Conservatività del campo magnetico prodotto da magneti permanenti
Salve a tutti. Avrei una domanda sui magneti permanenti, su un concetto che non mi è chiaro.
Sappiamo che il campo magnetico non è conservativo, quindi non è definibile un'energia potenziale.
Ma per quanto riguarda i magneti permanenti, nei quali il campo magnetico è dovuto ai momenti di dipolo magnetico dei singoli atomi orientati nella stessa direzione, si può misurare quando ad esempio vengono avvicinati due poli nord di due magneti, una forza repulsiva che cresce con la diminuzione della distanza tra i due poli. Se dopo averli avvicinati forzosamente, si lascia andare uno dei due magneti, questo viene sparato via, ed acquista subito energia cinetica. Quest'energia, non è forse dovuta alla conversione di una qualche forma di energia potenziale precedentemente accumulatasi, dovuta al campo magnetico? Qual'è la sua espressione matematica? In questo caso il campo si può dire conservativo?
Grazie a chiunque voglia rispondermi.
Sappiamo che il campo magnetico non è conservativo, quindi non è definibile un'energia potenziale.
Ma per quanto riguarda i magneti permanenti, nei quali il campo magnetico è dovuto ai momenti di dipolo magnetico dei singoli atomi orientati nella stessa direzione, si può misurare quando ad esempio vengono avvicinati due poli nord di due magneti, una forza repulsiva che cresce con la diminuzione della distanza tra i due poli. Se dopo averli avvicinati forzosamente, si lascia andare uno dei due magneti, questo viene sparato via, ed acquista subito energia cinetica. Quest'energia, non è forse dovuta alla conversione di una qualche forma di energia potenziale precedentemente accumulatasi, dovuta al campo magnetico? Qual'è la sua espressione matematica? In questo caso il campo si può dire conservativo?
Grazie a chiunque voglia rispondermi.
Risposte
Il campo magnetico non è legato ad un potenziale scalare, quindi non è conservativo, vero, ma è legato ad un potenziale vettore. Si chiama campo di "tipo rotore" appunto per questo. Condizione necessaria ma non sufficiente è la divergenza nulla, come Maxwell insegna. Il campo magnetico è quindi ricavabile da un potenziale vettore $A$ tale che $B=rot(A)$ e la sua energia magnetica, ricavabile sempre dal potenziale vettore, è, nella scrittura più semplice $U_B=-\vecM*\vecB$ intesa come il lavoro che compie la forza magnetica per allineare il momento dipolare (quindi detto brutto per rigirare l'altro magnete nel tuo esempio).
"Nikikinki":
Il campo magnetico non è legato ad un potenziale scalare, quindi non è conservativo, vero, ma è legato ad un potenziale vettore. Si chiama campo di "tipo rotore" appunto per questo. Condizione necessaria ma non sufficiente è la divergenza nulla, come Maxwell insegna. Il campo magnetico è quindi ricavabile da un potenziale vettore $A$ tale che $B=rot(A)$ e la sua energia magnetica, ricavabile sempre dal potenziale vettore, è, nella scrittura più semplice $U_B=-\vecM*\vecB$ intesa come il lavoro che compie la forza magnetica per allineare il momento dipolare (quindi detto brutto per rigirare l'altro magnete nel tuo esempio).
Grazie mille per la risposta. L'energia magnetica, come viene trattata sui libri, ad esempio quella di una spira immersa in un campo magnetico, da informazioni sull'energia necessaria per l'allineamento della spira, tramite rotazione. Ma nell'esempio che io ho riportato, di 2 poli nord di due magneti, che se avvicinati si respingono, come può essere trattato matematicamente? In questo caso c'è una forza repulsiva, che aumenta col diminuire della distanza, e che è prodotta dalla somma di tanti piccoli momenti di dipolo magnetico atomici. Sperimentalmente appare quasi come una forza elastica, come quando si comprime una molla.
