Convenzione mutua induzione
Buongiorno! Sto facendo esercizi che riguardano i circuiti e la legge di Faraday-Neumann-Lenz.
Alcuni esercizi ed un ultimo post pubblicato su questo forum mi hanno fatto notare che non ho ben capito una convenzione.
Tale convenzione di cui parlo è quella che decreta il modo in cui si sceglie, prima di risolvere l'esercizio, il verso positivo della corrente. Tale verso dipende dal segno positivo o negativo del coefficiente di mutua induzione, anch'esso arbitrario.
Come sempre, quando si tratta di convenzioni, basta essere coerenti.
Il problema è che a me non risultano chiari alcuni passaggi, perché sui libi sono dati quasi per scontati e dai vari post non sono riuscito a comprendere bene. Per questo motivo illustro qui un caso che potrà far dissolvere i miei dubbi.
CASO:
I circuiti $1$ e $2$ sono due normalissimi circuiti dotati di una resistenza $R_1$ ed $R_2$. Nel circuito $2$ inizialmente non scorre corrente.
Poniamo il coefficiente di mutua induzione tra i due circuiti $M$ maggiore di zero.
Nel circuito $1$ scorre una corrente variabile nel tempo $i(t)= kt$
$k>0$.
Al di là di ogni possibile risoluzione dell'esercizio e della f.e.m. indotta nel circuito $2$, quello che vi chiedo è:
Date queste informazioni:
- Qual è il verso di scorrimento della corrente da prendere come positivo (convenzione) nel circuito $1$?
- Qual è il verso di scorrimento della corrente da prendere come positivo (convenzione) nel circuito $2$?
- Come riassumereste in due righe questa convenzione?
Alcuni esercizi ed un ultimo post pubblicato su questo forum mi hanno fatto notare che non ho ben capito una convenzione.
Tale convenzione di cui parlo è quella che decreta il modo in cui si sceglie, prima di risolvere l'esercizio, il verso positivo della corrente. Tale verso dipende dal segno positivo o negativo del coefficiente di mutua induzione, anch'esso arbitrario.
Come sempre, quando si tratta di convenzioni, basta essere coerenti.
Il problema è che a me non risultano chiari alcuni passaggi, perché sui libi sono dati quasi per scontati e dai vari post non sono riuscito a comprendere bene. Per questo motivo illustro qui un caso che potrà far dissolvere i miei dubbi.
CASO:
I circuiti $1$ e $2$ sono due normalissimi circuiti dotati di una resistenza $R_1$ ed $R_2$. Nel circuito $2$ inizialmente non scorre corrente.
Poniamo il coefficiente di mutua induzione tra i due circuiti $M$ maggiore di zero.
Nel circuito $1$ scorre una corrente variabile nel tempo $i(t)= kt$
$k>0$.
Al di là di ogni possibile risoluzione dell'esercizio e della f.e.m. indotta nel circuito $2$, quello che vi chiedo è:
Date queste informazioni:
- Qual è il verso di scorrimento della corrente da prendere come positivo (convenzione) nel circuito $1$?
- Qual è il verso di scorrimento della corrente da prendere come positivo (convenzione) nel circuito $2$?
- Come riassumereste in due righe questa convenzione?
Risposte
Il linea di principio, uno dei due versi lo scegli lanciando una moneta e, visto che vuoi un coefficiente di mutua induzione M positivo, il secondo verso lo scegli di conseguenza.
E' chiaro però che, essendo nota la corrente nel primo circuito i(t)=kt, per "convenienza" risolutiva [nota]In questo modo eviterei un fastidioso segno meno.[/nota], potrei scegliere il verso della corrente i1 nel verso della i(t) (quindi i1=kt), poi sceglierò i2 con verso tale da rendere M>0.
Nulla però mi vieta di assumere il verso di i1 opposto a quello della i(t), ovvero i1=-i(t), e poi andare di conseguenza a scegliere il verso di i2 per rendere positivo M; ovviamente, in questo caso, i2 avrà il verso opposto al caso precedentemente descritto.
E' chiaro però che, essendo nota la corrente nel primo circuito i(t)=kt, per "convenienza" risolutiva [nota]In questo modo eviterei un fastidioso segno meno.[/nota], potrei scegliere il verso della corrente i1 nel verso della i(t) (quindi i1=kt), poi sceglierò i2 con verso tale da rendere M>0.
