Condensatori e potenziale messi a terra (domanda sparita)
C'era una domanda molto interessante, o almeneno a per me lo era 
che era rimasta aperta con un ottimo intervento di mgrau. Immancabilmente è sparita nel buco nero del salto indietro di un mese del sito ma leggendo un intervento poco più in basso mi è tornata alla mente.
Provo a riproporla sperando qualcuno possa intervenire tra @mgrau e @RenzoDF che so essere gli addetti a questo tipo di questioni
(o chiunque ne abbia voglia)
Passando al dunque la domanda era su configurazioni del genere
1) Prendiamo due condensatori piani a facce parallele in serie carichi Q e staccati da qualunque generatore, sono quindi in equilibrio e colleghiamo la parte costituita dalle due armature interne a terra. Il potenziale di questo tratto di conduttore assume potenziale della terra (cioè l'arbitrario valore zero).
Tuttavia nessuna carica si è spostata, come è possibile quindi che cambi il potenziale se esso è definito dalla sola distribuzione di cariche
$V=1/(4pi\epsilon_0)\int_Sigma(sigma(r))/rdSigma+k$, questa soluzione non cambia quindi dovrebbe valere ancora eppure dà un risultato diverso e questo mi stupisce e non lo comprendo.
2) Mgrau aveva portato un esempio simile dicendo proviamo a collegare a terra il centro di un condensatore sferico caricato sul corpo interno di -q e superficie interna del conduttore esterno +q. Abbiamo qui lo stesso problema di prima poiché nessuna carica si muove (rimane l'induzione completa) però il potenziale del corpo interno assume il medesimo valore della terra.
Tuttavia qui avrei una domanda aggiuntiva. Se anziché collegare il corpo interno a terra lo collegassi a un corpo carico |+Q|>>|-q| rimarrebbe comunque in induzione completa o qualche carica si sposterebbe dall'interno al corpo carico +Q esterno aggiuntivo cui lo collego?
che era rimasta aperta con un ottimo intervento di mgrau. Immancabilmente è sparita nel buco nero del salto indietro di un mese del sito ma leggendo un intervento poco più in basso mi è tornata alla mente.Provo a riproporla sperando qualcuno possa intervenire tra @mgrau e @RenzoDF che so essere gli addetti a questo tipo di questioni
(o chiunque ne abbia voglia)Passando al dunque la domanda era su configurazioni del genere
1) Prendiamo due condensatori piani a facce parallele in serie carichi Q e staccati da qualunque generatore, sono quindi in equilibrio e colleghiamo la parte costituita dalle due armature interne a terra. Il potenziale di questo tratto di conduttore assume potenziale della terra (cioè l'arbitrario valore zero).
Tuttavia nessuna carica si è spostata, come è possibile quindi che cambi il potenziale se esso è definito dalla sola distribuzione di cariche
$V=1/(4pi\epsilon_0)\int_Sigma(sigma(r))/rdSigma+k$, questa soluzione non cambia quindi dovrebbe valere ancora eppure dà un risultato diverso e questo mi stupisce e non lo comprendo.
2) Mgrau aveva portato un esempio simile dicendo proviamo a collegare a terra il centro di un condensatore sferico caricato sul corpo interno di -q e superficie interna del conduttore esterno +q. Abbiamo qui lo stesso problema di prima poiché nessuna carica si muove (rimane l'induzione completa) però il potenziale del corpo interno assume il medesimo valore della terra.
Tuttavia qui avrei una domanda aggiuntiva. Se anziché collegare il corpo interno a terra lo collegassi a un corpo carico |+Q|>>|-q| rimarrebbe comunque in induzione completa o qualche carica si sposterebbe dall'interno al corpo carico +Q esterno aggiuntivo cui lo collego?
Risposte
Una domanda: se, senza collegare a "terra" nulla, immaginiamo di avvicinare le due armature centrali fino a farle sovrapporre e poi ci allontaniamo ad una distanza molto maggiore delle loro dimensioni, come "vediamo" o meglio, possiamo approssimare, la loro geometria"?
