Corda in caduta libera
Salve a tutti, per chi ha seguito il mio ultimo esercizio definito da alcuni utenti "diabolico" questo è un altro sempre inventato dal mio prof. Ora non so se questo sia realmente tanto difficile, fatto sta che io non sono riuscito a risolverlo. Allora abbiamo una corda lunga $ l $ inestensibile e omogenea di densità $ lambda $ , la corda è attaccata al soffitto dalle due estremità. I due spezzoni di corda sono posti a distanza infinitesimale $ dl $ uno dall'altro, insomma, tanto quanto basta affinché non si tocchino. Si taglia la parte di corda fissata a destra proprio all'estremità di contatto col soffitto. Trovare la relazione che indica come varia la reazione del sostegno di sinistra al variare del tempo. Vi allego un'immagine, tanto per capirci meglio! 
Grazie in anticipo a tutti quelli che cercheranno di aiutarmi! 
Grazie in anticipo a tutti quelli che cercheranno di aiutarmi!
Risposte
Se si può assumere la caduta libera, e nonostante l'indicazione contraria di Soter credo di si, il problema si riconduce a quello della catena in caduta (cercate falling chain su Google).
@navigatore: si possono così ricavare le due tensioni, quella di destra e quella di sinistra, proprio al di sopra della puleggia, se si conoscono altre informazioni, anche senza risolvere l'equazione di moto, come la velocità del tratto di sinistra in funzione della sua corsa ($v(y(t))$), ricavabile con il metodo proposto da arrigo, ovvero sfruttando la conservazione dell'energia meccanica.
$(dv)/(dt)=(dv)/(dy)(dy)/(dt)$
Attenzione i miei risultati nello svolgimento della derivata dell'integrale sono errati, in quanto nella derivazione rispetto al tempo ho considerato per sbaglio i limiti di integrazione fissi, mentre è il sistema meccanico scelto che è fissato, ovvero il tratto di fune che all'istante a cui si riferisce il disegno occupa l'arco OA inferiore della circonferenza, mentre in istanti successivi si sposta.
Nel caso in cui il raggio della carruola tenda a zero, si hanno alcuni effetti: il peso del tratto di fune che avvolge la carrucola $mvecg$ diventa insignificante nel calcolo del momento delle forze rispetto al polo O, $M(O)$ tende a zero come $(A-O)$ tende a zero.
$(dv)/(dt)=(dv)/(dy)(dy)/(dt)$
Attenzione i miei risultati nello svolgimento della derivata dell'integrale sono errati, in quanto nella derivazione rispetto al tempo ho considerato per sbaglio i limiti di integrazione fissi, mentre è il sistema meccanico scelto che è fissato, ovvero il tratto di fune che all'istante a cui si riferisce il disegno occupa l'arco OA inferiore della circonferenza, mentre in istanti successivi si sposta.
Nel caso in cui il raggio della carruola tenda a zero, si hanno alcuni effetti: il peso del tratto di fune che avvolge la carrucola $mvecg$ diventa insignificante nel calcolo del momento delle forze rispetto al polo O, $M(O)$ tende a zero come $(A-O)$ tende a zero.
Non ritengo si possa trattare come la catena in caduta libera, Soter e il suo professore dicono bene.
Nè ritengo corretto il procedimento di Sono_qui.
Visti i pareri contrari, non resta che aspettare la soluzione del professore, se Soter vorrà informarci.
Perciò anch'io non aggiungo parola.
Nè ritengo corretto il procedimento di Sono_qui.
Visti i pareri contrari, non resta che aspettare la soluzione del professore, se Soter vorrà informarci.
