Condizioni funzione di Lyapunov

[stenford]

Studiando la funzione di Lyapunov ho trovato:
- nelle dispense date in classe (http://www.mat.unimi.it/users/antonio/m ... ccan_3.pdf)
- in una tesina (http://www.mat.unimi.it/users/penati/Te ... ssunto.pdf)
che trae spunto da [La Salle e Lefschetz “Stability by Lyapunov’s direct method with applications”]. Non sono riuscito a reperire il testo per ora quindi prendo la tesina come spunto.

In tali fonti ho trovato una formulazione "diversa" del noto teorema di lyapunov(oppure non le ho capite ).

Nelle dispense si dice:
Data una variabile dinamica $phi$ ameno $C^1$ ed un punto di equilibrio $bar(x) $ tale che :
i)$phi$ in un'intorno $U_0$ di $bar(x) $ ha minimo stretto in $bar(x) $
ii)La derivata di Lie in $U_0$ di $phi$ è non positiva
Allora $bar(x) $ è stabile nel futuro. {la stabilità asintotica non serve scriverla per la domanda}

In wikiuniversità ed altri libri di testo, oltre che ad esercitazione
-(https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_Lyapunov)
-(https://it.wikipedia.org/wiki/Stabilit%C3%A0_interna)
Per la funzione di Lyapunov non si richiede solo che abbia minimo stretto nel punto di equilibrio ma che sia anche definita positiva e che si annuli in tale punto!

Non capisco quale definizione è corretta , quale scorretta o nel caso quale è la più generale.

Ho provato a guardare la dimostrazione data nelle dispense, solo che non riesco a trovare alcun errore, inoltre ho notato che ovviamente a meno di traslazione se il teorema è verificato in base al fatto che $bar(x)$ sia un minimo stretto di $phi$ allora esiste una costante $c$(non si dovrebbero sballare gli altri conti come derivazione in quanto è una costante) t.c. $phi +c$ ha zero in $bar(x)$ ed è definita positiva(si alza la funzione con minimo in $bar(x)$) perciò se chiamo :
a) teorema dato nelle dispense con minimo stretto
b)teorema con $phi$ definita positiva

Allora a=>b ma non viceversa?

Più che altro non capisco se o sbaglio io o le dispense o se nel caso tale teorema fosse giusto perchè negli esercizi ci si riconduce sempre ad equazioni definite positive

Avete spunti o anche soluzioni?

[stenford]

Cercando altre dimostrazioni ho trovato questa in cui si fà riferimento alla definita positività della funzione di lyapunov , solo che non la adopera nella dimostrazione!!!(l'unica cosa che adopera è che vi sia minimo stretto e derivata lie negativa)
http://control.ee.ethz.ch/~apnoco/Lectu ... apunov.pdf pag 4
dimostrazione molto simile a quella delle dispense

Sinceramente non capisco
Qualcuno ha qualche idea o fonte da consultare???

edit: in effetti nelle dispense si enunciano le variabili dinamiche e non una funzione di lyapunov. Ma una tale funzione è per definizione anche una variabile dinamica no?

inoltre è possibile che semplicemente si richieda la definita positività e l'annullarsi nel punto perchè è il metodo più semplice per trovare una funzione con minimo stretto(meno calcoli e più visualizzabile) tra tutte le funzioni di lyap possibili?