Coordinate Lagrangiane
Salve a tutti, avrei una domanda riguardo il ruolo del teorema delle funzioni implicite nella definizione delle coordinate lagrangiane; in particolare, non mi è chiarissimo il perché n = 3N - p, ove n è il numero dei GDL, N il numero dei punti del sistema e p il rango della matrice jacobiana(in un opportuno aperto) della funzione(vettoriale) che definisce i vincoli.
Ho provato a darmi una spiegazione richiamando il teorema delle funzioni implicite, il quale ci permetterebbe di definire le coordinate lagrangiane nel caso in cui il rango dello jacobiano fosse massimo, quindi con tutti i vincoli funzionalmente indipendenti. Ciò che non mi spiego è, però, il perché in classe sia stato definito p \leq s, ove s è il numero di funzioni che definiscono i vincoli, e non sia stato specificato che p è il rango massimo della matrice jacobiana. Nel caso in cui p non fosse il rango massimo, potrei invocare il teorema delle funzioni implicite, e, contestualmente, definire le coordinate lagrangiane?
Grazie a tutti.
Ho provato a darmi una spiegazione richiamando il teorema delle funzioni implicite, il quale ci permetterebbe di definire le coordinate lagrangiane nel caso in cui il rango dello jacobiano fosse massimo, quindi con tutti i vincoli funzionalmente indipendenti. Ciò che non mi spiego è, però, il perché in classe sia stato definito p \leq s, ove s è il numero di funzioni che definiscono i vincoli, e non sia stato specificato che p è il rango massimo della matrice jacobiana. Nel caso in cui p non fosse il rango massimo, potrei invocare il teorema delle funzioni implicite, e, contestualmente, definire le coordinate lagrangiane?
Grazie a tutti.
Risposte
Premesso che la formula sottostante:
ha validità generale, una matrice non ha un rango massimo, piuttosto, un rango $p$ uguale al massimo ordine di un suo minore quadrato con determinante diverso da zero. Quindi, se la matrice jacobiana ha rango $p$, il numero di vincoli indipendenti è $p$, necessariamente minore o uguale al numero totale di vincoli $s$, e il numero di gradi di libertà è $3N-p$. Insomma, l'attributo "massimo" è relativo all'ordine del minore con determinante diverso da zero, non al rango della matrice che, per definizione, ha un solo valore.
$n=3N-p$
ha validità generale, una matrice non ha un rango massimo, piuttosto, un rango $p$ uguale al massimo ordine di un suo minore quadrato con determinante diverso da zero. Quindi, se la matrice jacobiana ha rango $p$, il numero di vincoli indipendenti è $p$, necessariamente minore o uguale al numero totale di vincoli $s$, e il numero di gradi di libertà è $3N-p$. Insomma, l'attributo "massimo" è relativo all'ordine del minore con determinante diverso da zero, non al rango della matrice che, per definizione, ha un solo valore.
Grazie della delucidazione; in effetti il mio dubbio è sorto proprio a causa dell'aggettivo "massimo", ma non mi è ancora del tutto chiara la questione; rispolverando gli appunti di algebra lineare ho trovato la definizione di matrice con rango "massimo" quando tale rango è uguale al [formule]min(m,n)[/formule]. Essendovi per questo jacobiano [formule]3N[/formule] colonne e [formule]s[/formule](numero di vincoli) righe, allora, seguendo la definizione suddetta, il rango [formule]p[/formule] della matrice è compreso tra 0 e [formule]s[/formule](questo perchè necessariamente s è minore o uguale di 3N, altrimenti renderei impossibile il sistema). Nel caso in cui il rango fosse [formule]p = s[/formule] , ovvero "massimo", potrei applicare il th. delle funzioni implicite e avrei [formule]n = 3N - p[/formule] e il set di coordinate lagrangiane.
