Conservazione dell'energia
Ragazzi avrei bisogno di una mano con la parte b di questo problema che mi sembra semplicissimo ma che incredibilmente mi viene sbagliato e non riesco a capire come mai...
Preso da qui: ftp://docenti.ing.units.it/arc_stud/Del ... ziCap8.pdf
Dunque per la risoluzione del questio a) io procedo così:
Dato che ci sono solo forze consecutive, l'energia meccanica è sempre la stessa quindi la ricavo:
$Em= mgL$
Quindi ora l'Energia Meccanica nel punto A (cioè nel punto più basso)
$Em_a=mgL= 1/2 M V_a^2$
da cui
$V_a=sqrt(2gL) = 4,85 m/s $
E ora la parte B che mi viene sbagliata:
Dato che l'Energia Meccanica è $Em= mgL$
allora la ricavo anche nel punto B (cioè quello del quesito b)
$Em_b=mgL=1/2 m V_b^2+mg(L-d)$ (cosa c'è di sbagliato?)
da cui
$V_b=sqrt(2gd)=3,8 m/s$ ma il risultato è sbagliato...
Cos'ho sbagliato?
Preso da qui: ftp://docenti.ing.units.it/arc_stud/Del ... ziCap8.pdf
Dunque per la risoluzione del questio a) io procedo così:
Dato che ci sono solo forze consecutive, l'energia meccanica è sempre la stessa quindi la ricavo:
$Em= mgL$
Quindi ora l'Energia Meccanica nel punto A (cioè nel punto più basso)
$Em_a=mgL= 1/2 M V_a^2$
da cui
$V_a=sqrt(2gL) = 4,85 m/s $
E ora la parte B che mi viene sbagliata:
Dato che l'Energia Meccanica è $Em= mgL$
allora la ricavo anche nel punto B (cioè quello del quesito b)
$Em_b=mgL=1/2 m V_b^2+mg(L-d)$ (cosa c'è di sbagliato?)
da cui
$V_b=sqrt(2gd)=3,8 m/s$ ma il risultato è sbagliato...
Cos'ho sbagliato?
Risposte
Per essere corretti dovresti dire, sulla massa agiscono forza peso e tensione del filo, ma essendo quest'ultima sempre ortogonale allo spostamento il suo lavoro è nullo. Quindi il lavoro è dato dalla sola forza peso che è conservativa e quindi si ha la conservazione dell'energia meccanica. Posto il livello zero dell'energia potenziale nel punto piu basso in cui può arrivare la massa si ha che
\[mgl=\frac{1}{2}mv^{2}_{a}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}v^{2}_{a}=2gl\]
Per la seconda parte forse non capisco bene la domanda.. Perchè quando raggiunge il punto più alto la sua velocità è ovviamente nulla (infatti nell'istante successivo ricade verso il basso)
\[mgl=\frac{1}{2}mv^{2}_{a}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}v^{2}_{a}=2gl\]
Per la seconda parte forse non capisco bene la domanda.. Perchè quando raggiunge il punto più alto la sua velocità è ovviamente nulla (infatti nell'istante successivo ricade verso il basso)
"Cuspide83":
Per la seconda parte forse non capisco bene la domanda.. Perchè quando raggiunge il punto più alto la sua velocità è ovviamente nulla (infatti nell'istante successivo ricade verso il basso)
Ciao Cuspide, grazie mille per la risposta, comunque la seconda parte non chiede la velocità nel punto più alto che naturalmente sarebbe nulla, ma chiede la velocità (il risultato è $V_b=2,42 m/s$) che la pallina ha nel puto alla quota (L-d) dove (L-d) è tra l'altro il raggio nella nuova traiettoria, mentre fino a quel momento (cioè prima che il filo s'impigliasse sul piolo) il raggio era L.
Ahhh ho capito dov'era il trucco...
Praticamente mi facevo ingannare dalla foto e pensavo di dover trovare la velocità che la pallina raggiunge alla fine della traiettoria indicata nella foto (cioè quota L-d), invece lui chiede proprio il punto più alto, di conseguenza la traiettoria continua e il punto più alto diventa 2* (L-d). Adesso provo e vedo se funziona...
PS: Sì infatti funziona...