Perciò anch'io non aggiungo parola.
direi che è quasi d'obbligo postare la soluzione! sarebbe un po come aver fatto una cena tutti insieme e non chiudere con caffè e ammazzino.
per quanto riguarda la questione di lagrange o no, io reputo che un problema risolto va bene. ognuno lo risolve con i metodi che sa. poi vabbè son io che preferisco sporcarmi le mani con la fisica 1 piuttosto che fare lagrange, per quanto la sua scoperta mi abbia reso gioioso
per quanto riguarda la questione di lagrange o no, io reputo che un problema risolto va bene. ognuno lo risolve con i metodi che sa. poi vabbè son io che preferisco sporcarmi le mani con la fisica 1 piuttosto che fare lagrange, per quanto la sua scoperta mi abbia reso gioioso
Visto che i dubbi su quale sia la soluzione esatta persistono, e visto che non è ancora stata presentata una via risolutiva completamente accettabile che non metta in gioco la lagrangiana, provo ad esporre la mia idea in modo completo, aiutandomi con le immagini.
Innanzitutto, il problema e la notazione che uso per descriverlo sono contenuti nella seguente immagine
dove vigono le relazioni seguenti
\[
x_1(t) = l_1(t)/2, \qquad l_1(t) + l_2(t) \equiv l, \qquad x_2(t) = l_1(t) - l_2(t)/2.
\]
Usando come variabile di stato \(x(t) = x_1(t)\), posso esprimere le rimanenti tre grandezze come
\[
l_1(t) = 2x(t), \qquad l_2(t) = l - 2x(t), \qquad x_2(t) = 3x(t) - l/2.
\]
Ora passo a considerare lo schema del corpo libero del problema dinamico sotto esame, riportato nella seguente figura dove non compaiono momenti per via dell'approssimazione dei due tratti di fune molto vicini
La nostra incognita è la tensione $T$ esercitata sul sostegno dalla fune in caduta. Le varie grandezze che compaiono valgono
\[
\dot{x}_1(t) = \dot{x}(t), \qquad \dot{x}_2(t) = 3\dot{x}(t),
\]
e le più complicate
\[
\frac{d}{dt}(l_1\dot{x}_1) = 2(\dot{x}^2 + x\ddot{x}), \qquad \frac{d}{dt}(l_2\dot{x}_2) = 3l\ddot{x} - 6(\dot{x}^2 + x\ddot{x}).
\]
Sommando tutto secondo l'ascissa curvilinea della fune si ottiene l'identità
\[
T = \lambda \left[ (3l - 8x)\ddot{x} - 8\dot{x}^2 + (4x - l)g \right].
\]
Resta l'incognita su quale sia la legge oraria di $x(t)$. Per ottenerla passo ad un nuovo problema di corpo libero, questa volta concentrato sul solo ramo destro della fune, come in figura
Qui sta il punto debole della mia procedura: l'ipotesi che non so giustificare e che potrebbe compromettere tutto. Smetto di sommare le forze secondo l'ascissa curvilinea della fune e passo alla coordinata verticale. Questo perché immagino che la tensione $T_\text{f}$ esercitata del ramo sinistro della fune esista con il solo scopo di sottrarre massa al ramo destro della fune man mano che questo cade: una sorta di moltiplicatore di Lagrange di cui tengo già conto attraverso la relazione $l_1(t) + l_2(t) \equiv l$.
Se qualcuno è in grado di giustificare meglio questa ipotesi o conferma che sia una falsità, bene. Ad ogni modo, assumendola si arriva all'equazione differenziale che controlla la legge oraria:
\[
3(l-2x)\ddot{x} - 6\dot{x}^2 = (l-2x)g,
\]
corredata delle condizioni iniziali $x(0) = l/4$ e $\dot{x}(0) = 0$.
Innanzitutto, il problema e la notazione che uso per descriverlo sono contenuti nella seguente immagine
dove vigono le relazioni seguenti
\[
x_1(t) = l_1(t)/2, \qquad l_1(t) + l_2(t) \equiv l, \qquad x_2(t) = l_1(t) - l_2(t)/2.