Quello che mi chiedo é: che succede se il rango(ordine massimo dei minori non nulli estraibili dalla matrice) non fosse "massimo", ovvero si avesse [formule]p < s[/formule] ? Potrei lo stesso applicare il th. delle funzioni implicite(che fa espressamente riferimento al rango massimo dello jacobiano) e riottenere [formule]n = 3N - p[/formule] ? Grazie in anticipo
Quello che mi chiedo é: che succede se il rango(ordine massimo dei minori non nulli estraibili dalla matrice) non fosse "massimo", ovvero si avesse [formule]p < s[/formule] ? Potrei lo stesso applicare il th. delle funzioni implicite(che fa espressamente riferimento al rango massimo dello jacobiano) e riottenere [formule]n = 3N - p[/formule] ? Grazie in anticipo
Ho capito che cosa intendi.
Certamente sì. Del resto, dopo aver determinato il rango dello jacobiano originale, se il rango non è massimo, è sufficiente eliminare i vincoli dipendenti per avere uno jacobiano ridotto di rango massimo. In definitiva, anche se solo localmente, si tratta del teorema di Rouché Capelli, quando si esprimono le infinite soluzioni invertendo una matrice dei coefficienti ridotta avente determinante diverso da zero, resa quadrata trasportando i parametri a secondo membro. Spero di essermi spiegato.
"m2d":
Potrei lo stesso applicare il teorema delle funzioni implicite ...
Certamente sì. Del resto, dopo aver determinato il rango dello jacobiano originale, se il rango non è massimo, è sufficiente eliminare i vincoli dipendenti per avere uno jacobiano ridotto di rango massimo. In definitiva, anche se solo localmente, si tratta del teorema di Rouché Capelli, quando si esprimono le infinite soluzioni invertendo una matrice dei coefficienti ridotta avente determinante diverso da zero, resa quadrata trasportando i parametri a secondo membro. Spero di essermi spiegato.
"m2d":
rispolverando gli appunti di algebra lineare ho trovato la definizione di matrice con rango "massimo" quando tale rango è uguale al [tex]\min(m,n).[/tex]
Guarda che è corretto: se [tex]A\in\mathsf{Mat}_{m,n}(\Bbbk)[/tex] è una matrice di [tex]m[/tex] righe ed [tex]n[/tex] colonne a coefficienti in [tex]\Bbbk[/tex], si dice rango di [tex]A[/tex] la dimensione del sottospazio
[tex]\operatorname{span}_{\Bbbk}(A^1,\dots,A^n)\subseteq\Bbbk^m[/tex]
generato dalle colonne [tex]A^1,\dots,A^n[/tex] della matrice
[tex]A=\begin{bmatrix}
A^1|\dots|A^n
\end{bmatrix}[/tex]
A^1|\dots|A^n
\end{bmatrix}[/tex]
e lo si denota con [tex]\operatorname{rg}(A)[/tex]. Equivalentemente è la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare
[tex]L_A\colon\Bbbk^n\to\Bbbk^m,\quad L_A\colon v\mapsto A\cdot v[/tex]
dove con [tex]\cdot[/tex] ho denotato il prodotto righe per colonne. O ancora, è il massimo numero di colonne linearmente indipendenti della matrice pensate come vettori (colonna) del [tex]\Bbbk[/tex]-spazio vettoriale [tex]\Bbbk^m[/tex]. Da questo segue
[tex]\forall A\in\mathsf{Mat}_{m,n}(\Bbbk)\,(\operatorname{rg}(A)\leq\min(m,n))[/tex]
e quando la disuguaglianza è saturata si dice che la matrice ha rango massimo.
Per definire e calcolare il rango di una matrice non serve introdurre né i determinanti né il teorema degli orlati (ovviamente puoi riformulare la condizione anche in termini di sottomatrici: il massimo ordine che una sottomatrice di [tex]A\in\mathsf{Mat}_{m,n}(\Bbbk)[/tex] può avere è [tex]\min(n,m)[/tex]), e la dicitura "avere rango massimo" è corretta, in uso tanto nella letteratura italiana quanto in quella anglosassone (full/maximal rank); non vedo perché non dovresti usarla: ovviamente s'intende il massimo rango che una qualunque matrice di [tex]m[/tex] righe ed [tex]n[/tex] colonne a coefficienti in [tex]\Bbbk[/tex] possa avere.
