Coordinate libere, gradi di libertà. Esercizio.
Es. 19.9. Scrivere la velocità del punto estremo dell'asta $B$ utilizzando la composizione degli atti di moto
Ecco il disegno:
Voglio capire per bene come si opera con l'esercizio 19.9, avete per favore qualche consiglio?
In sostanza la composizione degli atti è come pensare di avere un sistema che ha $n$ gradi di libertà. Si hanno tutti i vettori posizione di ciascun punto del sistema che possono essere rappresentati dai vettori $r_i$ e quindi si ha un caso olonomo, oppure se i vettori posizione sono delle velocità e quindi $v_i$ e si ha un caso onolonomo.
Allora in questo caso come devo operare per arrivare alla soluzione?
Ecco il disegno:
Voglio capire per bene come si opera con l'esercizio 19.9, avete per favore qualche consiglio?
In sostanza la composizione degli atti è come pensare di avere un sistema che ha $n$ gradi di libertà. Si hanno tutti i vettori posizione di ciascun punto del sistema che possono essere rappresentati dai vettori $r_i$ e quindi si ha un caso olonomo, oppure se i vettori posizione sono delle velocità e quindi $v_i$ e si ha un caso onolonomo.
Allora in questo caso come devo operare per arrivare alla soluzione?
Risposte
Si tratta di scrivere la velocita' di B in funzione dei parametri che descrivono il moto del sistema.
Il numero dei parametri indipendenti che descrivono il moto del sistema e' pari al numero dei gradi di liberta.
Quanti GdL ha il sistema?
Il numero dei parametri indipendenti che descrivono il moto del sistema e' pari al numero dei gradi di liberta.
Quanti GdL ha il sistema?
I gradi di liberta sono $2$, infatti se si blocca $q_1 = theta$ ed $q_2 = A$, il sistema è completamente vincolato, quindi si ha che il punto $B$ non è indipendente da $q_1$ ed $q_2$.
I GDL sono $2$ .
E adesso come devo continuare in termini di calcolo?
Provo a dire qualcosa....
Se devo calcolare la velocità del punto $B$ significa che non devo di certo vincolare il punto $B$ e quindi i possibili movimenti che l'asta $AB$ può avere sono uno di rotazione intorno al punto $A$ se vincolo $A$ oppure traslativo lungo l'asse delle ascisse se vincolo $theta$.
Per cui posso utilizzare l'equazione fondamentale dell'atto di moto rigido $v_B = v_A + omega_(AB) xx (B-A)$.
Un vettore posizione è :
$(B - A) = l cos theta i + l sen theta j$
Però se utilizzo l'equazione del vettore posizione, significa che posso arrivare alla velocità utilizzando le coordinate trigonometriche, cioè derivando il vettore posizione avrò una velocità e secondo me è più conveniente fare questa derivazione
La velocità del punto $B$ sarà quindi:
$ v_B = l (dot(theta)cos thetaj - dot(theta) sen theta i)$
forse però è meglio scrivere la formula in questo modo:
$ v_B = l (- dot(theta) sen theta i + dot(theta)cos thetaj )$
Cosa ne dite? Ho fatto bene il calcolo?
Voglio provare a fare i calcoli usando l'equazione fondamentale dell'atto di moto rigido
$v_B = v_A + omega_(AB) xx (B-A)$
avete qualche consiglio?
Ho pensato che una possibile rotazione dell'asta sia intorno ad $A$ ma in senso antiorario così avrò una velocità angolare che è positiva, quindi $omega_(AB) =+ dot(theta) k$, osservando che in questo caso ho che $A$ è fisso, quindi la velocità di $B$ è:
$v_B = omega_(AB) xx (B-A)$
$v_B = dot(theta) k xx (B-A) = dot(theta) k xx ( l cos theta i + l sen theta j) = l dot(theta) ( - sentheta i + cos thetaj)$
Adesso calcolo la velocità del punto $A$ considerando fisso l'angolo $theta$ e poi alla fine faccio la somma delle velocità rotativa con la velocità traslativa di $A$, quindi considero il vettore posizione $r_A$ che può essere solo traslativo lungo l'asse delle ascisse e poi faccio la derivata:
$r_A = x_A i$
derivo ed ho
$v_A = dot(x)_A i$
Quindi la velocità del punto $B$ è:
$v_B = v_A + omega_(AB) xx (B-A)$
$v_B = dot(x)_A i + l dot(theta) ( - sentheta i + cos thetaj)$
$v_B = (dot(x)_A - l dot(theta) sentheta ) i + (l dot(theta) cos theta)j$
Dite che ho fatto bene anche in questo ultimo modo?
Non riesco a pensare ad un'altra possibile soluzione, chiedo a voi se ho fatto bene i calcoli e le considerazioni.
I GDL sono $2$ .
E adesso come devo continuare in termini di calcolo?
Provo a dire qualcosa....
Se devo calcolare la velocità del punto $B$ significa che non devo di certo vincolare il punto $B$ e quindi i possibili movimenti che l'asta $AB$ può avere sono uno di rotazione intorno al punto $A$ se vincolo $A$ oppure traslativo lungo l'asse delle ascisse se vincolo $theta$.