\]
Usando come variabile di stato \(x(t) = x_1(t)\), posso esprimere le rimanenti tre grandezze come
\[
l_1(t) = 2x(t), \qquad l_2(t) = l - 2x(t), \qquad x_2(t) = 3x(t) - l/2.
\]
Ora passo a considerare lo schema del corpo libero del problema dinamico sotto esame, riportato nella seguente figura dove non compaiono momenti per via dell'approssimazione dei due tratti di fune molto vicini
La nostra incognita è la tensione $T$ esercitata sul sostegno dalla fune in caduta. Le varie grandezze che compaiono valgono
\[
\dot{x}_1(t) = \dot{x}(t), \qquad \dot{x}_2(t) = 3\dot{x}(t),
\]
e le più complicate
\[
\frac{d}{dt}(l_1\dot{x}_1) = 2(\dot{x}^2 + x\ddot{x}), \qquad \frac{d}{dt}(l_2\dot{x}_2) = 3l\ddot{x} - 6(\dot{x}^2 + x\ddot{x}).
\]
Sommando tutto secondo l'ascissa curvilinea della fune si ottiene l'identità
\[
T = \lambda \left[ (3l - 8x)\ddot{x} - 8\dot{x}^2 + (4x - l)g \right].
\]
Resta l'incognita su quale sia la legge oraria di $x(t)$. Per ottenerla passo ad un nuovo problema di corpo libero, questa volta concentrato sul solo ramo destro della fune, come in figura
Qui sta il punto debole della mia procedura: l'ipotesi che non so giustificare e che potrebbe compromettere tutto. Smetto di sommare le forze secondo l'ascissa curvilinea della fune e passo alla coordinata verticale. Questo perché immagino che la tensione $T_\text{f}$ esercitata del ramo sinistro della fune esista con il solo scopo di sottrarre massa al ramo destro della fune man mano che questo cade: una sorta di moltiplicatore di Lagrange di cui tengo già conto attraverso la relazione $l_1(t) + l_2(t) \equiv l$.
Se qualcuno è in grado di giustificare meglio questa ipotesi o conferma che sia una falsità, bene. Ad ogni modo, assumendola si arriva all'equazione differenziale che controlla la legge oraria:
\[
3(l-2x)\ddot{x} - 6\dot{x}^2 = (l-2x)g,
\]
corredata delle condizioni iniziali $x(0) = l/4$ e $\dot{x}(0) = 0$.
Allora, ringrazio infinitamente tutti per l'interesse e scusate per l'assenza sul forum ma ho avuto lezione tutto il giorno. Ho notato che purtroppo non si è arrivati ad una soluzione definitiva del problema e, il problema più grande e che il mio professore non mi dirà mai la soluzione! Al massimo quando ho impostato un procedimento locico posso andare da lui e chiederli se è corretto. A questo punto, domani dopo le lezioni proverò ad impostare un procedimento(condiderando i vostri rsgionamenti) e appena possibile glielo mostrerò. A presto!
Bene, sono felice di vedere che, a parte coefficienti, l'eq del moto trovata da me e da altri di voi con metodi diversi (io con la lagrangiana) è la stessa !!!!!!!
Ri posto la mia:
$(ddot y +g) (y + l) + 1/2 dot y^2 = 0$.
Si tratta di una ODE la cui soluzione passa attraverso un bruttisimo integrale ... per cui mi chiedo perchè dare a fisica 1 un tale esercizio. A meno che non si consideri vera l'ipotesi della caduta libera che porta con semplici calcoli ad una parabola, ma quella è stata scartata, da quel che ho capito, dal prof. Mah...
Per concludere, trovata l'eq del moto, la questione della reazione del vincolo per me è di nessun interesse
Ps. Che strano professore, che non darà mai la propria soluzione, che siamo a lascia e radoppia ?
Ri posto la mia:
$(ddot y +g) (y + l) + 1/2 dot y^2 = 0$.