$Em_b=mgL=1/2 m V_b^2+mg2(L-d)$
da cui
$V_b=sqrt(4gd-2gL)=2,42 m/s$
Praticamente mi facevo ingannare dalla foto e pensavo di dover trovare la velocità che la pallina raggiunge alla fine della traiettoria indicata nella foto (cioè quota L-d), invece lui chiede proprio il punto più alto, di conseguenza la traiettoria continua e il punto più alto diventa 2* (L-d). Adesso provo e vedo se funziona...
PS: Sì infatti funziona...
$Em_b=mgL=1/2 m V_b^2+mg2(L-d)$
da cui
$V_b=sqrt(4gd-2gL)=2,42 m/s$
Ecco c'è un altro problemino in cui avrei bisogno di una mano...
Io provo a risolverlo così:
a)L=\( \int_1^4 (3x+5) \ \text{d} x =\frac{3}{2}\ x^2+5x|_1^4 \)
$L= 24+20-3/2-5 = 37,5 J$
b)La variazione di Energia Potenziale è l'opposto del Lavoro quindi è -37,5 J, giusto?
c)Applico il teorema delle forze vive e cioè che la differenza di energia cinetica equivale al lavoro svolto?
Quindi faccio
$1/2mv_f^2= L+1/2mv_i^2$
da cui
$v_f= sqrt (2L/m + v_i^2) = sqrt(24)$
giusto?
Una forza conservativa $F_x=(3x+5)N$ agisce su una particella di massa $m=5,0 kg$ , essendo x espresso in metri.
Quando la particella si muove lungo l’asse x da $x_i=1,0 m$ a $x_f = 4,0m$ , calcolare
(a) il lavoro fatto da questa forza,
(b)la variazione dell’energia potenziale della particella e
(c) la sua energia cinetica nel punto $x_f =4,0m$ , se la sua velocità è pari a $v_i=3,0 m/s$ nel punto $x_i=1,0 m$.
Io provo a risolverlo così:
a)L=\( \int_1^4 (3x+5) \ \text{d} x =\frac{3}{2}\ x^2+5x|_1^4 \)
$L= 24+20-3/2-5 = 37,5 J$
b)La variazione di Energia Potenziale è l'opposto del Lavoro quindi è -37,5 J, giusto?
c)Applico il teorema delle forze vive e cioè che la differenza di energia cinetica equivale al lavoro svolto?
Quindi faccio
$1/2mv_f^2= L+1/2mv_i^2$
da cui
$v_f= sqrt (2L/m + v_i^2) = sqrt(24)$
giusto?
$ Delta E_p=-Delta E_c $
D'altra parte $ Delta E_c=L $.
Quindi la variazione di energia potenziale è pari al lavoro che hai calcolato, cambiato di segno $ (-37,5J) $ .
Per quanto riguarda l'energia cinetica, a quella che possiede il corpo nel punto x=1m, devi sommare $ Delta E_c=L $
D'altra parte $ Delta E_c=L $.
Quindi la variazione di energia potenziale è pari al lavoro che hai calcolato, cambiato di segno $ (-37,5J) $ .
Per quanto riguarda l'energia cinetica, a quella che possiede il corpo nel punto x=1m, devi sommare $ Delta E_c=L $
"3aurizio":
$ Delta E_p=-Delta E_c $
D'altra parte $ Delta E_c=L $.
Quindi la variazione di energia potenziale è pari al lavoro che hai calcolato, cambiato di segno $ (-37,5J) $ .
Per quanto riguarda l'energia cinetica, a quella che possiede il corpo nel punto x=1m, devi sommare $ Delta E_c=L $
Ok grazie mille, allora l'ho fatto giusto. Ora ho un problema un pò più complicato che è questo:
Non so perchè qui sul forum non lo visualizza per intero, comunque l'immagine completa è questa:
http://img405.imageshack.us/img405/6591/es68.jpg
anche se alla fine si capisce benissimo anche da quella postata sul forum (20cm e 30kg i 2 dati monchi alla destra)
Le mie notazioni sono:
$Ug$ = Energia potenziale gravitazionale
$Uh$ = Energia potenziale elastica
$K$ = Energia cinetica
$k=200N/m$
$d=20cm=0,2m$
$m1=25kg$
$m2=30kg$
Dunque io so trovare la velocità del blocco da 30kg ma non so trovare quella del blocco da 25kg (cioè quello sul piano inclinato). Per trovare la velocità del blocco appeso (quello da 30) ho fatto così:
Ho trovato l'energia meccanica ponendo Ug=0 all'inizio (cioè quando il blocco da 30kg è 40 cm sopra il pavimento cioè all'istante 0)
$Em_i=U_hi+U_gi+K_i= 1/2kd^2+0+0$
$Em_f=U_hf+U_gf+K_f= 0-m_2gd+1/2m_2 v_2^2$
Dunque uguagliando $Em_i=Em_f$
ricavo
$v_2=sqrt((kd^2+2m_2 gd)/m_2) = 2,05 m/s$
Ho fatto giusto?