Per cui posso utilizzare l'equazione fondamentale dell'atto di moto rigido $v_B = v_A + omega_(AB) xx (B-A)$.
Un vettore posizione è :
$(B - A) = l cos theta i + l sen theta j$
Però se utilizzo l'equazione del vettore posizione, significa che posso arrivare alla velocità utilizzando le coordinate trigonometriche, cioè derivando il vettore posizione avrò una velocità e secondo me è più conveniente fare questa derivazione
La velocità del punto $B$ sarà quindi:
$ v_B = l (dot(theta)cos thetaj - dot(theta) sen theta i)$
forse però è meglio scrivere la formula in questo modo:
$ v_B = l (- dot(theta) sen theta i + dot(theta)cos thetaj )$
Cosa ne dite? Ho fatto bene il calcolo?
Voglio provare a fare i calcoli usando l'equazione fondamentale dell'atto di moto rigido
$v_B = v_A + omega_(AB) xx (B-A)$
avete qualche consiglio?
Ho pensato che una possibile rotazione dell'asta sia intorno ad $A$ ma in senso antiorario così avrò una velocità angolare che è positiva, quindi $omega_(AB) =+ dot(theta) k$, osservando che in questo caso ho che $A$ è fisso, quindi la velocità di $B$ è:
$v_B = omega_(AB) xx (B-A)$
$v_B = dot(theta) k xx (B-A) = dot(theta) k xx ( l cos theta i + l sen theta j) = l dot(theta) ( - sentheta i + cos thetaj)$
Adesso calcolo la velocità del punto $A$ considerando fisso l'angolo $theta$ e poi alla fine faccio la somma delle velocità rotativa con la velocità traslativa di $A$, quindi considero il vettore posizione $r_A$ che può essere solo traslativo lungo l'asse delle ascisse e poi faccio la derivata:
$r_A = x_A i$
derivo ed ho
$v_A = dot(x)_A i$
Quindi la velocità del punto $B$ è:
$v_B = v_A + omega_(AB) xx (B-A)$
$v_B = dot(x)_A i + l dot(theta) ( - sentheta i + cos thetaj)$
$v_B = (dot(x)_A - l dot(theta) sentheta ) i + (l dot(theta) cos theta)j$
Dite che ho fatto bene anche in questo ultimo modo?
Non riesco a pensare ad un'altra possibile soluzione, chiedo a voi se ho fatto bene i calcoli e le considerazioni.
Ci hai girato intorno, e non sei troppo lontano.
2 gradi di liberta', giusto.
2 atti di moto:
(1) un atto di moto rigido traslatorio dovuto allo scorrimento di A: $\dotx_A$ ($\theta$ e' fisso).
(2) Un atto di moto rigido di rotazione attorno ad A $\dot\thetaL\vec{n}$ (A e' fermo e $\vec{n}$ e' il vettore ortogonale all'asta.
Quindi il moto e' la somma di questi due
$v_B=\dot{x_A}\vec{i}+\dot\thetaL\vec{n}$.
il vettore $\vec{n}$ si puo socmporre lungo i e j ($\vec{n}=-sin\theta\vec{i}+cos\theta\vec{j}$) da cui:
$v_B=(\dot{x_A}-sin\theta)\vec{i}+\dot\thetaLcos\theta\vec{j}$
2 gradi di liberta', giusto.
2 atti di moto:
(1) un atto di moto rigido traslatorio dovuto allo scorrimento di A: $\dotx_A$ ($\theta$ e' fisso).
(2) Un atto di moto rigido di rotazione attorno ad A $\dot\thetaL\vec{n}$ (A e' fermo e $\vec{n}$ e' il vettore ortogonale all'asta.
Quindi il moto e' la somma di questi due
$v_B=\dot{x_A}\vec{i}+\dot\thetaL\vec{n}$.
il vettore $\vec{n}$ si puo socmporre lungo i e j ($\vec{n}=-sin\theta\vec{i}+cos\theta\vec{j}$) da cui:
$v_B=(\dot{x_A}-sin\theta)\vec{i}+\dot\thetaLcos\theta\vec{j}$
"professorkappa":
$v_B=(\dot{x_A}-sin\theta)\vec{i}+\dot\thetaLcos\theta\vec{j}$
Scusami, ma perchè a te non viene di scrivere $Ldot(theta)$ che che moltiplica $..L dot(theta) sentheta ...$? Insomma, che differenza c'è tra la formula tua e la mia? La mia è la seguente:
$v_B = (dot(x)_A - l dot(theta) sentheta ) i + (l dot(theta) cos theta)j$
Dove ho sbagliato?
Noto che la mia componente $i$ è diversa dalla tua
Perchè?
Hi editato, mentre scrivevo!
Siamo in real time.
E' giusta la tua, nel copia e' incolla e sfuggito il Lthetapunto
Siamo in real time.
E' giusta la tua, nel copia e' incolla e sfuggito il Lthetapunto
Oleee!
Allora sono felice e possiamo festeggiare
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