Si tratta di una ODE la cui soluzione passa attraverso un bruttisimo integrale ... per cui mi chiedo perchè dare a fisica 1 un tale esercizio. A meno che non si consideri vera l'ipotesi della caduta libera che porta con semplici calcoli ad una parabola, ma quella è stata scartata, da quel che ho capito, dal prof. Mah...
Per concludere, trovata l'eq del moto, la questione della reazione del vincolo per me è di nessun interesse
Ps. Che strano professore, che non darà mai la propria soluzione, che siamo a lascia e radoppia ?
Ormai sono curioso di sapere la soluzione. Comunque, provando lo stesso il modo chain-like, se $R$ e $R’$ sono le tensioni al vincolo ed allo snodo, si ha $R-R’= \frac{1}{2} \lambda (l + z) g$, dove $z$ è la distanza dell’estremo libero dal soffitto. Se questo estremo si abbassa di $\Delta z$, allora lo snodo si abbassa di $ \frac{\Delta z}{2}$ e quindi la quantità di impulso che viene annullato dalla reazione $R’$ è $\Delta p_z = \frac{1}{2} \Delta z \lambda v_z$. Inoltre $\Delta z = v_z \Delta t$, e quindi $\Delta p_z = \frac{1}{2} \lambda v_z^2 \Delta t$, da cui $R’=\frac{Delta p_z}{\Delta t} = \frac{1}{2} \lambda v_z^2$. Adottando l’ipotesi di caduta libera, $v_z^2 = 2 g z$, e sostituendo nell’equazione iniziale, $R=\frac{1}{2} \l \lambda g + \frac{3}{2} \lambda g z$. Con la legge oraria $z=\frac{1}{2} g t^2$ si ottiene $R(t)$.
Caro Cmax, questo problema è meglio di una fiction televisiva ...
La tua soluzione è come la mia data nel primo post, solo che l'eq oraria di caduta libera io l'applicavo al baricentro dello spezzone destro ...
Considerazione finale. La soluzione della caduta libera è semplice ma cozza con la solizione in termini di lagrangiana ed altri metodi che portano allo stesso risultato. Insomma, metodi antagonisti. Oggi, faccio il tifo per Lagrange, che è più generale e non necessita di atti di fede tipo eq orarie imposte a posteriori ...
La tua soluzione è come la mia data nel primo post, solo che l'eq oraria di caduta libera io l'applicavo al baricentro dello spezzone destro ...
Considerazione finale. La soluzione della caduta libera è semplice ma cozza con la solizione in termini di lagrangiana ed altri metodi che portano allo stesso risultato. Insomma, metodi antagonisti. Oggi, faccio il tifo per Lagrange, che è più generale e non necessita di atti di fede tipo eq orarie imposte a posteriori ...
scusate la domanda, forse è banale e dipende dal fatto che non ho letto attentamente tutto la discussione. con Lagrange si è arrivati a scrivere un equazione diff che ha detta di arrigo si risolve attraverso un brutto integrale. Ma non è come spesso accade in fisica che alcuni risultati si possono trovare anche senza risolvere l'equazione del moto per altra via? Cioè per lo meno a me è capitato spesso di pensare a risolvere un problema trovando l'equazione del moto e poi da quella trovare la soluzione, ma poi ti inceppi. quando invece puoi ottenere quel risultato con considerazioni diverse. anche perchè se davvero la reazione deve essere in funzione del tempo quell'eq diff di arrigo va risolta e non numericamente
In effetti le espressioni sono simili, a meno di un coefficiente numerico, ma senza procedimento esplicito non saprei confrontarle. Per la formulazione lagrangiana, dovrei capire come scrivere il termine dissipativo, considerando che in questo sistema l'energia meccanica non si conserva.
Mi sembra vogliate dimenticare che si tratta di un problema di Fisica 1....
