Congelamento dell'acqua in un serbatoio
In un serbatoio contenente dell'acqua installato all'esterno in un clima freddo si è formato una lastra di ghiaccio in superficie dello spessore di 5,0 cm.. L'aria al di sopra del ghiaccio è alla temperatura di -10°C. Calcolate quanto ghiaccio si forma in cm/h sulla faccia inferiore della lastra di ghiaccio. Considerate una conducibilità terica e una massa volumica pari a 0,004 cal/(s cm °C) e 0,92 g/cm^3. Supponete inoltre che il calore non venga trasferito attraverso le pareti o il fondo del serbatoio.
Preciso fin da subito che ho già trovato come risolvere questo problema cercando su google, e ho inoltre capito leggendo la soluzione che devo abituarmi a fare uso degli strumenti di analisi matematica... fatto sta che vorrei chiarire qual è l'errore nel mio procedimento di risoluzione analitico.
In sostanza avevo pensato di calcolare quanto calore è necessario per generare un ulteriore strato di 5 cm, per poi ricavarmi il tempo impiegato e così la velocità di crescita:
$Q/(\Delta t) = (k A\Delta T)/D$
Dove D = 7,5 cm è la distanza media che il calore percorre, siccome lo strato di ghiaccio cresce da 5 cm a 10 cm.
A è la sezione orizzontale della lastra, k la conducibilità termica.
So che $Q = Lm$ dove L è il calore latente e m la massa.
Ovvero $Q = L\deltaAl$ dove $\delta$ è la densità e l lo spessore di 5 cm.
Perciò:
$\Delta t = (DL\delta l)/(k\Delta T)$
Dividendo 5 cm per questa quantità e moltiplicando per 3600 non ottengo tuttavia il valore riportato nel risulta, ovvero 0,4 cm/ h.
Grazie in anticipo a chi mi illuminerà
Risposte
Ciao NM8,
Non puoi ragionare con quella media perché vale solo per leggi lineari, devi semplicemente imporre che la potenza termica da sottrarre ad una data quantità di acqua per congelarla deve essere quella che si trasmette attraverso lo strato di ghiaccio che già c'è.
C'è da notare che la velocità di crescita del ghiaccio diminuisce sempre più man mano che lo spessore di ghiaccio cresce, visto che il ghiaccio crescendo aumenta l'isolamento tra l'ambiente esterno e l'acqua sotto il ghiaccio.
Tra l'altro bisogna fare attenzione perché quella velocità di crescita è un valore istantaneo, cioè vale per un certo spessore del ghiaccio e varia come detto man mano che lo strato di ghiaccio cresce: è vero che in un'ora, visto la bassa velocità di crescita dello spessore, lo spessore aumenta in pratica di 0.4 cm ma aumentando l'intervallo di tempo considerato la crescita non segue un andamento lineare.
Non puoi ragionare con quella media perché vale solo per leggi lineari, devi semplicemente imporre che la potenza termica da sottrarre ad una data quantità di acqua per congelarla deve essere quella che si trasmette attraverso lo strato di ghiaccio che già c'è.
C'è da notare che la velocità di crescita del ghiaccio diminuisce sempre più man mano che lo spessore di ghiaccio cresce, visto che il ghiaccio crescendo aumenta l'isolamento tra l'ambiente esterno e l'acqua sotto il ghiaccio.
Tra l'altro bisogna fare attenzione perché quella velocità di crescita è un valore istantaneo, cioè vale per un certo spessore del ghiaccio e varia come detto man mano che lo strato di ghiaccio cresce: è vero che in un'ora, visto la bassa velocità di crescita dello spessore, lo spessore aumenta in pratica di 0.4 cm ma aumentando l'intervallo di tempo considerato la crescita non segue un andamento lineare.
Ok, tutto chiaro 
ipotizzavo che l'errore stesse lì, ma non riuscivo a capirne appieno il motivo. Grazie!
ipotizzavo che l'errore stesse lì, ma non riuscivo a capirne appieno il motivo. Grazie!
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