Conservazione dell'energia
Salve a tutti, non sono sicuro di come ho risolto questo esercizio:
Un semi-disco omogeneo di massa $ m $ e raggio $ R $ è vincolato a ruotare attorno ad un'asse perpendicolare al foglio e passante per il punto $ O $ posto al centro del diametro $ AA' = 2R $, come mostrato in figura (https://ibb.co/jbm8zzv). Un martello trasferisce sul diametro $ AA' $ su di un punto alla distanza $ x $ da $ O $ un impulso verticale verso il basso di modulo $ J $. Si chiede di calcolare:
in assenza di forze e momenti d’attrito, il minimo valore $ xmin $ che permette al semi-disco di compiere un
mezzo giro attorno ad $ O $, cioè $ ø = π $ rispetto alla sua posizione iniziale.
Nota: con riferimento alla figura si ricorda che indicato con $ CM $ il centro di massa del semi-disco, la sua distanza dall’asse di rotazione è $ d = 4R/3π $ Si ricordi che la variazione del momento angolare nel tempo è uguale al momento delle forze esterne agenti sul sistema fisico.
Per rispondere alla richiesta ho applicato la conservazione dell'energia considerando come punto nel quale $ Ep=0 $ il $ CM $. Nella posizione iniziale (della figura), il $ CM $ é nel punto più basso quindi l'energia meccanica iniziale é solo energia cinetica, quando il disco effettua la rotazione si trova "sotto sopra", quindi il $ CM $ si trova nella posizione più alta e c é solo energia potenziale. L'equazione che ho trovato é quindi: $ 1/2Iw²=mgd $. Qualcuno potrebbe dirmi se il risultato a cui sono arrivato é giusto e se i ragionamenti fatti sono coerenti o c'è qualche errore? Ringrazio chiunque possa aiutarmi.
Un semi-disco omogeneo di massa $ m $ e raggio $ R $ è vincolato a ruotare attorno ad un'asse perpendicolare al foglio e passante per il punto $ O $ posto al centro del diametro $ AA' = 2R $, come mostrato in figura (https://ibb.co/jbm8zzv). Un martello trasferisce sul diametro $ AA' $ su di un punto alla distanza $ x $ da $ O $ un impulso verticale verso il basso di modulo $ J $. Si chiede di calcolare:
in assenza di forze e momenti d’attrito, il minimo valore $ xmin $ che permette al semi-disco di compiere un
mezzo giro attorno ad $ O $, cioè $ ø = π $ rispetto alla sua posizione iniziale.
Nota: con riferimento alla figura si ricorda che indicato con $ CM $ il centro di massa del semi-disco, la sua distanza dall’asse di rotazione è $ d = 4R/3π $ Si ricordi che la variazione del momento angolare nel tempo è uguale al momento delle forze esterne agenti sul sistema fisico.
Per rispondere alla richiesta ho applicato la conservazione dell'energia considerando come punto nel quale $ Ep=0 $ il $ CM $. Nella posizione iniziale (della figura), il $ CM $ é nel punto più basso quindi l'energia meccanica iniziale é solo energia cinetica, quando il disco effettua la rotazione si trova "sotto sopra", quindi il $ CM $ si trova nella posizione più alta e c é solo energia potenziale. L'equazione che ho trovato é quindi: $ 1/2Iw²=mgd $. Qualcuno potrebbe dirmi se il risultato a cui sono arrivato é giusto e se i ragionamenti fatti sono coerenti o c'è qualche errore? Ringrazio chiunque possa aiutarmi.
Risposte
Applicando la seconda equazione cardinale della dinamica:
essendo $I_O$ il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione. Inoltre:
A questo punto, essendo equivalente all'assegnazione della velocità angolare iniziale impartita dalla forza impulsiva, si può concludere applicando la conservazione dell'energia meccanica:
essendo $d_G$ la distanza del centro di massa dall'asse di rotazione.
$[M_O=(\DeltaL_O)/(\Deltat)] ^^ [M_O=J/(\Deltat)x] ^^ [(\DeltaL_O)/(\Deltat)=I_O(\Delta\omega)/(\Deltat)] rarr [\Delta\omega=J/I_Ox]$
essendo $I_O$ il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione. Inoltre:
$[\Delta\omega=\omega_f-\omega_i] ^^ [\omega_i=0] rarr [\omega_f=J/I_Ox]$
A questo punto, essendo equivalente all'assegnazione della velocità angolare iniziale impartita dalla forza impulsiva, si può concludere applicando la conservazione dell'energia meccanica:
$1/2I_O(J/I_Ox)^2 gt=2mgd_G$
essendo $d_G$ la distanza del centro di massa dall'asse di rotazione.
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