Direi che nei due estremi sono un piano e un filo?
Se ho capito la tua domanda
Se ho capito la tua domanda
Volevo portarti a pensare a tre conduttori, quasi puntiformi, con quello centrale a carica nulla e i laterali a cariche opposte +q e -q; diciamo tre piccole sfere di raggio r, che per semplicità ipotizziamo uguali e ugualmente spaziate.
Assunto nullo il potenziale all'infinito quale sarà il potenziale delle tre sfere?
Assunto nullo il potenziale all'infinito quale sarà il potenziale delle tre sfere?
Essendo nulla la sfera centrale dovrei considerare solo le sfere agli estremi credo. Quindi scriverei: per la singola sfera $1/(4piepsilon_0)q/r$ prendendo un sdr centrato nella sfera centrale e immaginando senza togliere alla generalità del problema una carica -q a sinistra dell'origine avrei quindi sull'asse che collega le sue sfere: $1/(4piepsilon_0)q(-1/(sqrt((x+d)^2))+1/(sqrt((x-d)^2)))$ (con +d e -d distanza dal centro delle cariche)
Quindi nell'origine è già nullo e attaccare la terra non modifica nulla (se la terra è nulla -vedere domanda qui sotto) vista così.
Però se l'allacciamento a terra avvenisse non nel centro tra le due cariche estreme non funzionerebbe più
Qui si apre però una sottodomanda che tra l'altro era proprio stata discussa in quel thread, in realtà da quanto avevo capito il potenziale nullo scelto arbitrario della terra non dovrebbe essere coerente con il nullo "a infinito" giusto? Quindi in realtà al centro ho potenziale nullo dato dalla somma delle due cariche a dx e sx dell'origine ma al centro ho una sferetta (che approssima l'attacco a terra) a potenziale non nullo ma a potenziale della terra.
Anche perché calcolando il potenziale della terra risulta avere V non nullo ponendo a infinito potenziale nullo.
Mi sembra però di capire, leggendo il tuo suggerimento, che invece la scelta di potenziale nullo della terra sia coerente con potenziale nullo a infinito.
Quindi nell'origine è già nullo e attaccare la terra non modifica nulla (se la terra è nulla -vedere domanda qui sotto) vista così.
Però se l'allacciamento a terra avvenisse non nel centro tra le due cariche estreme non funzionerebbe più
Qui si apre però una sottodomanda che tra l'altro era proprio stata discussa in quel thread, in realtà da quanto avevo capito il potenziale nullo scelto arbitrario della terra non dovrebbe essere coerente con il nullo "a infinito" giusto? Quindi in realtà al centro ho potenziale nullo dato dalla somma delle due cariche a dx e sx dell'origine ma al centro ho una sferetta (che approssima l'attacco a terra) a potenziale non nullo ma a potenziale della terra.
Anche perché calcolando il potenziale della terra risulta avere V non nullo ponendo a infinito potenziale nullo.
Mi sembra però di capire, leggendo il tuo suggerimento, che invece la scelta di potenziale nullo della terra sia coerente con potenziale nullo a infinito.
Oddio forse ho sbagliato, quello è se fossero disconnesse e nel vuoto. Ma essendo tutte collegate ed essendo un conduttore unico devono essere tutte equipotenziali.
"massimino's":
... Però se l'allacciamento a terra avvenisse non nel centro tra le due cariche estreme non funzionerebbe più ...
Certo, il potenziale della centrale rispetto all'infinito non sarebbe nullo, ma la sua carica sarebbe comunque nulla e andandola poi a collegare "a terra", ovvero ad un ideale ipotetico conduttore di dimensioni infinite, cosa cambierebbe?
"massimino's":
... da quanto avevo capito il potenziale nullo scelto arbitrario della terra non dovrebbe essere coerente con il nullo "a infinito" giusto? ...
Certo che è coerente con il potenziale nullo dell'infinito, visto che la "terra" ideale, ha dimensioni infinite.
