Conservazione energia meccanica di una sfera.
Salve,
Considerata una sfera di massa M, di raggio R posta su un piano inclinato e il cui baricentro si trova a distanza q dal terreno, calcolare la velocità che raggiunge una volta toccato il terreno.
Nelle soluzioni risulta che l'energia potenziale al punto iniziale è $Mg(q-R)$.
Vorrei ulteriori chiarimenti in merito. In base a cosa è stato scelto che doveva essere considerata l'altezza $(q-R)$?
Essendo un corpo rigido il problema dovrebbe essere molto più complesso, e non credo si possa risolvere senza sapere il volume della sfera. Io in ogni caso avrei scelto il baricentro, mi sembra la scelta più logica.
Grazie in anticipo per i chiarimenti.
Considerata una sfera di massa M, di raggio R posta su un piano inclinato e il cui baricentro si trova a distanza q dal terreno, calcolare la velocità che raggiunge una volta toccato il terreno.
Nelle soluzioni risulta che l'energia potenziale al punto iniziale è $Mg(q-R)$.
Vorrei ulteriori chiarimenti in merito. In base a cosa è stato scelto che doveva essere considerata l'altezza $(q-R)$?
Essendo un corpo rigido il problema dovrebbe essere molto più complesso, e non credo si possa risolvere senza sapere il volume della sfera. Io in ogni caso avrei scelto il baricentro, mi sembra la scelta più logica.
Grazie in anticipo per i chiarimenti.
Risposte
Semplicemente, quando la sfera è arrivata in fondo, il suo baricentro non è a terra, ma è a distanza R dal suolo, quindi la discesa è di q - R.
Poi, il problema non è poi così complesso, ma almeno bisogna sapere se scivola (molto semplice) o rotola (nel qual caso bisogna tener conto del momento d'inerzia)
Poi, il problema non è poi così complesso, ma almeno bisogna sapere se scivola (molto semplice) o rotola (nel qual caso bisogna tener conto del momento d'inerzia)
Già hai ragione, credo la stanchezza si faccia sentire a quest'ora.
Tuttavia ho un altro problema con le sfere.
Ho un pendolo oscillante, una corda di lunghezza l alla quale è attaccata una sfera di raggio R. (il pendolo è attaccato al baricentro)
l'equazione della velocità angolare risulta
$(d\theta)/(dt)= \theta_0\omega_0 cos(\omega_0 t +\pi/2)$
$\theta_0$ condizione iniziale.
$\omega_0$ pulsazione.
voglio calcolarmi la velocità nel punto di oscillazione più basso. Tale punto coincide con la velocità ancogolare maggiore che si ha quando il coseno assume il valore 1. Perciò riscrivo.
$(d\theta)/(dt)= \theta_0\omega_0 $
mi calcolo infine la velocità come $v=\theta_0 \omega_0 r$
$r$ tra le soluzioni compare come $r=l+R$
Sinceramente non capisco perché. Non mi pare ci possa essere un motivo, come invece accade per la differenza di potenziale.
Tuttavia ho un altro problema con le sfere.
Ho un pendolo oscillante, una corda di lunghezza l alla quale è attaccata una sfera di raggio R. (il pendolo è attaccato al baricentro)
l'equazione della velocità angolare risulta
$(d\theta)/(dt)= \theta_0\omega_0 cos(\omega_0 t +\pi/2)$
$\theta_0$ condizione iniziale.
$\omega_0$ pulsazione.
voglio calcolarmi la velocità nel punto di oscillazione più basso. Tale punto coincide con la velocità ancogolare maggiore che si ha quando il coseno assume il valore 1. Perciò riscrivo.
$(d\theta)/(dt)= \theta_0\omega_0 $
mi calcolo infine la velocità come $v=\theta_0 \omega_0 r$
$r$ tra le soluzioni compare come $r=l+R$
Sinceramente non capisco perché. Non mi pare ci possa essere un motivo, come invece accade per la differenza di potenziale.