Non metto in discussione Lagrange e ODE, ci mancherebbe. Però il problema chiede di sapere soltanto come si esprime, in funzione del tempo, la reazione della sospendita di sinistra, non chiede l'equazione del moto del pezzo desto della fune.
Ed io sono abbastanza convinto della mia soluzione: la reazione è somma di due termini, di cui uno costante (il peso iniziale del ramo sinistro) e uno variabile linearmente con la quota di cui si abbassa il ramo destro, quindi variabile col quadrato del tempo. Questo termine variabile, è dovuto sia al peso che man mano si aggiunge a Sn, sia all'impulso che agisce, sempre a Sn, per ogni pezzetto $dx$ ovvero ogni massa elementare $dm$ di fune che, "passando da Ds a Sn" ( mi capite che cosa intendo...) passa dal moto in caduta alla quiete.
Se pensate per un momento di segnare con un pennarello due tratti distanti $dx$ sul tratto di destra, e di osservarlo con continuità, vi rendete conto che il segmento di fune mentre si trova a Ds cade con moto uniformemente accelerato, ma quando arriva il suo turno, e cioè nel punto più basso che può raggiungere (la curva), fa per così dire una inversione a 180º e si blocca istantaneamente, dando un impulso al ramo di Sn (trascuriamo perdite di energia e elasticità della fune, non abbiamo modo di tenerne conto): è come una sorta di "urto completamente anelastico"
Ma aspettiamo fiduciosi la soluzione di questo fantastico prof di Soter !!!
Non metto in discussione Lagrange e ODE, ci mancherebbe. Però il problema chiede di sapere soltanto come si esprime, in funzione del tempo, la reazione della sospendita di sinistra, non chiede l'equazione del moto del pezzo desto della fune.
Ed io sono abbastanza convinto della mia soluzione: la reazione è somma di due termini, di cui uno costante (il peso iniziale del ramo sinistro) e uno variabile linearmente con la quota di cui si abbassa il ramo destro, quindi variabile col quadrato del tempo. Questo termine variabile, è dovuto sia al peso che man mano si aggiunge a Sn, sia all'impulso che agisce, sempre a Sn, per ogni pezzetto $dx$ ovvero ogni massa elementare $dm$ di fune che, "passando da Ds a Sn" ( mi capite che cosa intendo...) passa dal moto in caduta alla quiete.
Se pensate per un momento di segnare con un pennarello due tratti distanti $dx$ sul tratto di destra, e di osservarlo con continuità, vi rendete conto che il segmento di fune mentre si trova a Ds cade con moto uniformemente accelerato, ma quando arriva il suo turno, e cioè nel punto più basso che può raggiungere (la curva), fa per così dire una inversione a 180º e si blocca istantaneamente, dando un impulso al ramo di Sn (trascuriamo perdite di energia e elasticità della fune, non abbiamo modo di tenerne conto): è come una sorta di "urto completamente anelastico"
Ma aspettiamo fiduciosi la soluzione di questo fantastico prof di Soter !!!
Per Cmax.
Il procedimento l'ho scritto qui:
https://docs.google.com/document/d/1JoBTxF2PxcOHJITzE3zJCXXrchwUhZK7TV8JABY5OAs/pub .
Circa la conservazione dell'energia, anch'io pensavo che non si conservasse, ora, dopo controlli incrociati fra hamiltoniana e lagrangiana (sempre se l'ho calcolata giusta) sono arrivato alla conclusione che l'energia si conserva finché c'è movimento. Quando la corda é tutta stesa, in quell'istante, l'energia meno l'energia potenziale della corda stesa (ovvero l'energia cinetica) si dissipa ...
Per Navigatore.
Sono intuitivamente d'accordo sulla tua visione, però il mio cervello è formattato dalle lagrangiane e, purtroppo, non risesco a seguiirti...
Per Eugenio.
