto di fisica 1.
D'altra parte però a me rimarrebbe il dubbio che quell'ipotesi sia vera, e in effetti arrigo ha riportato l'approccio lagrangiano che mostra che l'estremo libero della fune segue un'equazione differenziale piuttosto complessa e quindi non cadrebbe con accelerazione costante g....
A questo punto le opzioni sono 3:
1) C'è qualcosa che non ho capito io nelle soluzioni proposte e non c'è contraddizione tra la trattazione di arrigo e le altre.
2) La trattazione di arrigo è corretta quindi l'ipotesi della caduta con accelerazione g è errata.
3) La trattazione di arrigo contiene qualche errore (ma a me pare ineccepibile) e sono corrette le altre trattazioni.
Ho letto e alla fine mi sembra di aver colto che ci sia una incompatibilità tra due questioni.
La soluzione trovata da Cmax, e con qualche piccola differenza credo non importante al fine del ragionamento, da navigatore e da arrigo all'inizio (e da altri che mi sfuggono) presuppone che l'estremo libero della corda cada con accelerazione costante g.
Questa soluzione credo sia anche la stessa che ha avuto in mente chi ha per primo proposto l'esercizio come un esercizietto di fisica 1.
D'altra parte però a me rimarrebbe il dubbio che quell'ipotesi sia vera, e in effetti arrigo ha riportato l'approccio lagrangiano che mostra che l'estremo libero della fune segue un'equazione differenziale piuttosto complessa e quindi non cadrebbe con accelerazione costante g....
A questo punto le opzioni sono 3:
1) C'è qualcosa che non ho capito io nelle soluzioni proposte e non c'è contraddizione tra la trattazione di arrigo e le altre.
2) La trattazione di arrigo è corretta quindi l'ipotesi della caduta con accelerazione g è errata.
3) La trattazione di arrigo contiene qualche errore (ma a me pare ineccepibile) e sono corrette le altre trattazioni.
Lucida e ottima sintesi, Faussone !
Bene, Faussone.
Quindi?
Non è un problemino di Fisica 1 ? Occorrono lagrangiane ed ODE non risolvibili per risolverlo, come dice Arrigo? Può darsi, non discuto questo. Però per favore spiegami in maniera elementare (tu sai farlo) e senza lagrangiane per qual motivo l'estremità libera del capo di destra non dovrebbe cadere con accelerazione $g$ costante. Non lo chiedo per far polemica, ma solo perchè veramente non l'ho capito.
E poi, bocciamo il professore....
Quindi?
Non è un problemino di Fisica 1 ? Occorrono lagrangiane ed ODE non risolvibili per risolverlo, come dice Arrigo? Può darsi, non discuto questo. Però per favore spiegami in maniera elementare (tu sai farlo) e senza lagrangiane per qual motivo l'estremità libera del capo di destra non dovrebbe cadere con accelerazione $g$ costante. Non lo chiedo per far polemica, ma solo perchè veramente non l'ho capito.
E poi, bocciamo il professore....
"sonoqui_":
...... Per il resto della soluzione, mi risulta che l'impulso del momento (con riferimento alla figura che ho postato, abbia proprio modulo $lambdav^(2)2r$, ed, essendo il braccio della tensione $T$ sul tratto a destra, rispetto al polo O, pari a $2r$, si ha che $T=lambdav^2$, che è uguale all'impulso della forza necessario per decelerare la fune nel passaggio da destra a sinistra.....
Come vedo sei d'accordo su questo risultato.
......Sul tratto a sinistra grava quindi solo il peso della fune presente.
.............
Ho utilizzato l'approssimazione
..........
Sostituendo nell'espressione della forza si ottiene che per $alpha$ che tende a zero, ovvero per fune quasi completamente distesa, la forza tende a zero, e rimane solo il peso a gravare sul tratto di fune di sinistra.
Per quanto riguarda il valore massimo di tale forza, questo mi risulta essere a circa $alpha=1,97$ in radianti, dipendente dall'energia cinetica, dalla densità della fune e dal raggio della curva.
Molto interessante la tua soluzione Sono_qui.