Ma vuoi la velocità di che cosa? Non tutti i punti della sfera hanno la stessa velocità. Tu dici che "il pendolo è attaccato al baricentro", ma che vuol dire? La corda è attaccata al centro della sfera? Non a un "polo"?
Comunque, se la corda è attaccata al "polo Nord", quella velocità, con r = l + R, è quella del centro.
Se invece è attaccata al centro, è la velocità del "polo Sud", che poi è il punto più veloce
P.S. Perchè hai messo quel $pi/2$ ?
Comunque, se la corda è attaccata al "polo Nord", quella velocità, con r = l + R, è quella del centro.
Se invece è attaccata al centro, è la velocità del "polo Sud", che poi è il punto più veloce
P.S. Perchè hai messo quel $pi/2$ ?
Scusa la mancanza di dettagli, fornisco tutti quelli mi risultino utili. Se ancora non risulta chiaro, posto l'intero problema con allegata soluzione.
Si la con la fune attaccata al baricentro intendo al centro della sfera.
Il pendolo di cui parlavo prima è appeso a un soffitto, che dista dal pavimento una distanza $h$ con $h=l+R$ pertanto la sfera appesa al pendolo sfiora il pavimento, quando raggiunge il punto più basso.
Nel suo punto più basso della sua traiettoria urta una seconda sfera, di medesime dimensioni e massa.
Dunque mi verrebbe da considerare la velocità del centro.
il $pi/2$ deriva dall'applicazione delle condizioni iniziali, ovvero che la velocità all'istante $t=0$ fosse nulla.
Si la con la fune attaccata al baricentro intendo al centro della sfera.
Il pendolo di cui parlavo prima è appeso a un soffitto, che dista dal pavimento una distanza $h$ con $h=l+R$ pertanto la sfera appesa al pendolo sfiora il pavimento, quando raggiunge il punto più basso.
Nel suo punto più basso della sua traiettoria urta una seconda sfera, di medesime dimensioni e massa.
Dunque mi verrebbe da considerare la velocità del centro.
il $pi/2$ deriva dall'applicazione delle condizioni iniziali, ovvero che la velocità all'istante $t=0$ fosse nulla.
E quindi, cosa dovresti trovare, adesso che c'è stato questo urto?
Mi volevo cercare la velocità da considerare nell'urto. Ma credo che darebbe origine a altri fraintendimenti e allora facciamo prima così. Ecco il testo del problema per intero.
Una sfera metallica di massa M e raggio R è appesa ad una parete orizzontale (soffitto) tramite un filo di lunghezza l inestensibile e di massa trascurabile. In condizioni di riposo questa sfiora un altro piano orizzontale (pavimento), parallelo al primo, e distante da questo $h=l+R$. La sfera viene messa in movimento e compie piccole oscillazioni di ampiezza $\theta_0$ e periodo T_0 costanti(considerare nulli gli attriti), mantenendosi sempre allo stesso piano verticale.
Una sfera identica alla prima, viene lasciata scivolare senza attrito(non rotola) da un piano inclinato, di angolo $\alfa$ rispetto all'orizzontale, e una volta giunta sul pavimento urta la sfera oscillante nel punto più basso della sua traiettoria.
A quale altezza risale la seconda sfera supponendo che l'urto sia frontale, con velocità di verso opposto, e perfettamente elastico, che le due traiettorie, fino al momento dell'urto, siano contenute nello stesso piano verticale e che il baricentro della sfera sul piano inclinato si trovi inizialemnte ad altezza $q$ dal pavimento?
(il piano inclinato è raccordato al piano orizzontale)
Mi scuso per le semplificazioni precedenti, ma diciamo che erano dovute al fatto che il problema è lungo.
Io ho sbagliato il punto in cui calcolavo le velocità di urto delle due sfere.
Riguardo la sfera che scende dal piano inclinato, mi hai già chiarito il dubbio con il tuo primo messaggio, nel caso invece della sfera appesa al pendolo (ti consiglio di rivedere il mio secondo messaggio), voglio capire secondo quale criterio viene scelta la velocità del punto più basso, corrispondente a $r=l+R$.