Nulla però mi vieta di assumere il verso di i1 opposto a quello della i(t), ovvero i1=-i(t), e poi andare di conseguenza a scegliere il verso di i2 per rendere positivo M; ovviamente, in questo caso, i2 avrà il verso opposto al caso precedentemente descritto.
"RenzoDF":
E' chiaro però che, essendo nota la corrente nel primo circuito i(t)=kt, per "convenienza" risolutiva, potrei scegliere il verso della corrente i1 nel verso della i(t) (quindi i1=kt), poi sceglierò i2 con verso tale da rendere M>0.
Quindi ha senso scegliere come verso positivo per $i_1$ il verso antiorario in quanto l'asse $z$ è uscente dallo schermo e $k$ è positivo.
Confermi?
Assunto questo, non capisco cosa intendi con "sceglierò $i_2$ con verso tale da rendere $M>0$".
Mi sfugge questa parte.
"CLaudio Nine":
... Quindi ha senso scegliere come verso positivo per $i_1$ il verso antiorario in quanto l'asse $z$ è uscente dallo schermo e $k$ è positivo.
Confermi?
Scusa ma non capisco cosa c'entri l'asse z, me lo spieghi?
Lascia perdere gli assi, scegli un verso per i1 lanciando una moneta ... poi andiamo avanti
Okay, scelgo il verso antiorario lanciando una moneta.
P.s. abitudine, dato che l'asse $z$ era uscente, con la regola della mano destra avvolgevo le dita attorno al pollice uscente dallo schermo, da ciò dicevo verso antiorario. Ma sorvoliamo su questo dato che, come hai fatto notare, è arbitrario. Una volta scelto il verso antiorario lanciando una moneta, che faccio secondo te?
P.s. abitudine, dato che l'asse $z$ era uscente, con la regola della mano destra avvolgevo le dita attorno al pollice uscente dallo schermo, da ciò dicevo verso antiorario. Ma sorvoliamo su questo dato che, come hai fatto notare, è arbitrario. Una volta scelto il verso antiorario lanciando una moneta, che faccio secondo te?
Ok, quindi verso antiorario per i1 !
Ne segue che il flusso $\phi_{11}= L_1i_1$ sarà uscente dallo schermo ...
considero la spira destra e mi chiedo: che verso dovrebbe avere i2 perchè il flusso relativo al campo magnetico della spira vada a dare un contributo positivo al flusso del circuito quadrato sinistro (oovero che M sia maggiore di zero)? ... di certo dovrà essere oraria, e il suo contributo al flusso totale concatenato con il primo circuito sarà $\phi_{12}= M i_2$
Avremo quindi che il flusso totale concatenato con il circuito 1 sarà pari alla somma dei due contributi
$\Phi_{c1}=\phi_{11}+\phi_{12}=L_1i_1+M i_2$
... fin qui ti è chiaro?
Ne segue che il flusso $\phi_{11}= L_1i_1$ sarà uscente dallo schermo ...
considero la spira destra e mi chiedo: che verso dovrebbe avere i2 perchè il flusso relativo al campo magnetico della spira vada a dare un contributo positivo al flusso del circuito quadrato sinistro (oovero che M sia maggiore di zero)? ... di certo dovrà essere oraria, e il suo contributo al flusso totale concatenato con il primo circuito sarà $\phi_{12}= M i_2$
Avremo quindi che il flusso totale concatenato con il circuito 1 sarà pari alla somma dei due contributi
$\Phi_{c1}=\phi_{11}+\phi_{12}=L_1i_1+M i_2$
... fin qui ti è chiaro?
Okay, il verso di $i_2$ che garantisce un contributo positivo al flusso del circuito quadrato sinistro è il verso orario, quindi il verso positivo della corrente $i_2$ è orario, giusto?
P.s. questo accade perché, volendo suddividere il circuito circolare in due semicirconferenze, una sinistra più vicina al circuito quadrato, ed una destra, la parte di corrente che circola nella parte sinistra della circonferenza genera un campo magnetico che influenzerà maggiormente il circuito quadrato.
Concordi?
P.s. questo accade perché, volendo suddividere il circuito circolare in due semicirconferenze, una sinistra più vicina al circuito quadrato, ed una destra, la parte di corrente che circola nella parte sinistra della circonferenza genera un campo magnetico che influenzerà maggiormente il circuito quadrato.
Concordi?
"CLaudio Nine":
Okay, il verso di $i_2$ che garantisce un contributo positivo al flusso del circuito quadrato sinistro è il verso orario, quindi il verso positivo della corrente $i_2$ è orario, giusto? ...