Vorrei farvi notare che la richiesta originale di Soter era:
"Trovare la relazione che indica come varia la reazione del sostegno di sinistra al variare del tempo."
Letteralmente, allora, basterebbe trovare ${dF}/{dt}$, per cui non servirebbe calcolare analiticamente alcuna eq diff nè alcun integrale mostruso .
"Trovare la relazione che indica come varia la reazione del sostegno di sinistra al variare del tempo."
Letteralmente, allora, basterebbe trovare ${dF}/{dt}$, per cui non servirebbe calcolare analiticamente alcuna eq diff nè alcun integrale mostruso .
Se la mia soluzione è corretta, invece che dalla lagrangiana, si può passare dalla conservazione dell'energia e trovare detta relazione in modo rapido e semplice.
Ho scritto qui (fine del file) il procedimento:
https://docs.google.com/document/d/1JoBTxF2PxcOHJITzE3zJCXXrchwUhZK7TV8JABY5OAs/pub
Ho scritto qui (fine del file) il procedimento:
https://docs.google.com/document/d/1JoBTxF2PxcOHJITzE3zJCXXrchwUhZK7TV8JABY5OAs/pub
In questi link si riporta il problema, e la soluzione, della "falling chain", come dice Cmax.
I link si spiegano da soli.
Qui, la catena cade su un piano.
http://www.feynmanlectures.info/solutio ... _sol_1.pdf
https://wiki.brown.edu/confluence/downl ... +Chain.pdf
Nel secondo file, ci sono pure dei diagrammi sperimentali allegati.
È diversa, la nostra situazione? Non lo so.
I link si spiegano da soli.
Qui, la catena cade su un piano.
http://www.feynmanlectures.info/solutio ... _sol_1.pdf
https://wiki.brown.edu/confluence/downl ... +Chain.pdf
Nel secondo file, ci sono pure dei diagrammi sperimentali allegati.
È diversa, la nostra situazione? Non lo so.
Non mi sembra proprio la stessa cosa, negli esempi riportati si assume, sottointendendolo, che l'energia meccanica venga dissipata nell'urto della catena con il contenitore. Nel caso del topic invece non si hanno dei veri e propri urti ma sono le forze presenti nel tratto curvo della fune a curvarne la traiettoria e in questo caso gli effetti dissipativi, che ad ogni modo nella realtà si presentano, direi che sono meno importanti (associati alla resistenza plastica alla piegatura della fune, all'attrito dell'aria... direi non ad urti plastici).
Sonoqui,
gli "urti" nel nostro caso sono gli "strattoni" che ogni elemento di massa $dm$ , passando dal moto alla quiete, dà al tratto di fune già in quiete.
Io penso all'esempio della pietra attaccata ad un filo, il cui capo è legato alla ringhiera del balcone: se il filo si suppone flessibile e inestensibile, quando la pietra è caduta di $l$ ( e chi può mettere in dubbio, in questo caso, che cada con accelerazione uguale a $g$ ??? Non io certamente!) passa dal moto alla quiete, no?
È una sorta di "urto anelastico" mi pare.
Quindi, altro che "conservazione dell'energia" , come dice il prof !!! L'energia si dissipa, eccome.
Il fatto è che, come vari problemini di Fisica, le semplificazioni ipotizzate portano a delle soluzioni che "sembrano" assurde, perché lontane dal nostro sentire comune. Anzi, non "sembrano" . Lo sono proprio !
Chi di noi ritiene che, in un esperimento reale, il pezzo di fune di destra cada "perfettamente diritto" ? Chi ritiene che non ci sia attrito con l'aria? Chi pensa che non si dissipi energia, per una serie di motivi? Chi pensa che questa maledetta fune (io farei l'esperimento della pietra e della ringhiera mettendo, al posto della pietra, il professore, con un bel cappio al collo...) arrivata a stendersi rimanga stesa, senza rimbalzare, senza disperdere energia sotto forma anche sonora....:
Nessuno!
gli "urti" nel nostro caso sono gli "strattoni" che ogni elemento di massa $dm$ , passando dal moto alla quiete, dà al tratto di fune già in quiete.