Bisogna stare attenti a non confondere la "terra" ideale con quella che abbiamo sotto i piedi, sono due "oggetti" completamente distinti.
E' chiaro poi che se vogliamo provare a realizzare praticamente l'esperimento dei due condensatori collegando alla reale terra (che sempre conduttore è) il centrale dei due condensatori, dovremo considerare anche le capacità parassite che verranno a crearsi fra le armature laterali e la terra stessa, che potranno cambieranno le carte in tavola, ma questo è un'altro paio di maniche.
Credo ci sia ancora qualcosa che mi sfugge, vediamo se riesco a spiegarlo.
Partiamo da primadi collegare a terra: sistema carico e staccato da tutto.
Sappiamo che il potenziale per definizione dipende dalla distribuzione spazialedi cariche. Mi hai fatto considerare il problema dei due condensatori in modo semplificatocome due sferette agli estremi di un filo e calcolarne il potenziale è facile dalla definizione con potenziale a infinito nullo $V=1/(4piepsilon_0)q/r$
Questo in qualunque punto r nello spazio.
Le due sfere sono però messe in collegamento da un filo, quindi non posso usare il principio di sovrapposizione e sommare $V=1/(4piepsilon_0)q/r$ delle due sfere in un punto r del filo, infatti $V=1/(4piepsilon_0)q/r_1-1/(4piepsilon_0)q/r_2$ vale in un punto dello spazio vuoto ma io sono nel conduttore filo.
La cosa strana è però questa: essendo sferette e filo un conduttore unico ed essendo in condizione di equilibrio non dovrei avere campo nullo? Quindi il potenziale è identico in tutto il sistema.
Eppure a me sembra di avere due potenziali diversi ai capi delfilo perché ho il potenziale di una sfera carica +q e l'altra carica -q
Partiamo da primadi collegare a terra: sistema carico e staccato da tutto.
Sappiamo che il potenziale per definizione dipende dalla distribuzione spazialedi cariche. Mi hai fatto considerare il problema dei due condensatori in modo semplificatocome due sferette agli estremi di un filo e calcolarne il potenziale è facile dalla definizione con potenziale a infinito nullo $V=1/(4piepsilon_0)q/r$
Questo in qualunque punto r nello spazio.
Le due sfere sono però messe in collegamento da un filo, quindi non posso usare il principio di sovrapposizione e sommare $V=1/(4piepsilon_0)q/r$ delle due sfere in un punto r del filo, infatti $V=1/(4piepsilon_0)q/r_1-1/(4piepsilon_0)q/r_2$ vale in un punto dello spazio vuoto ma io sono nel conduttore filo.
La cosa strana è però questa: essendo sferette e filo un conduttore unico ed essendo in condizione di equilibrio non dovrei avere campo nullo? Quindi il potenziale è identico in tutto il sistema.
Eppure a me sembra di avere due potenziali diversi ai capi delfilo perché ho il potenziale di una sfera carica +q e l'altra carica -q
"massimino's":
... Le due sfere sono però messe in collegamento da un filo, quindi non posso usare il principio di sovrapposizione e sommare $V=1/(4piepsilon_0)q/r$ delle due sfere in un punto r del filo, infatti $V=1/(4piepsilon_0)q/r_1-1/(4piepsilon_0)q/r_2$ vale in un punto dello spazio vuoto ma io sono nel conduttore filo. ...
Abbiamo ipotizzato che le due sfere centrali vadano idealmente quasi a sovrapporsi in un'unica sfera, quindi quello da te indicato possiamo considerarlo il potenziale di quel conduttore, una volta preso come potenziale di riferimento a zero quello all'infinito. Come ben sai il potenziale è definito a meno di una costante, quindi non è "assoluto", ma "relativo".
"massimino's":
... La cosa strana è però questa: essendo sferette e filo un conduttore unico ed essendo in condizione di equilibrio non dovrei avere campo nullo? Quindi il potenziale è identico in tutto il sistema. ...
Certo che sì, il campo interno a quel conduttore sarà nullo, e il suo potenziale costante.