Penso che il tuo insegnate intenda che [tex]p\leq s[/tex] sia il numero di vincoli indipendenti, da cui segue che se i [tex]p[/tex] vincoli indipendenti estratti dagli [tex]s[/tex] vincoli assegnati sono (a meno di riordinare gli indici)
[tex]\begin{matrix}
f_1(q^1,\dots,q^{3N})=0\\
\vdots\\
f_p(q^1,\dots,q^{3N})=0
\end{matrix}[/tex]
f_1(q^1,\dots,q^{3N})=0\\
\vdots\\
f_p(q^1,\dots,q^{3N})=0
\end{matrix}[/tex]
allora, per definzione, la matrice
[tex]\begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial q^1}&\dots&\frac{\partial f_1}{\partial q^{3N}}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
\frac{\partial f_p}{\partial q^1}&\dots&\frac{\partial f_p}{\partial q^{3N}}\\
\end{bmatrix}[/tex]
\frac{\partial f_1}{\partial q^1}&\dots&\frac{\partial f_1}{\partial q^{3N}}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
\frac{\partial f_p}{\partial q^1}&\dots&\frac{\partial f_p}{\partial q^{3N}}\\
\end{bmatrix}[/tex]
ha rango massimo [tex]p[/tex] e ottieni [tex]n=3N-p[/tex] coordinate (vale a dire [tex]F^{-1}(0)[/tex], dove [tex]F=[f_1,\dots,f_p]\colon\mathbb{R}^{3N}\to\mathbb{R}^p[/tex], è una sottovarietà regolare in [tex]\mathbb{R}^{3N}[/tex] di codimensione [tex]p[/tex]).
"413":
... la dicitura "avere rango massimo" è corretta ...
Concordo. Non avevo capito che m2d si stesse riferendo al minimo tra il numero di righe e e il numero di colonne.
"413":
Per definire e calcolare il rango di una matrice non serve introdurre né i determinanti né il teorema degli orlati ...
Concordo. Tuttavia, determinare le dimensioni di un sottospazio vettoriale e/o il massimo numero di colonne linearmente indipendenti di una matrice senza scomodare il concetto di determinante non è, al netto dei casi più semplici, il modo più immediato. Forse, l'unico metodo alternativo che può competere è quello di Gauss.
Innanzitutto ringrazio entrambi per la celere e completa risposta. Stando a ciò che dice 413, devo dedurre che mi sarà sicuramente sfuggita negli appunti la condizione di p come numero di vincoli indipendenti; in tal caso, seguendo ciò che ha scritto 413, risulterebbe immediato che p sia il rango massimo della matrice, da cui poi discenderebbe l'applicazione del teorema delle funzioni implicite; alternativamente, secondo quanto detto da Sergeant Elias, si potrebbe fare riferimento allo jacobiano ridotto, e il ragionamento sarebbe lo stesso.
Non mi è ancora però del tutto chiara una questione: qual è l'effettivo ruolo del teorema delle funzioni implicite in tale formulazione? Seguendo l'enunciato che ho trovato del teorema, mi sembra di capire che, in virtù del fatto che lo jacobiano abbia rango massimo, allora è possibile definire un'applicazione(sufficientemente regolare) che mi permette, in sostanza, di ottenere n = 3N - p . Grazie
Non mi è ancora però del tutto chiara una questione: qual è l'effettivo ruolo del teorema delle funzioni implicite in tale formulazione? Seguendo l'enunciato che ho trovato del teorema, mi sembra di capire che, in virtù del fatto che lo jacobiano abbia rango massimo, allora è possibile definire un'applicazione(sufficientemente regolare) che mi permette, in sostanza, di ottenere n = 3N - p . Grazie
Risposta breve: vuoi che la varietà delle configurazioni, anche in presenza di vincoli, sia quanto più regolare possibile, nello specifico una sottovarietà regolare di [tex]\mathbb{R}^{3N}[/tex]. Vedi questo teorema, io lo conosco come regular level set theorem.
Ti ringrazio per il suggerimento
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