Io penso all'esempio della pietra attaccata ad un filo, il cui capo è legato alla ringhiera del balcone: se il filo si suppone flessibile e inestensibile, quando la pietra è caduta di $l$ ( e chi può mettere in dubbio, in questo caso, che cada con accelerazione uguale a $g$ ??? Non io certamente!) passa dal moto alla quiete, no?
È una sorta di "urto anelastico" mi pare.
Quindi, altro che "conservazione dell'energia" , come dice il prof !!! L'energia si dissipa, eccome.
Il fatto è che, come vari problemini di Fisica, le semplificazioni ipotizzate portano a delle soluzioni che "sembrano" assurde, perché lontane dal nostro sentire comune. Anzi, non "sembrano" . Lo sono proprio !
Chi di noi ritiene che, in un esperimento reale, il pezzo di fune di destra cada "perfettamente diritto" ? Chi ritiene che non ci sia attrito con l'aria? Chi pensa che non si dissipi energia, per una serie di motivi? Chi pensa che questa maledetta fune (io farei l'esperimento della pietra e della ringhiera mettendo, al posto della pietra, il professore, con un bel cappio al collo...) arrivata a stendersi rimanga stesa, senza rimbalzare, senza disperdere energia sotto forma anche sonora....:
Nessuno!
Col mio precedente messaggio volevo solo esprimere i dubbi che ho avuto leggendo tutta questa discussione.
Poi non ho risposte definitive, ho bisogno di pensarci su con calma, comunque chi è intervenuto nella discussione non credo proprio abbia bisogno di mie conferme o smentite.
@navigatore
L'analogia che fai con la corda senza peso e le varie massette collegate ad essa è interessante, ma io non sono sicuro che la corda in caduta non vada, per così dire, a tirare le massette che stanno cadendo determinando quindi una caduta diversa dalla caduta in presenza di sola gravità (quando dico non sono sicuro lo intendo alla lettera).
Poi non ho risposte definitive, ho bisogno di pensarci su con calma, comunque chi è intervenuto nella discussione non credo proprio abbia bisogno di mie conferme o smentite.
@navigatore
L'analogia che fai con la corda senza peso e le varie massette collegate ad essa è interessante, ma io non sono sicuro che la corda in caduta non vada, per così dire, a tirare le massette che stanno cadendo determinando quindi una caduta diversa dalla caduta in presenza di sola gravità (quando dico non sono sicuro lo intendo alla lettera).
"Faussone":
........
@navigatore
L'analogia che fai con la corda senza peso e le varie massette collegate ad essa è interessante, ma io non sono sicuro che la corda in caduta non vada, per così dire, a tirare le massette che stanno cadendo determinando quindi una caduta diversa dalla caduta in presenza di sola gravità (quando dico non sono sicuro lo intendo alla lettera).
Si, ho capito che cosa intendi : la massetta di sotto, in caduta potrebbe ( il condizionale è d'obbligo ) tirare un po' quella di sopra...E quindi l'ultima, cioè quella messa in cima al ramo cadente, potrebbe essere "tirata" più di tutte le altre, dalla "sommatoria" delle precedenti...
Sono perplesso su questo, amico mio....
Penso a due masse sole, collegate da uno spago di una certa lunghezza $h$, inizialmente ferme, sospese in verticale una sopra l'altra : in questa condizione, lo spago sente il peso della massa inferiore. Ma se lasciamo andare il vincolo che tiene la superiore, cadono tutte e due con la stessa accelerazione, pari a $g$ , ti sembra ? E lo spago si scarica : se le due masse inizialmente si trovano ad una distanza $d$ , e vengono lasciate cadere contemporaneamente, il moto è unif. accelerato per entrambe, la distanza $d$ non cambia, perciò il filo che le unisce non è soggetto ad alcuna tensione, lo puoi anche togliere, la distanza rimane $d$ ....Quando fai cadere la catena in verticale, nei punti di contatto tra maglia e maglia non c'è alcuna forza di compressione...mi sembra!
Naturalmente si assume che sia $\vecg = "cost"$ .
A meno che...a meno che tu non voglia considerare la differenza di $g$ dovuta alla differente quota nel campo gravitazionale (una volta misi pure un esercizio del genere, dove si vede che nel filo c'è una tensione inversamente proporzionale al cubo del raggio terrestre ...). Insomma, ci sarebbe una accelerazione differenziale ( di marea...)