"massimino's":
... Eppure a me sembra di avere due potenziali diversi ai capi delfilo perché ho il potenziale di una sfera carica +q e l'altra carica -q
Non ai capi del filo, i potenziali delle due sfere esterne saranno diversi da quello della sfera centrale e quindi esisteranno due differenze di potenziale pari (in valore assoluto) a Q/C1 e a Q/C2, fra sfere laterali e sfera centrale.
Ahhh caspita, ok avevo capito male la configurazione, ho riguardato tutto ed ora mi torna meglio.
C'è però un punto che mi perplime un po', nel senso che noi abbiamo davvero deformato tanto il sistema iniziale, non è un po' snaturato?
Insomma che funzioni per tre sferette non vuol dire che funzioni anche per condensatore e filo.
Ad esempio io potrei anche prendere due condensatori a distanza praticamente infinita tanto che il contributo delle sferette sulla sfera centrale sarebbe trascurabile o ancora mettere un filo ad angolo tra due contensatori
C'è però un punto che mi perplime un po', nel senso che noi abbiamo davvero deformato tanto il sistema iniziale, non è un po' snaturato?
Insomma che funzioni per tre sferette non vuol dire che funzioni anche per condensatore e filo.
Ad esempio io potrei anche prendere due condensatori a distanza praticamente infinita tanto che il contributo delle sferette sulla sfera centrale sarebbe trascurabile o ancora mettere un filo ad angolo tra due contensatori
"massimino's":
... C'è però un punto che mi perplime un po', nel senso che noi abbiamo davvero deformato tanto il sistema iniziale, non è un po' snaturato? ...
Lo ho voluto fare per semplificare la geometria, ma la sostanzia non cambierebbe, diverrebbe solo più complessa.
"massimino's":
... Insomma che funzioni per tre sferette non vuol dire che funzioni anche per condensatore e filo. ...
Certo che sì, la sfera centrale puoi vederla come due semisfere collegate da un filo di lunghezza infinitesima.
"massimino's":
... Ad esempio io potrei anche prendere due condensatori a distanza praticamente infinita tanto che il contributo delle sferette sulla sfera centrale sarebbe trascurabile o ancora mettere un filo ad angolo tra due contensatori
Infinito a parte, certo, ci potremo mettere anche il Presidente Conte, per sostituire il filo di connessione, ma credimi non cambierebbero nulla; la pratica parlamentare insegna.
"RenzoDF":
Infinito a parte, certo, ci potremo mettere anche il Presidente Conte, per sostituire il filo di connessione, ma credimi non cambierebbero nulla; la pratica parlamentare insegna.
(questa è stupenda) no ma sono certo funzioni se lo dici tu non ho proprio dubbi.
Solo che non riesco mica tanto a vederlo come risultato di $V=1/(4pi\epsilon_0)\int_Sigma(sigma(r))/rdSigma$ (*) o meglio nel nostro semplice caso di una sovrapposizione di $1/(4piepsilon_0)q/r$. Perchè non capisco come applicare a geometrie diverse da quella di tre sfere. Se ho un angolo nel filo mi sonquassa tutti i ragionamenti eppure il potenziale deve smpre nascere da (*) questa formula
. Tu che dici? 
Mi potresti fare un disegno di questo filo ad angolo che non riesco a visualizzare?
Certo che il potenziale esce da quella formula, ma ti ricordo che per un condensatore hai due distribuzioni di carica uguale e opposta, "vicinissime" fra loro.
Certo che il potenziale esce da quella formula, ma ti ricordo che per un condensatore hai due distribuzioni di carica uguale e opposta, "vicinissime" fra loro.
Si certo con piacere :
intendevo una cosa del genere che non capisco come possa ridursi a tre sfere allineate e calcolarle con il potenziale suddetto
:
intendevo una cosa del genere che non capisco come possa ridursi a tre sfere allineate e calcolarle con il potenziale suddetto
$V=1/(4pi\epsilon_0)\int_Sigma(sigma(r))/rdSigma$ (*) o meglio nel nostro semplice caso di una sovrapposizione di $1/(4piepsilon_0)q/r$
Se accorci quei due fili ad angolo, manco lo vedi l'angolo.
