Cono e momento angolare
Salve a tutti, avrei bisogno di una mano per risolvere il seguente problema di fisica 1.
Un cono di altezza h e raggio di base R è libero di ruotare attorno ad un'asse fisso verticale. sulla sua superficie è praticata una scanalatura, come mostrato in figura. il cono è messo in rotazione con velocità angolare w0, ed un piccolo corpo di massa m è lasciato scivolare senza attrito, con velocità iniziale nulla, dal vertice del cono lungo la scanalatura. I0 denoti il momento d'inerzia del cono rispetto all'asse di rotazione. determinare la velocità angolare del cono e la velocità del corpo quando esso arriva a terra.
dal testo, immagino si conservino momento angolare, energia. Va risolto semplicemente in questo modo?
$ { ( I0w0=mvr+I0w' ),( 1/2Iw'^2 + 1/2mv^2 -1/2Iw0^2=mgh ):} $
spero possiate darmi una mano, intanto grazie mille in anticipo
Un cono di altezza h e raggio di base R è libero di ruotare attorno ad un'asse fisso verticale. sulla sua superficie è praticata una scanalatura, come mostrato in figura. il cono è messo in rotazione con velocità angolare w0, ed un piccolo corpo di massa m è lasciato scivolare senza attrito, con velocità iniziale nulla, dal vertice del cono lungo la scanalatura. I0 denoti il momento d'inerzia del cono rispetto all'asse di rotazione. determinare la velocità angolare del cono e la velocità del corpo quando esso arriva a terra.
dal testo, immagino si conservino momento angolare, energia. Va risolto semplicemente in questo modo?
$ { ( I0w0=mvr+I0w' ),( 1/2Iw'^2 + 1/2mv^2 -1/2Iw0^2=mgh ):} $
spero possiate darmi una mano, intanto grazie mille in anticipo
Risposte
Quando il corpo raggiunge la base del cono, nel conservare la proiezione del momento angolare lungo l'asse di quest'ultimo, devi considerare solo la componente $\omega_1R$ della velocità del corpo tangente alla circonferenza di base del cono:
$[I_0\omega_0=(I_0+mR^2)\omega_1] rarr [\omega_1=...]$
Ovviamente, nel conservare l'energia meccanica, devi considerare anche la componente $v_1$ della velocità del corpo tangente alla scanalatura del cono:
$[1/2I_0\omega_0^2+mgh=1/2(I_0+mR^2)\omega_1^2+1/2mv_1^2] rarr [v_1=...]$
$[I_0\omega_0=(I_0+mR^2)\omega_1] rarr [\omega_1=...]$
Ovviamente, nel conservare l'energia meccanica, devi considerare anche la componente $v_1$ della velocità del corpo tangente alla scanalatura del cono:
$[1/2I_0\omega_0^2+mgh=1/2(I_0+mR^2)\omega_1^2+1/2mv_1^2] rarr [v_1=...]$
grazie mille per la risposta
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