Oltretutto nel caso della spira, si suppone che il campo magnetico in cui è immersa sia costante nello spazio da lei occupato, mentre in questo caso, il campo non è costante, poichè aumenta col diminuire della distanza dal magnete. Grazie mille.
Stavo pensando che forse una formula che potrebbe essere utile sia quella della forza magnetica tra correnti.
$| \vec F|$ = $ (\mu_0 I_1 I_2 L) /(2pi R)$
o meglio ancora quella del campo magnetico prodotto da un momento dipolare
$ \vec B$ = $ (\mu_0 2 \vec M) /(4pi R^3)$
poichè i singoli atomi potrebbero essere approssimati come delle spire in cui la corrente si muove sempre nello stesso verso. L si potrebbe intendere come la lunghezza della traiettoria dell'elettrone, e sarebbe ovviamente infinitesima. Ma il contributo di tante forze infinitesime, darebbe ovviamente la forza che noi rileviamo. In tal caso, essendo tutti i parametri nella formula costanti, tranne la distanza R, si avrebbe che la forza in questione sarebbe dipendente solo dalla distanza. E quindi in tal caso potrebbe essere intesa come una forza di fatto conservativa. E' corretto secondo te? Grazie.
PS: ovviamente il tutto è solo un'approssimazione. So che la fisica quantistica, che regola il moto degli elettroni, è molto più complessa di cosi. Ma è solo per avere almeno un'idea, di quale sia la forma matematica di questa forza repulsiva tra calamite.
$| \vec F|$ = $ (\mu_0 I_1 I_2 L) /(2pi R)$
o meglio ancora quella del campo magnetico prodotto da un momento dipolare
$ \vec B$ = $ (\mu_0 2 \vec M) /(4pi R^3)$
poichè i singoli atomi potrebbero essere approssimati come delle spire in cui la corrente si muove sempre nello stesso verso. L si potrebbe intendere come la lunghezza della traiettoria dell'elettrone, e sarebbe ovviamente infinitesima. Ma il contributo di tante forze infinitesime, darebbe ovviamente la forza che noi rileviamo. In tal caso, essendo tutti i parametri nella formula costanti, tranne la distanza R, si avrebbe che la forza in questione sarebbe dipendente solo dalla distanza. E quindi in tal caso potrebbe essere intesa come una forza di fatto conservativa. E' corretto secondo te? Grazie.
PS: ovviamente il tutto è solo un'approssimazione. So che la fisica quantistica, che regola il moto degli elettroni, è molto più complessa di cosi. Ma è solo per avere almeno un'idea, di quale sia la forma matematica di questa forza repulsiva tra calamite.
No allora calcolare le forze tra due magneti è roba infernale che dipende da tantissimi fattori quali ad esempio la geometria, il materiale, eventuale drogaggio e tante altre cose. Esistono poi formule ricavate in modo semi empirico per casi più standard tipo superfici piane molto vicine o magneti con geometria semplice. Sono un po'tutte proporzionali alla densità del campo magnetico ma è in quel proporzionale che sta il mondo dipendente appunto da geometrie etc. La formula con le correnti che hai scritto ricalca un po'la forza ideale tra due monopoli , identica a quella di Coulomb in forma, ma che è super ideale visto che monopoli in natura non si sono mai visti. Quindi insomma, se vuoi ti cerco qualche formula per casi semplici ma ti servirebbe a poco se la tua idea era trovare un procedimento standard da applicare sempre
"Nikikinki":
No allora calcolare le forze tra due magneti è roba infernale che dipende da tantissimi fattori quali ad esempio la geometria, il materiale, eventuale drogaggio e tante altre cose. Esistono poi formule ricavate in modo semi empirico per casi più standard tipo superfici piane molto vicine o magneti con geometria semplice. Sono un po'tutte proporzionali alla densità del campo magnetico ma è in quel proporzionale che sta il mondo dipendente appunto da geometrie etc. La formula con le correnti che hai scritto ricalca un po'la forza ideale tra due monopoli , identica a quella di Coulomb in forma, ma che è super ideale visto che monopoli in natura non si sono mai visti. Quindi insomma, se vuoi ti cerco qualche formula per casi semplici ma ti servirebbe a poco se la tua idea era trovare un procedimento standard da applicare sempre
Grazie mille della risposta esauriente. Ma quindi tutte queste formule di cui parli, una volta fissati i parametri che descrivono la geometria dei magneti e l'eventuale drogaggio, esprimono tutte, una quantità dipendente solo dalla distanza, che è l'unico parametro che può variare, giusto? E quindi esprimono sempre una forza conservativa. Almeno su questo, si può dire qualcosa di generale? Oppure anche la conservatività dipende dalla geometria? Grazie.