E vorrei capire secondo quale criterio posso scegliere quale punto per calcolare la velocità della sfera legata al pendolo.
Una sfera metallica di massa M e raggio R è appesa ad una parete orizzontale (soffitto) tramite un filo di lunghezza l inestensibile e di massa trascurabile. In condizioni di riposo questa sfiora un altro piano orizzontale (pavimento), parallelo al primo, e distante da questo $h=l+R$. La sfera viene messa in movimento e compie piccole oscillazioni di ampiezza $\theta_0$ e periodo T_0 costanti(considerare nulli gli attriti), mantenendosi sempre allo stesso piano verticale.
Una sfera identica alla prima, viene lasciata scivolare senza attrito(non rotola) da un piano inclinato, di angolo $\alfa$ rispetto all'orizzontale, e una volta giunta sul pavimento urta la sfera oscillante nel punto più basso della sua traiettoria.
A quale altezza risale la seconda sfera supponendo che l'urto sia frontale, con velocità di verso opposto, e perfettamente elastico, che le due traiettorie, fino al momento dell'urto, siano contenute nello stesso piano verticale e che il baricentro della sfera sul piano inclinato si trovi inizialemnte ad altezza $q$ dal pavimento?
(il piano inclinato è raccordato al piano orizzontale)
Mi scuso per le semplificazioni precedenti, ma diciamo che erano dovute al fatto che il problema è lungo.
Io ho sbagliato il punto in cui calcolavo le velocità di urto delle due sfere.
Riguardo la sfera che scende dal piano inclinato, mi hai già chiarito il dubbio con il tuo primo messaggio, nel caso invece della sfera appesa al pendolo (ti consiglio di rivedere il mio secondo messaggio), voglio capire secondo quale criterio viene scelta la velocità del punto più basso, corrispondente a $r=l+R$.
E vorrei capire secondo quale criterio posso scegliere quale punto per calcolare la velocità della sfera legata al pendolo.
Devo dire che non capisco neanche io. Mi verrebbe da dire che nell'urto le velocità delle due sfere si scambiano, per cui la sfera attaccata al filo risale ad altezza q, ma questo succederebbe se il moto delle due sfere fosse traslatorio, invece la sfera attaccata al filo sta ruotando, i suoi punti non hanno tutti la stessa velocità e non saprei come trattare la questione. Mi spiace, spero che qualcuno più competente ti possa aiutare.
Grazie comunque per l'aiuto.
Apprezzo che abbia continuato a seguire, nonostante la continua mancanza di dettagli importanti.
Rimango in attesa, sperando qualcuno fornisca una soluzione al problema.
Apprezzo che abbia continuato a seguire, nonostante la continua mancanza di dettagli importanti.
Rimango in attesa, sperando qualcuno fornisca una soluzione al problema.
Ciao yonko
il quesito non è chiarissimo, o perlomeno mi sembra che mancano dei dati.
La sfera in oscillazione attaccata al soffitto (M2), nel momento dell'impatto, possiede la stessa velocità (ma con diversa traiettoria) della sfera che scivola dal piano inclinato (M1)?
Ipotizzando che l'urto avvenga a velocità identiche, e trascurando la differenza tra il punto all'estremo nord e punto estremo sud della oscillante, non si tratta di urto unidimensionale, poichè la traiettoria di quella che scivola dal piano inclinato è con angolo α rispetto piano orizzontale; piano orizzontale ossia quello parallelo alla traiettoria della oscillante nell'istante dell'impatto.
Procedendo con l'ipotesi che l'urto sia totalmente elastico ma non unidimensionale, i corpi idealmente rigidi e quindi lo scambio di energia pressochè istantaneo (assumiamo tp):
In via ufficiosa, la sfera oscillante (M2) dopo l'impatto rimbalza a velocità
$upsilon (m2) = upsilon (m1) * α(cos)²$
da cui puoi ricavare l'altezza raggiungibile nell'oscillazione successiva.