Hai ragione, ma Lagrange (se applicato correttamente) vince su tutto per cui se c'è un conflitto l'errore è dall'altra parte. E qui c'è un conflitto grosso! Lagrange (se l'ho usato bene) porta ad un'equazione del moto tutt'altro che esattamente parabolica, mentre i procedimenti a caduta libera con l'assunzione che a destra si cada con accel costante $g$, portano di conseguenze a soluzioni paraboliche.
Circa la possibilità di risolvero analiticamente o no, nella "vita vera del fisico/matemati/ingegnere ecc." questo succede solo occasionalmente! Le eq sono sempre "brutte" e si deve sempre ricorrere a metodi numerici...
Io ho controllato la mia soluzione numericamente e ho trovato, giustamente, delle curve che sembrano parabole e che lo sono davvero se e solo se $l$ è piccolo ... come è giusto che sia ...
Ps. per tutti. Non esistono i problemi semplici, la natura è sempre complicata e presenta innumerevoli livelli di lettura ...
Il procedimento l'ho scritto qui:
https://docs.google.com/document/d/1JoBTxF2PxcOHJITzE3zJCXXrchwUhZK7TV8JABY5OAs/pub .
Circa la conservazione dell'energia, anch'io pensavo che non si conservasse, ora, dopo controlli incrociati fra hamiltoniana e lagrangiana (sempre se l'ho calcolata giusta) sono arrivato alla conclusione che l'energia si conserva finché c'è movimento. Quando la corda é tutta stesa, in quell'istante, l'energia meno l'energia potenziale della corda stesa (ovvero l'energia cinetica) si dissipa ...
Per Navigatore.
Sono intuitivamente d'accordo sulla tua visione, però il mio cervello è formattato dalle lagrangiane e, purtroppo, non risesco a seguiirti...
Per Eugenio.
Hai ragione, ma Lagrange (se applicato correttamente) vince su tutto per cui se c'è un conflitto l'errore è dall'altra parte. E qui c'è un conflitto grosso! Lagrange (se l'ho usato bene) porta ad un'equazione del moto tutt'altro che esattamente parabolica, mentre i procedimenti a caduta libera con l'assunzione che a destra si cada con accel costante $g$, portano di conseguenze a soluzioni paraboliche.
Circa la possibilità di risolvero analiticamente o no, nella "vita vera del fisico/matemati/ingegnere ecc." questo succede solo occasionalmente! Le eq sono sempre "brutte" e si deve sempre ricorrere a metodi numerici...
Io ho controllato la mia soluzione numericamente e ho trovato, giustamente, delle curve che sembrano parabole e che lo sono davvero se e solo se $l$ è piccolo ... come è giusto che sia ...
Ps. per tutti. Non esistono i problemi semplici, la natura è sempre complicata e presenta innumerevoli livelli di lettura ...
Cmax, ti rendi conto che la tua soluzione per il calcolo della reazione coincide con la mia?
Insomma, fate questo esperimento mentale.
Legate il capo di una fune alla ringhiera del balcone. All'altro capo legate una pietra, che tenete con le mani. Poi fate cadere la pietra liberamente. Supponete la fune senza peso e inestensibile.
Benedetti numi, ma quando la pietra è arrivata alla fine della caduta = lunghezza della corda, lo sentite lo strattone sulla ringhiera, o no ? E come lo calcolate? LA velocita di caduta libera si annulla di colpo (per ipotesi trascuriamo l'elasticità, per cui in realta c'è un rimbalzo...). La reazione iniziale sulla ringhiera, non è mica solo uguale al peso della pietra...
Ora, legate alla fune una serie discreta di pietre...e ripetete l'esperimento....
Insomma, fate questo esperimento mentale.
Legate il capo di una fune alla ringhiera del balcone. All'altro capo legate una pietra, che tenete con le mani. Poi fate cadere la pietra liberamente. Supponete la fune senza peso e inestensibile.