MA no, questo sarebbe troppo complicato...
Ho ripensato un po' alla questione. E ho trovato un punto di vista diverso, forse un mio errore...
Che sciocco a non pensarci prima.
Innanzitutto, chiamo con $h= l/2$ la lunghezza di metà corda, per evitare confusioni di fattori.
Mi rifaccio al mio esempio, di una fune senza massa, che porti attaccate un numero discreto di masse uguali, legate sul tratto di destra a distanze uguali tra loro.
Supponiamo, per esempio, che le masse siano $4$, e che siano poste a distanze uguali tra loro sul tratto destro. Nella situazione iniziale (fune ferma), la massa 1 più in basso si trova a $1/4h$ dalla curva (livello zero), la massa 2 a $2*h/4 = 1/2h$ ; la massa 3 si trova a $3/4 h$ , la massa 4 si torva in cima, a $4h/4 = h $ dalla curva.
È chiaro che lasciando cadere il ramo Ds, la 1 deve percorrere, per arrestarsi, NON $1/4h$ , bensi il doppio (basta farsi un disegnino...) , e quindi la velocità finale di caduta della massa 1 è : $ v_1 = sqrt(2g*2*1/4h) = sqrt(gh)$ . È con questa velocità che la massa 1 dà lo strattone alla fune di Sn.
Cosí, la massa 2 deve percorrere, per fermarsi, il tratto : $2*h/2 = h$ , quindi la velocità finale della 2 sarà :
$v_2 = sqrt(2gh)$
La massa 3 deve percorrere il tratto : $ 2*3/4h$ , quindi : $v_3 = sqrt (2g* 3/2h) = sqrt(3gh) $
La massa 4 deve percorrere il tratto : $2*h$ , quindi : $v_4 = sqrt (2g*2h) = sqrt(4gh)$
Spero di essermi spiegato: la velocità di arresto di ciascuna massa aumenta quanto maggiore è la distanza iniziale da livello zero. Ed è logico.
Ora però si tratta di trasformare questa situazione da "discreta" a "continua" ...
Qualcuno se la sente?
Che sciocco a non pensarci prima.
Innanzitutto, chiamo con $h= l/2$ la lunghezza di metà corda, per evitare confusioni di fattori.
Mi rifaccio al mio esempio, di una fune senza massa, che porti attaccate un numero discreto di masse uguali, legate sul tratto di destra a distanze uguali tra loro.
Supponiamo, per esempio, che le masse siano $4$, e che siano poste a distanze uguali tra loro sul tratto destro. Nella situazione iniziale (fune ferma), la massa 1 più in basso si trova a $1/4h$ dalla curva (livello zero), la massa 2 a $2*h/4 = 1/2h$ ; la massa 3 si trova a $3/4 h$ , la massa 4 si torva in cima, a $4h/4 = h $ dalla curva.
È chiaro che lasciando cadere il ramo Ds, la 1 deve percorrere, per arrestarsi, NON $1/4h$ , bensi il doppio (basta farsi un disegnino...) , e quindi la velocità finale di caduta della massa 1 è : $ v_1 = sqrt(2g*2*1/4h) = sqrt(gh)$ . È con questa velocità che la massa 1 dà lo strattone alla fune di Sn.
Cosí, la massa 2 deve percorrere, per fermarsi, il tratto : $2*h/2 = h$ , quindi la velocità finale della 2 sarà :
$v_2 = sqrt(2gh)$
La massa 3 deve percorrere il tratto : $ 2*3/4h$ , quindi : $v_3 = sqrt (2g* 3/2h) = sqrt(3gh) $
La massa 4 deve percorrere il tratto : $2*h$ , quindi : $v_4 = sqrt (2g*2h) = sqrt(4gh)$
Spero di essermi spiegato: la velocità di arresto di ciascuna massa aumenta quanto maggiore è la distanza iniziale da livello zero. Ed è logico.
Ora però si tratta di trasformare questa situazione da "discreta" a "continua" ...
Qualcuno se la sente?
