Conservazione momento angolare
Un punto materiale di massa $m_1 = 1 kg$ è attaccato ad un’estremità di una fune ideale (inestensibile e di massa trascurabile) che passa attraverso un foro di un piano orizzontale liscio.
Inizialmente il punto materiale striscia sul piano orizzontale con velocità di modulo costante $v_0$, descrivendo una circonferenza di raggio $r_0$ intorno al foro. Lentamente il filo viene tirato in modo che il raggio della traiettoria passi da $r_0$ a $r_1$.
Calcolare:
a) la tensione del filo in funzione del raggio $r_0$ della circonferenza;
b) il lavoro fatto dalla tensione del filo per passare da $r_0$ a $r_1$;
c) la velocità $v_f$ il punto materiale possiede quando si muove sulla circonferenza di raggio $r_1.$
SOL.:
a)
La tensione del filo è compensata dalla forza centrifuga, apparente, che tiene ancorata la massa alla circonferenza descritta.
$vecT + vecF_(centr) = vec0$ e per cui $T=mv_0^2/r_0$
b)
W=$ int_(r_0)^(r_1) vecT*dvecr = T*(r_1 - r_0) = mv_0^2/r_0* (r_1 - r_0)$
c)
Il momento delle forze agenti è nullo, poiché raggio vettore e tensione sono co-lineari e pertanto il loro prodotto vettoriale è nullo.
Posso applicare la conservazione del momento angolare: $L_f=L_i$.
E' corretto ? grazie a chiunque vorrà darmi conferma o correggermi
Quindi $r_0mv_0=r_1mv_1$ e quindi $v_f=(r_0/r_1)v_0$.
Inizialmente il punto materiale striscia sul piano orizzontale con velocità di modulo costante $v_0$, descrivendo una circonferenza di raggio $r_0$ intorno al foro. Lentamente il filo viene tirato in modo che il raggio della traiettoria passi da $r_0$ a $r_1$.
Calcolare:
a) la tensione del filo in funzione del raggio $r_0$ della circonferenza;
b) il lavoro fatto dalla tensione del filo per passare da $r_0$ a $r_1$;
c) la velocità $v_f$ il punto materiale possiede quando si muove sulla circonferenza di raggio $r_1.$
SOL.:
a)
La tensione del filo è compensata dalla forza centrifuga, apparente, che tiene ancorata la massa alla circonferenza descritta.
$vecT + vecF_(centr) = vec0$ e per cui $T=mv_0^2/r_0$
b)
W=$ int_(r_0)^(r_1) vecT*dvecr = T*(r_1 - r_0) = mv_0^2/r_0* (r_1 - r_0)$
c)
Il momento delle forze agenti è nullo, poiché raggio vettore e tensione sono co-lineari e pertanto il loro prodotto vettoriale è nullo.
Posso applicare la conservazione del momento angolare: $L_f=L_i$.
E' corretto ? grazie a chiunque vorrà darmi conferma o correggermi
Quindi $r_0mv_0=r_1mv_1$ e quindi $v_f=(r_0/r_1)v_0$.
Risposte
Non proprio. Valendo:
$[mr_0v_0=mr_1v_1] rarr [v_1=r_0/r_1v_0]$
si evince che:
$[E_(c1)-E_(c0)=1/2mv_1^2-1/2mv_0^2] rarr [E_(c1)-E_(c0)=1/2mr_0^2/r_1^2v_0^2-1/2mv_0^2] rarr$
$rarr [E_(c1)-E_(c0)=(mv_0^2(r_0^2-r_1^2))/(2r_1^2)]$
$[mr_0v_0=mr_1v_1] rarr [v_1=r_0/r_1v_0]$
si evince che:
$[E_(c1)-E_(c0)=1/2mv_1^2-1/2mv_0^2] rarr [E_(c1)-E_(c0)=1/2mr_0^2/r_1^2v_0^2-1/2mv_0^2] rarr$
$rarr [E_(c1)-E_(c0)=(mv_0^2(r_0^2-r_1^2))/(2r_1^2)]$
grazie della risposta !
Da "si evince che" in poi, utilizzi il fatto che la variazione di energia cinetica è pari al lavoro, e in questo modo calcoli il lavoro fatto dalla tensione ?
Da "si evince che" in poi, utilizzi il fatto che la variazione di energia cinetica è pari al lavoro, e in questo modo calcoli il lavoro fatto dalla tensione ?
Certamente. Ad ogni modo, svolgendo quell'integrale correttamente, si dovrebbe ottenere il medesimo risultato. Tra l'altro, vista la successione delle domande, sarebbe anche più aderente alla consegna.
Ok, chiaro
Ma non capisco cos'ho sbagliato nell'integrale, poiché la tensione vale $mv_0^/r$ e integrando non capisco come possa ottenere il tuo risultato
Ma non capisco cos'ho sbagliato nell'integrale, poiché la tensione vale $mv_0^/r$ e integrando non capisco come possa ottenere il tuo risultato
Devi considerare che il modulo della tensione dipende da $r$, la variabile d'integrazione: $[T(r)=(mv_0^2r_0^2)/r^3]$.
ora è chiaro, grazie mille !
Ottimo. 
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