Benedetti numi, ma quando la pietra è arrivata alla fine della caduta = lunghezza della corda, lo sentite lo strattone sulla ringhiera, o no ? E come lo calcolate? LA velocita di caduta libera si annulla di colpo (per ipotesi trascuriamo l'elasticità, per cui in realta c'è un rimbalzo...). La reazione iniziale sulla ringhiera, non è mica solo uguale al peso della pietra...
Ora, legate alla fune una serie discreta di pietre...e ripetete l'esperimento....
È possibile, in questa formulazione si tratta comunque della falling chain e poco più. Il "poco più" consiste nel fatto che in questo problema il punto "di contatto" (in realtà lo snodo) si muove, e quindi l'incremento $\Delta z$, o $dx$ se si preferisce, secondo me contribuisce solo per metà alla variazione dell'impulso, e per questo compare il fattore $1/2$ nel termine non costante.
Cmax, quando $n$ maglie di catena si sono "stese" in verticale, lo "snodo" tra maglia $n$ e maglia $n+1$ (contate dall'alto) non si muove più, è fermo. La maglia $n+1$ ruota attorno ad un (ideale) punto fisso.
Quel fattore $1/2$ non ci vuole, ritengo. Allora il coefficiente della parte variabile è $3$ , non $3/2$ .
Questo, sempre secondo me!
Quel fattore $1/2$ non ci vuole, ritengo. Allora il coefficiente della parte variabile è $3$ , non $3/2$ .
Questo, sempre secondo me!
Anche questa è una possibilità, ma senza quel fattore $1/2$ mi risulta per il momento difficile spiegare come mai quando, alla fine, l'estremo libero della corda ha percorso una distanza $l$ la lunghezza della parte pendente è aumentata solo di $l/2$.
Premetto che, se la fune è ideale, quindi inestensibile, così come tutti gli altri vincoli lo sono, se le funi non possono oscillare, ma sono vincolate, con vincoli lisci, a rimanere verticali, ad esempio fissate a due guide verticali, dalle quali possono distaccarsi solo dove la fune si incurva, avvolgendosi ad esempio sulla carrucola che ho rappresentato nella figura, ideale anche questa, priva di attrito e di massa, allora non ci sono effetti dissipativi e l'energia meccanica si conserva.
Anche senza risolvere l'equazione di moto si può verificare come questo porti ad una soluzione non accettabile fisicamente quando la fune si distende completamente, visto che, quando la fune è vicina alla distensione completa, la variazione dell'energia potenziale tra configurazione iniziale e fune stesa, si concentra, come energia cinetica, nel piccolo tratto ancora non steso, la cui velocità tende ad infinito.
Sotto queste ipotesi quindi la velocità della fune in discesa non è quella di un corpo in caduta libera, il che ci permette di ricavare che l'impulso fornito al tratto di fune che istantaneamente passa dal tratto di destra a quello di sinistra, fermo, non bilanciato solo dalla tensione del tratto di destra, ma anche da quello di sinistra.
Nel passaggio da destra a sinistra il tratto subisce, oltre alla variazione di quantità di moto, anche una variazione di momento angolare che, benchè tenda a zero al tendere a zero della distanza tra i due tratti di funi, non è insignificante, visto che anche il braccio della forza rispetto al polo O della figura che ho postato, tende a zero.
Anche senza risolvere l'equazione di moto si può verificare come questo porti ad una soluzione non accettabile fisicamente quando la fune si distende completamente, visto che, quando la fune è vicina alla distensione completa, la variazione dell'energia potenziale tra configurazione iniziale e fune stesa, si concentra, come energia cinetica, nel piccolo tratto ancora non steso, la cui velocità tende ad infinito.
Sotto queste ipotesi quindi la velocità della fune in discesa non è quella di un corpo in caduta libera, il che ci permette di ricavare che l'impulso fornito al tratto di fune che istantaneamente passa dal tratto di destra a quello di sinistra, fermo, non bilanciato solo dalla tensione del tratto di destra, ma anche da quello di sinistra.