E invece per il blocco da 25kg come si fa? Devo considerare oppure no l'Energia potenziale elastica?
E' quello il mio dubbio...
Sul blocco "appeso" agiscono forza peso, forza elastica e tensione del filo. Le prime due sono forze conservative, ma la tensione del filo sei sicuro sia conservativa e se lo è qual'è l'energia potenziale associata? Tu nella conservazione dell'energia meccanica hai trascurato di farti queste domande 
"Cuspide83":
Sul blocco "appeso" agiscono forza peso, forza elastica e tensione del filo. Le prime due sono forze conservative, ma la tensione del filo sei sicuro sia conservativa e se lo è qual'è l'energia potenziale associata? Tu nella conservazione dell'energia meccanica hai trascurato di farti queste domande
Ah ok, effettivamente non sapevo che la tensione del filo fosse una forza non conservativa anche se avrei dovuto capirlo dal tuo primo post. Però ora che lo so, ci penso (cioè domani xD).
Ma invece sul blocco sul piano inclinato chi agisce? Forza Peso e Tensione del Filo, giusto? E naturalmente la Normale che però è perpendicolare allo spostamento quindi non fa lavoro. Quindi ne deduco che la molla non centra niente col blocco sul piano inclinato.
Essendo attaccati l'un l'altro (il modulo della) la velocita' dovrebbe essere la medesima.
Nel caso di un blocco essa ha componente orizzontale e componente verticale mentre nell'altro ha solo componente verticale.
O no ?
Nel caso di un blocco essa ha componente orizzontale e componente verticale mentre nell'altro ha solo componente verticale.
O no ?
"MenoInfinito":
Essendo attaccati l'un l'altro (il modulo della) la velocita' dovrebbe essere la medesima.
Nel caso di un blocco essa ha componente orizzontale e componente verticale mentre nell'altro ha solo componente verticale.
O no ?
Allora, la prima parte è da "aggiustare" ovvero bisognerebbe dire: siccome il filo è in questo esercizio considerato inestensibile (oltre ad avere massa trascurabile) se una massa si sposta di una quantità \(ds\) anche l'altra massa si sposterà di una stessa quantità (ovvero eventualmente hanno stessa velocità e stessa accelerazione in modulo). Quindi queste considerazioni sono "piu" legate al fatto che il filo sia inestensibile che a quello di essere legate (osserva anche che nella prima parte la tensione sarà sicuramente maggiore di zero, ma dopo potrebbero esserci istanti in cui la tensione si annulla cioè il filo non è tirato).
Beh per le velocità, io utilizzerei per il primo corpo un sistema con un asse parallelo al piano inclinato e per il secondo corpo un sistema con un asse perpendicolare all'orizzontale cosi facendo entrambe le velocità hanno solo una componente (che tra l'altro coincide con la direzione del vettore, infatti ricordiamo che la velocità è un vettore sempre tangente alla traiettoria). Però questa scelta come dicevamo mi sembra ieri, è puramente arbitraria. Ricorda però che devi sempre specificare il sistema che stai utilizzando (da quello che hai scritto si capiva che hai preso per entrambi i corpi un sistema "classico", però appunto ricorda che concettualmente non ha senso parlare di componenti se non si specifica il sistema di riferimento scelto).