Scherzi a parte, secondo te cambia qualcosa se raddrizzi quell'angolo e se ruoti i due condensatori per allinearili?
Ti ricordo che normalmente si considerano le due armature abbastanza vicine da poter trascurare l'effetto di bordo; perché se vogliamo considerare anche quello, ovvero la presenza di un campo anche esternamente allo spazio fra le armature, è chiaro che le cose cambiano e di certo non possiamo affrontare il problema analiticamente ma solo numericamente [nota]Se vuoi posso farti vedere com'è la sua distribuzione per quella geometria, ma solo via simulazione numerica agli elementi finiti.[/nota].
Scherzi a parte, secondo te cambia qualcosa se raddrizzi quell'angolo e se ruoti i due condensatori per allinearili?
Ti ricordo che normalmente si considerano le due armature abbastanza vicine da poter trascurare l'effetto di bordo; perché se vogliamo considerare anche quello, ovvero la presenza di un campo anche esternamente allo spazio fra le armature, è chiaro che le cose cambiano e di certo non possiamo affrontare il problema analiticamente ma solo numericamente [nota]Se vuoi posso farti vedere com'è la sua distribuzione per quella geometria, ma solo via simulazione numerica agli elementi finiti.[/nota].
Ok, si, mi hai del tutto convinto. E sì ovviamente vivo nel "bellissimo" mondo ideale di senza effetti di bordo
Mi piacerebbe infine analizzare l'altra domanda di apertura (so che mi odierai):
Per farlo vorrei prima considerare una situzione del genere, prendo un unico condensatore a facce piane e lo carico Q. Collego poi una delle due armature a terra. So che in questo caso non ho migrazione di cariche da e verso la terra dall'armatura. La cosa che non capisco è il perché, dato che in teoria ho due corpi a potenziale diverso (armatura e terra) e quindi dovrebbe sussistere un moto di cariche.
Inoltre so che dopo ilcollegamento l'armatura assume potenziale nullo, però anche qui: perché? Nessuna carica si è mossa e quindi la distribuzione è la stessa. Posso forse fare qualche giochetto tipo con le 3 sfere di prima?
PS:
Beh anche tu se mi indichi il rabbit hole, ovvio che dico sì
Mi piacerebbe infine analizzare l'altra domanda di apertura (so che mi odierai
):2) Mgrau aveva portato un esempio simile dicendo proviamo a collegare a terra il centro di un condensatore sferico caricato sul corpo interno di -q e superficie interna del conduttore esterno +q. Abbiamo qui lo stesso problema di prima poiché nessuna carica si muove (rimane l'induzione completa) però il potenziale del corpo interno assume il medesimo valore della terra.
Tuttavia qui avrei una domanda aggiuntiva. Se anziché collegare il corpo interno a terra lo collegassi a un corpo carico |+Q|>>|-q| rimarrebbe comunque in induzione completa o qualche carica si sposterebbe dall'interno al corpo carico +Q esterno aggiuntivo cui lo collego?
Per farlo vorrei prima considerare una situzione del genere, prendo un unico condensatore a facce piane e lo carico Q. Collego poi una delle due armature a terra. So che in questo caso non ho migrazione di cariche da e verso la terra dall'armatura. La cosa che non capisco è il perché, dato che in teoria ho due corpi a potenziale diverso (armatura e terra) e quindi dovrebbe sussistere un moto di cariche.
Inoltre so che dopo ilcollegamento l'armatura assume potenziale nullo, però anche qui: perché? Nessuna carica si è mossa e quindi la distribuzione è la stessa. Posso forse fare qualche giochetto tipo con le 3 sfere di prima?
PS:
Se vuoi posso farti vedere com'è la sua distribuzione per quella geometria, ma solo via simulazione numerica agli elementi finiti.