Il campo magnetico non è conservativo abbiamo detto, quindi su quel fronte caso chiuso non ti confondere. La cosa generale che si può dire è proprio questo. Condizione necessaria ma non sufficiente alla conservatività del campo è il rotore nullo. Certo puoi scrivere un campo magnetico irrotazionale ma a quel punto ti sei giocato parecchie quantità interessanti, anche qui Maxwell docet. Quindi in generale, e sempre nella realtà, sarà non conservativo. D'altronde le linee di campo sono sempre chiuse quindi non c'è via di scampo. A meno che non esistano i monopoli magnetici di cui abbiamo parlato prima. Trovali e vinci il Nobel.
Grazie per il tempo che mi hai dedicato e per le tue risposte. Comunque nel caso della spira immersa in un campo magnetico, si parla di "energia potenziale magnetica", da alcuni chiamata semplicemente "energia magnetica". E in quel caso si ha conservazione dell'energia meccanica. Il lavoro che si compie dall'esterno per ruotare la spira dalla posizione di equilibrio statico, fino a un certo angolo $\alpha$, è pari all'energia magnetica accumulatasi, e che una volta svincolata la spira, si ritrasformerà spontaneamente in energia cinetica. Quindi, posso dire che in casi particolari, si ha conservazione dell'energia meccanica, anche se il campo in generale, non è conservativo? Grazie!
PS: sui monopoli magnetici, penso che se esistessero, volendo fare una analogia tra una spira e una moneta, sarebbe come dire che una moneta potrebbe avere una sola faccia. Il che è assurdo ovviamente. Quindi concordo pienamente che non ha senso neppure pensarli.
però sulla conservazione, mi devo togliere qualche dubbio per i casi particolari.
PS: sui monopoli magnetici, penso che se esistessero, volendo fare una analogia tra una spira e una moneta, sarebbe come dire che una moneta potrebbe avere una sola faccia. Il che è assurdo ovviamente. Quindi concordo pienamente che non ha senso neppure pensarli.
però sulla conservazione, mi devo togliere qualche dubbio per i casi particolari.
Non vedo come possa accumularsi energia magnetica in una spira. Se la muovi in un campo magnetico varierà il flusso concetenato e si genererà una fem sostenuta dall'energia del campo. Poi comunque il fatto chr un campo non sia conservativo non significa che l'energia non si conservi. Significa solo che non puoi ricavare un potenziale scalare il cui gradiente è il campo stesso. O ancora, prendi la spira falla ballare nel campo magnetico, poi mettila ortogonale alle linee di campo e quella non farà nulla, col ciufolo che si mette a correre ridandoti energia cinetica. Non fossilizzarti sui termini. L'energia si conserva, ma non tutte le forze sono conservative. Amen.
"Nikikinki":
O ancora, prendi la spira falla ballare nel campo magnetico, poi mettila ortogonale alle linee di campo e quella non farà nulla, col ciufolo che si mette a correre ridandoti energia cinetica.
Ecco, il mio esempio iniziale era proprio quello delle calamite. Se dopo averle avvicinate con forza, lasci andare una delle 2, questa viene sparata via. Eccome se viene sparata via. E' proprio quello che succede. Quell'energia cinetica che si forma, non era accumulata da qualche parte? Non si può creare dal nulla, altrimenti violerebbe il principio di conservazione dell'energia. Comunque grazie ancora di tutto, mi sei stato molto di aiuto per ragionare su questi concetti.