Giusto, devo scegliere quel verso se voglio che M sia maggiore di zero.
"CLaudio Nine":
questo accade perché, volendo suddividere il circuito circolare in due semicirconferenze, una sinistra più vicina al circuito quadrato, ed una destra, la parte di corrente che circola nella parte sinistra della circonferenza genera un campo magnetico che influenzerà maggiormente il circuito quadrato.
Concordi?
Non andare a fare questa distinzione fra le varie parti, suppongo tu sappia com'è la configurazione del campo magnetico generato dalla spira destra, no?
Diciamo del seguente tipo
anche se l'immagine corrisponde ad un verso opposto per i2, rispetto a quello che abbiamo scelto.
Ne segue che, essendo le due spire (quadrata e circolare) complanari, non ci sono dubbi sul contributo del secondo circuito sul flusso del primo.
Se concordi andiamo avanti ...
Ho fatto questa suddivisione perché la semicirconferenza a sinistra genererà un campo uscente dall'area racchiusa dalla spira quadrata, mentre la semicirconferenza a destra genererà un campo entrante nell'area racchiusa dalla spira quadrata (se la corrente circola in verso orario, nel caso antiorario ovviamente avremmo il caso opposto).
C'è da considerare che, dato che la semicirconferenza a sinistra è più vicina alla spira, il suo contributo sarà maggiore, da qui deduco che il campo magnetico generato dalla circonferenza dà un contributo positivo al flusso se la corrente circola in senso orario.
C'è da considerare che, dato che la semicirconferenza a sinistra è più vicina alla spira, il suo contributo sarà maggiore, da qui deduco che il campo magnetico generato dalla circonferenza dà un contributo positivo al flusso se la corrente circola in senso orario.
No, dammi retta, non fare queste distinzioni, la spira destra genera nel suo complesso un campo, che ha una certa configurazione.
Okay mi fido
Ora, per ricavare la fem andiamo a derivare il flusso concatenato, ottenendo
$\epsilon=-( L_1\frac{\text{d}i_1 }{\text{d} t}+M\frac{\text{d}i_2 }{\text{d} t})$
fem che, avrà come verso quello della corrente i1 e quindi, nel nostro caso, antiorario.
Ora andiamo a vedere nel dettaglio il circuito sinistro; tu ipotizzi che circoli una corrente i(t)=kt e quindi non ci potrà essere un generatore di tensione che la forza, come indicato nel tuo disegno, ma bensì un generatore di corrente.
Concordi?
Chiaramente se vuoi modificare il circuito sinistro, ipotizzando invece che sia presente un generatore di tensione E1 (come è indicato) e una resistenza circuitale R1, il discorso che abbiamo fatto finora non cambia; vedi tu cosa preferisci.
$\epsilon=-( L_1\frac{\text{d}i_1 }{\text{d} t}+M\frac{\text{d}i_2 }{\text{d} t})$
fem che, avrà come verso quello della corrente i1 e quindi, nel nostro caso, antiorario.
Ora andiamo a vedere nel dettaglio il circuito sinistro; tu ipotizzi che circoli una corrente i(t)=kt e quindi non ci potrà essere un generatore di tensione che la forza, come indicato nel tuo disegno, ma bensì un generatore di corrente.
Concordi?
Chiaramente se vuoi modificare il circuito sinistro, ipotizzando invece che sia presente un generatore di tensione E1 (come è indicato) e una resistenza circuitale R1, il discorso che abbiamo fatto finora non cambia; vedi tu cosa preferisci.
"RenzoDF":
Ora andiamo a vedere nel dettaglio il circuito sinistro; tu ipotizzi che circoli una corrente i(t)=kt e quindi non ci potrà essere un generatore di tensione che la forza, come indicato nel tuo disegno, ma bensì un generatore di corrente.
Concordi?
RenzoDF mi dispiace se non ti ho più risposto ma ho avuto dei giorni molto particolari.
Sono d'accordo con quanto hai scritto prima, ma non riesco a capire la parte del tuo commento che ho citato.
Che differenza c'è tra un generatore di tensione ed uno di corrente?
Se mantengo una d.d.p. costante, allora continuerà a circolare corrente.
"CLaudio Nine":
... Che differenza c'è tra un generatore di tensione ed uno di corrente?...
Perbacco se c'è, il primo "forza" fra i suoi morsetti una tensione costante, qualsiasi "cosa" tu vada a collegarci, mentre il secondo "forza" dai suoi morsetti una corrente costante, qualsiasi "cosa" tu vada a collegarci! Il primo mantiene costante un dislivello elettrico, il secondo un flusso di carica.