La sfera M1 dopo l'impatto, se fosse libera di procedere senza impedimenti, si muove sull'asse Y (verticale) a velocità
$upsilonY (m1) = upsilon(m1)- (upsilon(m1) * α(cos)²)$
e sull'asse X a velocità
$upsilonX (m1) = v(m2)$
(corrispondente alla quantità di moto ceduta dalla sfera M2), da cui puoi ricavare il modulo velocità assoluto tramite teorema del coseno, o in questo specifico caso, anche tramite pitagora.
Questa non è la soluzione ufficiale, ma è più efficace e congruente (ma non usarla in classe, salve diverse direttive).
Con quella ufficiale, la sfera M2 acquisisce modulo
$upsilon (m2) = upsilon (m1) * α(cos)$
e si ottiene una velocità della sfera M1 su Y pari a
$upsilonY (m1) = upsilon (m1) - (1-upsilon(m1) * α(cos))$
da cui deriva una conservazione del modulo relativo all'asse, ma non una conservazione relativa al modulo assoluto.
il quesito non è chiarissimo, o perlomeno mi sembra che mancano dei dati.
La sfera in oscillazione attaccata al soffitto (M2), nel momento dell'impatto, possiede la stessa velocità (ma con diversa traiettoria) della sfera che scivola dal piano inclinato (M1)?
Ipotizzando che l'urto avvenga a velocità identiche, e trascurando la differenza tra il punto all'estremo nord e punto estremo sud della oscillante, non si tratta di urto unidimensionale, poichè la traiettoria di quella che scivola dal piano inclinato è con angolo α rispetto piano orizzontale; piano orizzontale ossia quello parallelo alla traiettoria della oscillante nell'istante dell'impatto.
Procedendo con l'ipotesi che l'urto sia totalmente elastico ma non unidimensionale, i corpi idealmente rigidi e quindi lo scambio di energia pressochè istantaneo (assumiamo tp):
In via ufficiosa, la sfera oscillante (M2) dopo l'impatto rimbalza a velocità
$upsilon (m2) = upsilon (m1) * α(cos)²$
da cui puoi ricavare l'altezza raggiungibile nell'oscillazione successiva.
La sfera M1 dopo l'impatto, se fosse libera di procedere senza impedimenti, si muove sull'asse Y (verticale) a velocità
$upsilonY (m1) = upsilon(m1)- (upsilon(m1) * α(cos)²)$
e sull'asse X a velocità
$upsilonX (m1) = v(m2)$
(corrispondente alla quantità di moto ceduta dalla sfera M2), da cui puoi ricavare il modulo velocità assoluto tramite teorema del coseno, o in questo specifico caso, anche tramite pitagora.
Questa non è la soluzione ufficiale, ma è più efficace e congruente (ma non usarla in classe, salve diverse direttive).
Con quella ufficiale, la sfera M2 acquisisce modulo
$upsilon (m2) = upsilon (m1) * α(cos)$
e si ottiene una velocità della sfera M1 su Y pari a
$upsilonY (m1) = upsilon (m1) - (1-upsilon(m1) * α(cos))$
da cui deriva una conservazione del modulo relativo all'asse, ma non una conservazione relativa al modulo assoluto.
"yonko":
... supponendo che l'urto sia frontale, con velocità di verso opposto ...
"maximpertinente":
... poiché la traiettoria di quella che scivola dal piano inclinato è con angolo α rispetto piano orizzontale ...
Veramente, il testo dice che, quando urta, la velocità della sfera scivolata lungo il piano inclinato è orizzontale.
"anonymous_0b37e9":
Veramente, il testo dice che, quando urta, la velocità della sfera scivolata lungo il piano inclinato è orizzontale.
Confermo, la sfera non si trova più nel piano inclinato al momento dell'urto.