La discussione è proseguita ...
Comunque anche io, pur non avendo più riflettuto sulla cosa, ho fatto una veloce ricerca ed ho trovato un po' di materiale interessante, e credo che se ne possa trovare molto altro, si è rivelato più lungo a dirsi che a farsi.
Mentre credo che Soter possa accontentarsi della soluzione basata sull’uso di tensione ed impulso proposta nel primo caso da Thornton e Marion (e su cui mi pare si sia raggiunto un accordo nel thread), sulla scia dell’articolo di Calkin e March molta gente ha discusso il problema esaminandolo come un sistema conservativo. Devo confessare che non sono ancora convinto sia un’ipotesi applicabile (concordo con navigatore che il meccanismo di arresto dell’elemento di massa sia assimilabile ad un urto anelastico), ma se tanti la pensano in modo contrario deve essere tutt’altro che evidente.
L’articolo di Calkin e March è purtroppo accessibile solo tramite istituti o biblioteche convenzionate (o pagando 30 $ per l’articolo, una cifra che ritengo spropositata), ma altri discutono lo stesso problema su articoli open:
Wong e Yasui su arXiv,
Tomaszewski, Pieranski e Geminard sempre su Am. J. Phys., ma rendono disponibile il pdf,
Angel Franco García nel suo Curso Interactivo de Fisica en Internet,
L. Chau, K. Chau e Bernal ne fanno oggetto di una presentazione,
un loro collega, McMillen, studia più o meno la stessa cosa.
Heck, Uylings e Kedzierska ne propongono un’interpretazione in versione bungee jumping che ricorda molto l’esperimento con pietre e corde proposto da navigatore.
Sugli articoli si può trovare ulteriore bibliografia. Insomma, chi vuole divertirsi a discutere sulla conservazione dell’energia e sull’approccio lagrangiano mi pare ne abbia più che a sufficienza.
Comunque anche io, pur non avendo più riflettuto sulla cosa, ho fatto una veloce ricerca ed ho trovato un po' di materiale interessante, e credo che se ne possa trovare molto altro, si è rivelato più lungo a dirsi che a farsi.
Mentre credo che Soter possa accontentarsi della soluzione basata sull’uso di tensione ed impulso proposta nel primo caso da Thornton e Marion (e su cui mi pare si sia raggiunto un accordo nel thread), sulla scia dell’articolo di Calkin e March molta gente ha discusso il problema esaminandolo come un sistema conservativo. Devo confessare che non sono ancora convinto sia un’ipotesi applicabile (concordo con navigatore che il meccanismo di arresto dell’elemento di massa sia assimilabile ad un urto anelastico), ma se tanti la pensano in modo contrario deve essere tutt’altro che evidente.
L’articolo di Calkin e March è purtroppo accessibile solo tramite istituti o biblioteche convenzionate (o pagando 30 $ per l’articolo, una cifra che ritengo spropositata), ma altri discutono lo stesso problema su articoli open:
Wong e Yasui su arXiv,
Tomaszewski, Pieranski e Geminard sempre su Am. J. Phys., ma rendono disponibile il pdf,
Angel Franco García nel suo Curso Interactivo de Fisica en Internet,
L. Chau, K. Chau e Bernal ne fanno oggetto di una presentazione,
un loro collega, McMillen, studia più o meno la stessa cosa.
Heck, Uylings e Kedzierska ne propongono un’interpretazione in versione bungee jumping che ricorda molto l’esperimento con pietre e corde proposto da navigatore.
Sugli articoli si può trovare ulteriore bibliografia. Insomma, chi vuole divertirsi a discutere sulla conservazione dell’energia e sull’approccio lagrangiano mi pare ne abbia più che a sufficienza.
Grazie Cmax per la dettagliata ricerca bibliografica!
Basta sapere usare bene google e affini e si sciolgono tutte i nodi, o meglio si srotolano tutte le corde/catene.
E' il bello ( e forse allo stesso tempo un po' il brutto) di oggi.
[ot]Non sono così anziano, ma ricordo i tempi in cui c'era da fare molta più fatica, in termini celebrali o in termini fisici (nel senso che non bastava stare seduti davanti al pc per fare una ricerca bibliografica su un certo argomento).