Ritornando all'esercizio non non conosciamo l'accelerazione e la tensione, tutti gli altri dati li abbiamo. Ovvero abbiamo due equazioni del moto con due incognite, perciò io eguagliarei la tensione nelle due equazioni cosi da ricavare l'accelerazione. Fatto questo userei per ricavare la velocità la seguente relazione (osservando che la velocità iniziale di entrambi i corpi è nulla
\[2\int^{x}_{x_{0}}{a(x)dx}=v^{2}-v^{2}_{0}=v^{2}\]
\[2\int^{x}_{x_{0}}{a(x)dx}=v^{2}-v^{2}_{0}=v^{2}\]
"Cuspide83":
Ritornando all'esercizio non non conosciamo l'accelerazione e la tensione, tutti gli altri dati li abbiamo. Ovvero abbiamo due equazioni del moto con due incognite, perciò io eguagliarei la tensione nelle due equazioni cosi da ricavare l'accelerazione. Fatto questo userei per ricavare la velocità la seguente relazione (osservando che la velocità iniziale di entrambi i corpi è nulla
\[2\int^{x}_{x_{0}}{a(x)dx}=v^{2}-v^{2}_{0}=v^{2}\]
Ok, questo problema mi è chiaro.
Ce ne è un altro che non riesco a risolvere...
Preso da qui: ftp://docenti.ing.units.it/arc_stud/Del ... ziCap8.pdf
Uso la notazione:
$L_n$= lavoro delle forze non conservative
$F_k$= forza di attrito
Il punto a) è facile
$Em_i = Ug_i + K_i + Uh_i = mgd + 0 + 0 = 72.560 j$
$L_n = -F_k d = -16.280 j $
$Em_2 = Em_i + L_n = 56.240 j$
$Em_2=Ug_2 + Kf_2+ Uh_2 = 0 + 1/2 mv_f^2 + 0 = 56.240 j$
da cui
$v_f=7,5 m/s$
Ma il punto b) come si risolve?
Io ho provato così:
Ricavo $Em_3$ cioè l'energia meccanica nel momento in cui la velocità dell'ascensore è nulla e la compressione della molla (y) è massima.
$L_n=-F_k y$
$Em_3 = 1/2 k y^2 - mgy$
$Em_3 = Em_2 + L_n$
cioè
$1/2 k y^2 - mgy= 1/2mv_f^2-F_k y$
da cui un 'equazione di secondo grado in y
$ky^2 +2(F_kd-mg)y-mv_f^2=0$
Risolvendola rispetto ad y mi vengono dei risultati astronomici...
Cos'è che sbaglio?
"Cuspide83":
La forza di attrito essendo costante è conservativa infatti il suo lavoro
\[W=\int^{B}_{A}{\vec{F}\cdot d\vec{s}}=\vec{F}\cdot\int^{B}_{A}{d\vec{s}}=\vec{F}\cdot\vec{r}_{AB}=-F(y_{A}-y_{B})\]
quindi puoi usare la conservazione dell'energia meccanica nella prima fase del moto (caduta fino alla molla)
Ma non è che stai forzando la definizione di lavoro per forze conservative a tutte le forze?
Stando a questo ragionamento se $y_{A}$ fosse uguale ad $y_{B}$ allora il lavoro compiuto della forza d'attrito sarebbe nullo ma come può il lavoro della forza d'attrito essere nullo se essa è sempre in direzione antiparallela al vettore spostamento? Non può annullarsi perchè è sempre negativo...
Cioè se abbiamo un corpo che viene spinto contro una molla, abbiamo una forza d'attrito che gli rema contro ed ha dunque segno opposto al vettore spostamento quindi il lavoro1 è negativo, mentre poi quando ritorna indietro, la forza d'attrito è nuovamente antiparallela allo spostamento e dunque il lavoro2 sarà di nuovo negativo, quindi da questa somma lavoro1+lavoro2 risulta che il modulo del lavoro della forza di attrito è aumentato cioè il suo valore dipende dal percorso e dunque la forza d'attrito non può essere conservativa neppure se costante...
"Cuspide83":
La forza di attrito essendo costante è conservativa infatti il suo lavoro...
In questo caso risulta una forza conservativa perche' costante mentre nel caso generale, laddove ad esempio e' proporzionale alla velocita' del corpo che si sposta, e' una forza non conservativa.
Giusto ?
"Cuspide83":
\[-\vec{\nabla}E_{p}=-\vec{\nabla}(-Fy)=F\vec{\nabla}y=F\frac{\partial y}{\partial y}\vec{j}=F\vec{j}=\vec{F}\]
Inoltre se gli estremi di integrazione dovesso coincidere come dici tu (cioè faccio un percorso che partendo da \(y_{a}\) mi riporta allo stesso punto iniziale \(y_{b}=y_{a}\)) si ha che il lavoro compiuto dalla forza è nullo. Cioè quello che ti ho scritto sopra, una forza è conservativa se la sua circuitazione lungo un qualunque percorso è uguale a zero.
