Configurazioni di equilibrio relativo di un sistema
Buonasera a tutti, stavo provando a risolvere il seguente problema di meccanica razionale:
Nel piano \(\displaystyle Oxy \), che ruota con velocità angolare costante \(\displaystyle \omega \) attorno all’asse y verticale ascendente,si consideri il sistema materiale costituito da una lamina quadrata di massa m e lato l e da una sbarra omogenea GA di massa m e lunghezza $4l$ con un estremo nel baricentro G
della lamina (vedi figura).La lamina è vincolata a scorrere lungo l'asse x. Scelti come parametri lagrangiani l’ascissa x del baricentro G della lamina e l’angolo \(\displaystyle \theta \) che la sbarra GA forma con la parallela all’asse x e supposti i vincoli lisci, si chiede di determinare le configurazioni di equilibrio relativo del sistema.
Primo dubbio: dovrei calcolare l'equilibrio relativo.. rispetto a quale terna mobile? Io ho pensato che si intendesse il riferimento $G\xi\eta$ con \(\displaystyle \xi \) parallelo ed equiverso all'asse x ed \(\displaystyle \eta \) parallelo ed equiverso all'asse y. Ma in questo caso le configurazioni di equilibrio relativo della sbarra sarebbero banalmente $\theta = \frac{\pi}{2}$ e $\theta = \frac{3\pi}{2}$, mentre nelle soluzioni (senza procedimento) di cui dispongo, le configurazioni sarebbero: le prime due menzionate con $x=0$ e altre due con $x = -l\cos(\theta_1)$,$theta_1 = \arcsin(-\frac{g}{l})$ e con $x = -l\cos(\theta_2)$,$theta_2 = \pi-\theta_1$ (se $-1 < \frac{g}{l} < 1$) che non riesco a capire proprio da dove possano derivare. Anche considerando l'eventuale rotazione uniforme attorno all'asse $y$ (che non credo di dover considerare in quanto cerco l'equilibrio relativo), otterrei delle configurazioni che questa volta sono più simili a quelle delle soluzioni, ma con la dipendenza da $\omega$ che sembra invece non semplificarsi (giustamente, perchè dovrebbe?
).
PS: I punti hanno coordinate:
$G = (x,\frac{l}{2})$ , $G_1 = (x+2l\cos(\theta),\frac{l}{2}+2l\sin(\theta))$, $A = (x+4l\cos(\theta),\frac{l}{2}+4l\sin(\theta))$.
Qualcuno ha un suggerimento da darmi per risolvere questo problema? Vi ringrazio in anticipo! Buona serata.
Nel piano \(\displaystyle Oxy \), che ruota con velocità angolare costante \(\displaystyle \omega \) attorno all’asse y verticale ascendente,si consideri il sistema materiale costituito da una lamina quadrata di massa m e lato l e da una sbarra omogenea GA di massa m e lunghezza $4l$ con un estremo nel baricentro G
della lamina (vedi figura).La lamina è vincolata a scorrere lungo l'asse x. Scelti come parametri lagrangiani l’ascissa x del baricentro G della lamina e l’angolo \(\displaystyle \theta \) che la sbarra GA forma con la parallela all’asse x e supposti i vincoli lisci, si chiede di determinare le configurazioni di equilibrio relativo del sistema.
Primo dubbio: dovrei calcolare l'equilibrio relativo.. rispetto a quale terna mobile? Io ho pensato che si intendesse il riferimento $G\xi\eta$ con \(\displaystyle \xi \) parallelo ed equiverso all'asse x ed \(\displaystyle \eta \) parallelo ed equiverso all'asse y. Ma in questo caso le configurazioni di equilibrio relativo della sbarra sarebbero banalmente $\theta = \frac{\pi}{2}$ e $\theta = \frac{3\pi}{2}$, mentre nelle soluzioni (senza procedimento) di cui dispongo, le configurazioni sarebbero: le prime due menzionate con $x=0$ e altre due con $x = -l\cos(\theta_1)$,$theta_1 = \arcsin(-\frac{g}{l})$ e con $x = -l\cos(\theta_2)$,$theta_2 = \pi-\theta_1$ (se $-1 < \frac{g}{l} < 1$) che non riesco a capire proprio da dove possano derivare. Anche considerando l'eventuale rotazione uniforme attorno all'asse $y$ (che non credo di dover considerare in quanto cerco l'equilibrio relativo), otterrei delle configurazioni che questa volta sono più simili a quelle delle soluzioni, ma con la dipendenza da $\omega$ che sembra invece non semplificarsi (giustamente, perchè dovrebbe?
). PS: I punti hanno coordinate:
$G = (x,\frac{l}{2})$ , $G_1 = (x+2l\cos(\theta),\frac{l}{2}+2l\sin(\theta))$, $A = (x+4l\cos(\theta),\frac{l}{2}+4l\sin(\theta))$.
Qualcuno ha un suggerimento da darmi per risolvere questo problema? Vi ringrazio in anticipo! Buona serata.
Risposte
Imponendo l'equilibrio del sistema alla traslazione orizzontale:
Imponendo l'equilibrio dell'asta alla rotazione:
Insomma, il fatto che non compaia la velocità angolare è sicuramente un refuso.
$[m\omega^2x+m\omega^2(x+2lcos\theta)=0] rarr [x=-lcos\theta]$
Imponendo l'equilibrio dell'asta alla rotazione:
$[2m\omega^2lsin\theta(x+2lcos\theta)+2mglcos\theta=0] rarr [cos\theta(\omega^2lsin\theta+g)=0]$
Insomma, il fatto che non compaia la velocità angolare è sicuramente un refuso.
Ti ringrazio! Sicuramente è stato un'errore come dici tu.. infatti nell'energia potenziale bisogna considerare anche quella della forza di trascinamento centrifuga (conservativa perchè $\omega$ è costante). Comunque l'equilibrio è relativo alla terna $Oxy$ in rotazione rispetto alla terna fissa $O\xi\eta$ con $\eta$ parallelo ed equiverso all'asse $y$ mentre $\xi$ asse fisso ortogonale ad $\eta$, giusto?
"Luknik02":
Comunque l'equilibrio è relativo alla terna $Oxy$ in rotazione rispetto alla terna fissa $O\xi\eta$ ...
Certamente.
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