Sia chiaro non ho nostalgia di quei tempi, è solo una riflessione estemporanea.[/ot]
Insomma alla fine della fiera mi pare che la soluzione più completa in questa discussione sia quella di arrigo e che considerare l'estremo libero della corda in caduta libera con accelerazione costante g sia un'approssimazione, che a rigore varrebbe solo agli istanti iniziali della caduta.
Basta sapere usare bene google e affini e si sciolgono tutte i nodi, o meglio si srotolano tutte le corde/catene.
E' il bello ( e forse allo stesso tempo un po' il brutto) di oggi.
[ot]Non sono così anziano, ma ricordo i tempi in cui c'era da fare molta più fatica, in termini celebrali o in termini fisici (nel senso che non bastava stare seduti davanti al pc per fare una ricerca bibliografica su un certo argomento).
Sia chiaro non ho nostalgia di quei tempi, è solo una riflessione estemporanea.[/ot]
Insomma alla fine della fiera mi pare che la soluzione più completa in questa discussione sia quella di arrigo e che considerare l'estremo libero della corda in caduta libera con accelerazione costante g sia un'approssimazione, che a rigore varrebbe solo agli istanti iniziali della caduta.
Anch'io ringrazio Cmax per il suo lavoro.
Non ho nessuna intenzione di leggermi la roba di tutti quei link
A me sembra invece di poter dire questo : non c'è alcuna certezza su quale sia la soluzione corretta. La conservazione dell'energia da alcuni è data per scontata, da altri messa in discussione.
E comunque, non è in ogni caso un problemino da Fisica 1. Se qualcuno crede di poterlo proporre perché si risolve con metodi elementari (il che abbiamo visto essere praticamente impossibile), non agisce correttamente, perchè non si è documentato a sufficienza "prima".
Ma questa è solo una mia piccola idea.
Non ho nessuna intenzione di leggermi la roba di tutti quei link
A me sembra invece di poter dire questo : non c'è alcuna certezza su quale sia la soluzione corretta. La conservazione dell'energia da alcuni è data per scontata, da altri messa in discussione.
E comunque, non è in ogni caso un problemino da Fisica 1. Se qualcuno crede di poterlo proporre perché si risolve con metodi elementari (il che abbiamo visto essere praticamente impossibile), non agisce correttamente, perchè non si è documentato a sufficienza "prima".
Ma questa è solo una mia piccola idea.
"navigatore":
A me sembra invece di poter dire questo : non c'è alcuna certezza su quale sia la soluzione corretta. La conservazione dell'energia da alcuni è data per scontata, da altri messa in discussione.
Da quello che ho visto io comunque c'è abbastanza convergenza sulla soluzione proposta da arrigo con la lagrangiana, o equivalentemente con la conservazione dell'energia.
Nella presentazione linkata c'è persino la prova sperimentale che mostra che l'estremo della corda che si srotola cade più velocemente di un corpo in caduta libera.
"navigatore":
E comunque, non è in ogni caso un problemino da Fisica 1. Se qualcuno crede di poterlo proporre perché si risolve con metodi elementari (il che abbiamo visto essere praticamente impossibile), non agisce correttamente, perchè non si è documentato a sufficienza "prima".
Concordo che non è affatto un problemino semplice da assegnare come esercizietto in un corso di fisica 1, se non fornendo precise linee guida.
Stanotte, fra un sogno e l'altro, mi è venuto in mente di provare a generalizzare il problema:
una corda si muove (senza vincoli, sottilissima, snodabilissima, senza attriti) su un piano verticale con gravità uniforme $g$.
Insomma, una sorta di teoria delle stringhe classica...
Ps. In sogno avevo anche deciso di citare nello scritto che avrei prodotto, per un suo contributo che non ricordo, il signor S.B. ...
una corda si muove (senza vincoli, sottilissima, snodabilissima, senza attriti) su un piano verticale con gravità uniforme $g$.
Insomma, una sorta di teoria delle stringhe classica...
Ps. In sogno avevo anche deciso di citare nello scritto che avrei prodotto, per un suo contributo che non ricordo, il signor S.B. ...
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