Inotre le palline non dispongono della stessa velocità, I dati non mancano, semplicemente non sono esplicitati.
Come stavo procedendo nel commento 2, devi calcolarti la velocità (angolare) della sfera che oscilla attraverso l'equazione differenziale del moto armonico, approssimando $sin(\theta)$ con l'angolo $\theta$, cosa possibile per $\theta$ molto piccolo. (ricordo a questo proposito che il primo termine di approssimazione di Taylor del $sin(x)$ è appunto $x$.)
Mentre la velocità della sfera che scende dal piano inclinato è calcolabile semplicemente ricorrendo attraverso la conservazione dell'energia meccanica.
"yonko":
Inoltre le palline non dispongono della stessa velocità ...
Non sono d'accordo.
"yonko":
... supponendo che l'urto sia frontale, con velocità di verso opposto ...
A mio parere, il loro modulo è lo stesso. Soprattutto perché non è possibile determinare la velocità della sfera che oscilla sapendo solamente che l'ampiezza delle sue oscillazioni è piccola.
Cosa ti induce a dire che il modulo è lo stesso?
Perché non puoi calcolarlo? Con una approssimazione certo, ma la velocità angolare si può calcolare. (e ovviamente non numericamente visto che non sono forniti dati numerici.
Perché non puoi calcolarlo? Con una approssimazione certo, ma la velocità angolare si può calcolare. (e ovviamente non numericamente visto che non sono forniti dati numerici.
Non ho capito, hai l'ampiezza delle oscillazioni?
Come non detto.
"yonko":
... e compie piccole oscillazioni di ampiezza $\theta_0$ ...
Come non detto.
si, l'ampiezza è $\theta_0$ come c'è scritto nel testo. Non è un valore numerico esplicito, ma si può dire che abbiamo l'ampiezza.
"yonko":
Non è un valore numerico esplicito, ma si può dire che abbiamo l'ampiezza.
Fin qui ci arrivo anch'io.
Scusa ma non vedo dove sia stata dichiarata l'altezza di caduta dal piano inclinato (non ci vedo bene?).
E se l'urto è unidimensionale, si intende necessariamente un cambio di traiettoria (della sfera del piano inclinato) prima dell'impatto, che rende la parte del quesito relativa al piano inclinato superflua, se non utile solamente per conoscerne la velocità, che però, appunto, non dichiarando l'altezza di caduta, questo dato risulta mancante.
Per caso mi sbaglio?
E se l'urto è unidimensionale, si intende necessariamente un cambio di traiettoria (della sfera del piano inclinato) prima dell'impatto, che rende la parte del quesito relativa al piano inclinato superflua, se non utile solamente per conoscerne la velocità, che però, appunto, non dichiarando l'altezza di caduta, questo dato risulta mancante.
Per caso mi sbaglio?
"maximpertinente":
Scusa ma non vedo dove sia stata dichiarata l'altezza di caduta dal piano inclinato ...
Hai ragione. A questo punto, il modulo deve essere lo stesso, ricavabile dall'ampiezza delle oscillazioni della prima.
"yonko":
A quale altezza risale la seconda sfera supponendo che l'urto sia frontale, con velocità di verso opposto, e perfettamente elastico, che le due traiettorie, fino al momento dell'urto, siano contenute nello stesso piano verticale e che il baricentro della sfera sul piano inclinato si trovi inizialemnte ad altezza $q$ dal pavimento?
(il piano inclinato è raccordato al piano orizzontale)
Non avevo evidenziato l'altezza, era un po' nascosta ma c'era
"maximpertinente":
E se l'urto è unidimensionale, si intende necessariamente un cambio di traiettoria (della sfera del piano inclinato) prima dell'impatto, [...]
Io non capisco sinceramente cosa intendi con urto unidimensionale o non unidimensionale
Poiché la fune è collegata alla sfera nel suo centro di massa, la sfera si muove di moto traslatorio. Insomma, in ogni istante, tutti i punti della sfera sono animati dalla medesima velocità.
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