Nel passaggio da destra a sinistra il tratto subisce, oltre alla variazione di quantità di moto, anche una variazione di momento angolare che, benchè tenda a zero al tendere a zero della distanza tra i due tratti di funi, non è insignificante, visto che anche il braccio della forza rispetto al polo O della figura che ho postato, tende a zero.
"Cmax":
Anche questa è una possibilità, ma senza quel fattore $ 1/2 $ mi risulta per il momento difficile spiegare come mai quando, alla fine, l'estremo libero della corda ha percorso una distanza $ l $ la lunghezza della parte pendente è aumentata solo di $ l/2 $.
Perdonami, ma io proprio non ho capito che cosa vuoi dire. Mi sembra logico che il capo tagliato a destra debba scendere di tutta la lunghezza $l$ , ma che il tratto di Sinistra debba "allungarsi" solo di $l/2$.
Era questo che volevi dire? In tutta sincerità, non ho capito.
Sono_qui, le ipotesi di base del problema sono molto semplici. Io non le aumenterei. Non tirerei in ballo anche la variazione del momento angolare...i due tratti di fune sono supposti vicinissimi...perchè vogliamo moltiplicare le ipotesi, aggiungendone di non necessarie, secondo me? (Ricordiamoci del rasoio di Occam, ogni tanto...). Ho visto lagrangiane, hamiltoniane, equazioni differenziali difficilissime...Ma perché?
Allora ripeto: a questo punto abbandoniamo pure l'ipotesi che la fune sia perfettamente flessibile e perfettamente inestensibile (questo significhebbe: dissipazione di energia, elasticità della fune, rimbalzi che si smorzano...) , e non la finiamo più...e il problema allora sí che diventa irresolubile matematicamente...
Per me, fermo restando che io non pontifico perché non presumo di avere la scienza infusa (cosa che non tutti ammettono), io direi che è sufficiente quello che ho già detto, alcuni post fa, come soluzione abbastanza semplice, e adeguata ad un esercizio di Fisica 1 .
Ma naturalmente, ribadisco, posso sbagliare, e allora attendo adeguate correzioni : che siano però veramente adeguate al problema, il quale non chiede equazioni del moto ma solo una reazione, e convincenti per me che sono un utente medio del forum....
Quando Cmax ha postato la sua soluzione all'altro problemino, quello delle due masse su una circonferenza, ho subito riconosciuto la genialità ed esattezza di quello che aveva detto, ed ho scritto : "Rendiamo onore a Cmax...." .
In questo problema, non ho visto colpi di genio. Nè penso di essere io, il genio.
Ora Cmax, sempre secondo me, si sta avvicinando a quella che io reputo essere la soluzione corretta.
Ma per la terza volta dico : queste sono solo le mie idee. Dimostratemi il contrario, ed io sarò ben felice di dire : avete ragione, ho sbagliato. Non tutti lo farebbero.
Per Arrigo : è verissimo, i problemi "reali" che la natura pone "realmente" agli esseri umani, non sono mai così semplici.
È per questo, infatti, che nei problemini di Fisica 1 si adottano ipotesi mooooolto semplificate, trascurando certe cose a favore di certe altre..il piano liscio, la fune flessibile e inestensibile, la carrucola di massa trascurabile...: ma per risolvere i problemi difficili bisogna imparare a risolvere prima quelli semplici.
Ho quasi 50 anni di mestiere difficile sulle spalle...
Signori scusate ma sono riuscito a dare solo un'occhiata ai vostri ragionamenti che a primo acchito mi sembrano molto al di là delle mie conoscenze attuali di Fisica 1. Nonostante ciò oggi ho incontrato il prof. per chiederli perlomeno un aiuto sulla risoluzione dell'esercizio e, parole sue:"la chiave di volta è la conservazione dell'energia meccanica".
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