Beh anche tu se mi indichi il rabbit hole, ovvio che dico sì
"massimino's":
... La cosa che non capisco è il perché, dato che in teoria ho due corpi a potenziale diverso (armatura e terra) e quindi dovrebbe sussistere un moto di cariche ....
Ma dimmi, a che potenziale si trovava quell'armatura prima del collegamento a terra?
La mia idea era sempre di calcolarla con $V=1/(4pi\epsilon_0)\int_Sigma(sigma(r))/rdSigma$, quindi dipende dalla geometria.
Se no, approssimando a sfera, la solita $V=1/kq/r$ più il contributo dell'altra.
Se no, approssimando a sfera, la solita $V=1/kq/r$ più il contributo dell'altra.
"massimino's":
La mia idea era sempre di calcolarla con $V=1/(4pi\epsilon_0)\int_Sigma(sigma(r))/rdSigma$, quindi dipende dalla geometria. ....
E immaginando di applicarla al punto P,
a che potenziale porterebbe?
Beh essendo un conduttore unico filo e armatura direi che il punto P ha lo stesso potenziale dell'armatura.
Però non ho ben capico il legame col mio dubbio, perché se nel punto P ci fosse la terra sappiamo che essa ha potenziale nullo $lim_(R->oo)1/(4piepsilon_0)q/R=0$. E mi sembra diverso dal potenziale dell'armatura e quindi immaginavo un moto di cariche!
Io cercavo di capire perché collegando così un corpo all armatura di dx non succedesse che la carica sull' armatura di dx migra sul corpo carico (anche positivamente):
Però non riesco a vederlo tramite quella formula che suggerisci, per quello pensavo si potesse approssimare di nuovo a unico conduttore il corpo e l'armatura (similmente al caso dei due condensatori in serie in cui avvicino le armature centrali).
In poche parole pensavo di fare come mi hai detto per i due condensatori e dire: una armatura è una sferetta e l'altra armatura assieme al corpo carico cui la connetto con un filo è l'altra sfera. Per calcolare il potenziale su quella armatura di dx predo la sfera di sx e calcolo il potenziale nel punto di della sfera dx più il potenziale della armatura destra assieme al corpo (che è una sfera di carica q' diversa da Q poiché è la somma di q-Q di corpo meno armatura).
E' corretto?
Però non ho ben capico il legame col mio dubbio, perché se nel punto P ci fosse la terra sappiamo che essa ha potenziale nullo $lim_(R->oo)1/(4piepsilon_0)q/R=0$. E mi sembra diverso dal potenziale dell'armatura e quindi immaginavo un moto di cariche!
Io cercavo di capire perché collegando così un corpo all armatura di dx non succedesse che la carica sull' armatura di dx migra sul corpo carico (anche positivamente):
Però non riesco a vederlo tramite quella formula che suggerisci, per quello pensavo si potesse approssimare di nuovo a unico conduttore il corpo e l'armatura (similmente al caso dei due condensatori in serie in cui avvicino le armature centrali).
In poche parole pensavo di fare come mi hai detto per i due condensatori e dire: una armatura è una sferetta e l'altra armatura assieme al corpo carico cui la connetto con un filo è l'altra sfera. Per calcolare il potenziale su quella armatura di dx predo la sfera di sx e calcolo il potenziale nel punto di della sfera dx più il potenziale della armatura destra assieme al corpo (che è una sfera di carica q' diversa da Q poiché è la somma di q-Q di corpo meno armatura).
E' corretto?
Scusa ma se come detto ipotizziamo condensatori ideali e quindi con armature molto vicine e con densità di carica esclusivamente sulle due superfici affacciate delle stesse, la relazione integrale da te indicata a che valore di potenziale potrà portare in P, ad una distanza molto più grande di quella fra le armature?
Esiste campo elettrico esternamente alle armature?
La risposta a queste domande può essere utile per analizzare il caso dei due condensatori in serie del post iniziale del thread?
Esiste campo elettrico esternamente alle armature?
La risposta a queste domande può essere utile per analizzare il caso dei due condensatori in serie del post iniziale del thread?
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