Non metto in dubbio che in situazioni molto particolari non possa definire anche un potenziale scalare per il campo magnetico ma questo non lo rende conservativo e pensarlo ti confonderebbe solo. Non è pensabile che un campo è conservativo o meno se metto la spira storta o dritta. O è conservativo o non lo è. Immagina io che ti spingo con le mani. Ma tu non arretri perché sfrutti l'attrito o ti ancori a qualcosa. Appena l'attrito svanisce o il fermo che ti teneva viene tolto ruzzoli via ma non ho mica generato un campo conservativo con le mie mani.
"Nikikinki":
Immagina io che ti spingo con le mani. Ma tu non arretri perché sfrutti l'attrito o ti ancori a qualcosa. Appena l'attrito svanisce o il fermo che ti teneva viene tolto ruzzoli via ma non ho mica generato un campo conservativo con le mie mani.
Ok si, ho capito il concetto. Nel tuo esempio forse si potrebbe spiegare con una forza elastica, dovuta alla "tensione" crescente dei muscoli, all'aumentare della forza applicata, o all'elasticità dei materiali a cui mi aggrappo, ecc. E la forza elastica è conservativa. Comunque credo di aver capito il concetto.
Nel caso ideale della spira percorsa da corrente e immersa in un campo magnetico, l'approssimazione grazie alla quale, si può parlare di "energia potenziale magnetica" è che il campo magnetico esterno sia costante in tutta la regione di spazio occupato dalla spira, ovvero linee di forza sempre rette parallele ed equispaziate. Cosa che non è possibile dato che le linee di forza del campo magnetico sono curve, e sempre chiuse.
Il campo magnetico non può essere costante in un dato volume, giusto?
Ma se il magnete è un pianeta come la terra, è chiaro che si possono approssimare le linee di forza, come se fossero rette parallele, ad una certa distanza. Anche se di fatto non lo sono.
Stessa cosa per i magneti permanenti. Si può notare una certa conservazione, solo se i due magneti sono davvero molto vicini, e quindi le linee di forza, tra i due magneti si possono approssimare come quasi rette parallele.
Quindi, forse si può concludere che il campo magnetico non è mai conservativo. Ma che, in alcune particolari condizioni ideali, si può approssimare come tale, come nel caso in cui si definisce l'energia potenziale magnetica. Ma è sempre una approssimazione.
Grazie di tutto... scusa ma intuitivamente non riuscivo a spiegarmi alcuni fenomeni sperimentali, apparentemente in contrasto con la teoria.
Grazie ancora!!!
In realtà l'unico caso in cui puoi provare a calcolare un potenziale scalare del campo magnetico è nel caso in cui stai osservando una piccola zona con densità di corrente nulla in modo che la quarta eq di Maxwell dia zero. Per il resto io credo tu stia distorcendo la teoria solo per convalidare una tua idea ed è la cosa più sbagliata che si può fare. Devi essere consapevole di quando l'idealitá ha senso o no. Nel mio esempio la forza elastica non spiega nulla perché mentre ti spingono e tu ti opponi stiamo bruciando calorie , ci stiamo stancando e non è che ci ritorna la pancia piena quando inizi a cadere per la spinta. Come per la forza magnetica che comunque agisce deformando e sollecitando l'altro magnete che tieni fermo, seppur in piccola scala. Per il resto certo, un campo uniforme ha tutte le derivate nulle quindi ha un rotore che più zero non si può ma siamo di nuovo nel caso in cui stiamo tendendo la realtà per favorire una nostra idea. Matematicamente puoi fare quello che vuoi, definire tutti i potenziali che vuoi ed approssimare più o meno bene il fenomeno. Ma il campo magnetico resta non conservativo. E non ho più nulla da aggiungere su questa cosa (cit Forrest Gump )
)
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