Mi sembra ben evidente la differenza, no?
Ad ogni modo, suppongo che i generatori di corrente non vengano trattati in un corso di fisica, in quanto ho visto in una prova d'esame, fare riferimento ad un "generatore di tensione che mantiene costante la corrente"; cose dell'altro mondo, per chi si interessa di elettrotecnica o di elettronica.
Tornando al problema, come intendi procedere? Via generatore di tensione o di corrente
Ma direi di tensione, gli unici generatori di cui ho sentito parlare sono quelli che mantengono una d.d.p. costante
Ok, e quindi, supponendo che nel circuito 1 ci sia (come indicato) un generatore di tensione continua $E_1$ e che il circuito 1 abbia anche: una resistenza complessiva $R_1$ (al fine di considerare il caso più generale) e un coefficiente di autoinduzione $L_1$, dopo quello che ti ho suggerito nei precedenti post, come andresti a scrivere l'equazione differenziale che, nel primo circuito, "lega" le due correnti $i_1$ e $i_2$ dei due circuiti?
Sapresti poi scriverne anche una analoga, ma relativa al circuito 2, supponendo che lo stesso, privo di generatori, presenti una resistenza complessiva $R_2$ e un coefficiente di autoinduzione $L_2$?
Sapresti poi scriverne anche una analoga, ma relativa al circuito 2, supponendo che lo stesso, privo di generatori, presenti una resistenza complessiva $R_2$ e un coefficiente di autoinduzione $L_2$?
"RenzoDF":
Ok, e quindi, supponendo che nel circuito 1 ci sia (come indicato) un generatore di tensione continua $E_1$ e che il circuito 1 abbia anche: una resistenza complessiva $R_1$ (al fine di considerare il caso più generale) e un coefficiente di autoinduzione $L_1$, dopo quello che ti ho suggerito nei precedenti post, come andresti a scrivere l'equazione differenziale che, nel primo circuito, "lega" le due correnti $i_1$ e $i_2$ dei due circuiti?
Nel circuito 1 prendo come verso positivo della corrente il verso antiorario.
Pongo coefficiente di mutua induzione tra i due circuiti positivo.
Il verso positivo della corrente in $2$ è il verso orario.
L'equazione a cui ti riferisci penso sia quella ottenibile applicando le leggi di Kirchhoff, ed è la seguente:
$epsilon= R_1I_1 + L_2(dI_1)/(dt) + M(dI_2)/(dt)$.
"RenzoDF":
Sapresti poi scriverne anche una analoga, ma relativa al circuito 2, supponendo che lo stesso, privo di generatori, presenti una resistenza complessiva $R_2$ e un coefficiente di autoinduzione $L_2$?
Per il secondo circuito scriverei:
$0= -R_2I_2 - L_1(dI_2)/(dt) - M(dI_1)/(dt)$
E' coretto secondo te?
Scambio di pedici per i coefficienti di autoinduzione a parte , ok!
... anche se fare riferimento ad una applicazione delle leggi di Kirchhoff non sarebbe proprio corretto.
... anche se fare riferimento ad una applicazione delle leggi di Kirchhoff non sarebbe proprio corretto.
"RenzoDF":
Scambio di pedici per i coefficienti di autoinduzione a parte , ok!
... anche se fare riferimento ad una applicazione delle leggi di Kirchhoff non sarebbe proprio corretto.
grazie per averlo fatto notare è stato un errore di distrazione.
come mai non sarebbe proprio corretto? la d.d.p. nella maglia è nulla
"CLaudio Nine":
... la d.d.p. nella maglia è nulla ...
No, siamo in presenza di un campo elettrico non conservativo, di conseguenza non possiamo parlare di una funzione potenziale V(P) e quindi nemmeno di differenze di potenziale; Kirchhoff, con la sua legge alle maglie, sostanzialmente afferma che la circuitazione del campo elettrico su una linea chiusa (la maglia) è nulla, mentre nel nostro caso ciò non è vero, pensa per esempio al circuito 2: l'integrale di linea del campo elettrico lungo quel circuito non è nullo, ma è pari alla f.e.m. che abbiamo determinato.
In sostanza nel nostro caso possiamo solo parlare di "tensioni", ovvero di integrali di linea del campo elettrico che però, considerati due punti dello spazio A e B, porta a valori diversi a seconda del percorso (linea) seguito per andare dal primo punto al secondo.
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