Sì ma quello che non capisco è come il lavoro della forza d'attrito può essere nullo...
Supponiamo che quando l'ascensore si fermi il lavoro compiuto dalla forza d'attrito sia stato $-|X|$, poi la Molla spinge l'ascensore in sù, e ancora una volta il lavoro della forza d'attrito sarà negativo perchè l'attrito è sempre antiparallelo allo spostamento giusto? Quindi il lavoro che compie da adesso in poi sarà un'altra quantità negativa $-|Y|$
Ma se sommo due quantità negative com'è possibile che il risultato del lavoro compiuto dalla forza d'attrito sia 0?
Oppure l'esercizio in realtà ci sta dicendo che la forza d'attrito si applica solamente quando l'ascensore è in caduta e NON si applica quando lui torna a risalire? Dunque sarebbe un ragionamento sbagliato pensare che quando la molla spinge in su, c'è nuovamente attrito? L'attrito in questo caso l'abbiamo solo durante la fase di caduta fino a quando la velocità si azzera?
"Cuspide83":
\[mgh-Fh+\frac{1}{2}mv^{2}_{i}=(mg-F)(h+d)=\]
\[=mgh'-Fh'+\frac{1}{2}k\Delta y^{2}=(mg-F)h'+\frac{1}{2}k\Delta y^{2}\]
\[\Rightarrow\hspace{1 cm}(mg-F)(h+d-h')=(mg-F)(d+\Delta y)=\frac{1}{2}k\Delta y^{2}\]
Ora devi solo calcolarti le soluzioni di questa equazione di secondo grado. Gli altri punti li lasio a te.. ho sonno
Ma cosa rappresenta h' ?
d rappresentano i 3,7 metri, h rappresenta il max allungamento della mola, ed h' cos'è?
Ciao Atem scusa se ti ho inculcato qualche dubbio, colpa mia (ma a volte vado di fretta e dovrei essere piu attento merito una bastonata 
).
Questo ragionamento lo faccio anche per menoinfinito (cioè dimenticate in parte quello che ho detto).
Innanzitutto osserviamo che la forza viene applicata solo in caso di caduta, cioè nella realtà salendo verso l'alto non verrebbe applicata. Immaginiamola però come una classica forza di attrito cosi la possiamo considerare anche in una eventuale risalita.
Ora la forza è costante ma non facciamoci fregare da questa parola, infatti la forza è un vettore e per rimanere costante deve essere costante in modulo verso e direzione. Nella risalita la forza come faceva giustamente notare Atem è rivolta non piu verso l'alto ma verso il basso, cioè ha verso opposto alla forza applicata nella caduta quindi
\[W=\int_{\gamma}{\vec{F}\cdot d\vec{s}}=-F\int_{\gamma}{\vec{u}_{v}\cdot d\vec{s}}=-F\int_{\gamma}{ds}=-Fl\]
l'integrale di \(ds\) rappresenta la lunghezza della curva \(\gamma\); cioè il lavoro non dipende dagli estremi di integrazione ma dipende dalla curva che unisce i due punti.
).Questo ragionamento lo faccio anche per menoinfinito (cioè dimenticate in parte quello che ho detto).
Innanzitutto osserviamo che la forza viene applicata solo in caso di caduta, cioè nella realtà salendo verso l'alto non verrebbe applicata. Immaginiamola però come una classica forza di attrito cosi la possiamo considerare anche in una eventuale risalita.
Ora la forza è costante ma non facciamoci fregare da questa parola, infatti la forza è un vettore e per rimanere costante deve essere costante in modulo verso e direzione. Nella risalita la forza come faceva giustamente notare Atem è rivolta non piu verso l'alto ma verso il basso, cioè ha verso opposto alla forza applicata nella caduta quindi
\[W=\int_{\gamma}{\vec{F}\cdot d\vec{s}}=-F\int_{\gamma}{\vec{u}_{v}\cdot d\vec{s}}=-F\int_{\gamma}{ds}=-Fl\]
l'integrale di \(ds\) rappresenta la lunghezza della curva \(\gamma\); cioè il lavoro non dipende dagli estremi di integrazione ma dipende dalla curva che unisce i due punti.
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