Condensatore riempito di liquido
Ciao a tutti, vorrei proporvi un esercizio di elettrostatica:
Si consideri un condensatore piano con armature quadrate di lato $a$ e distanti tra loro $d$.
(a) Si determini la carica e l'energia immagazzinata nel condensatore quando si applica una differenza di potenziale \(\displaystyle \Delta V \).
Allora, la capacità di un condensatore piano è data da \(\displaystyle C=\epsilon_0S/d \), dove nel mio caso \(\displaystyle S=a^2 \).
Quindi, dalla relazione \(\displaystyle q=C\Delta V \) ottengo \[\displaystyle q=\frac{\epsilon_0a^s\Delta V}{d}, \qquad \Rightarrow \qquad \mathcal{U}=\frac{1}{2}\frac{\epsilon_0a^s\Delta V^2}{d}. \] (b) Mantenendo la stessa differenza di potenziale, si introduce nel condensatore un fluido di costante elettrica \(\displaystyle \epsilon_r \). Determinare i nuovi valori di carica e di energia se il liquido raggiunge un'altezza di \(\displaystyle x=a/2 \).
Penso di poter considerare questa situazione come due condensatori in parallelo; dunque, si ha \(\displaystyle C_1=\epsilon_0(a/2)^2/d \) e \(\displaystyle C_2=\epsilon_0\epsilon_r(a/2)^2/d \), che sommate danno \[\displaystyle C_{eq}=C_1+C_2=\epsilon_0\frac{a^2}{4d}(1+\epsilon_r). \] Dal momento che la tensione è rimasta invariata, la carica libera totale è ora \(\displaystyle q=C_eq\Delta V \) e l'energia corrispondente è sempre data da \(\displaystyle \mathcal{U}=q\Delta V/2 \). Tuttavia non essendoci una figura non sono sicuro di come sia messo il liquido all'interno, potrebbe essere anche completamente a ridosso di una delle armature, così da comportarsi come un condensatore in serie...
(c) Assumendo di conoscere la densità \(\displaystyle \rho \) del liquido, determinare la differenza di altezza $h$ del dielettrico tra la superficie interna ed esterna del condensatore.
Questa proprio mi sfugge completamente. Voi sapete indicarmi bene cos'è $h$?
Si consideri un condensatore piano con armature quadrate di lato $a$ e distanti tra loro $d$.
(a) Si determini la carica e l'energia immagazzinata nel condensatore quando si applica una differenza di potenziale \(\displaystyle \Delta V \).
Allora, la capacità di un condensatore piano è data da \(\displaystyle C=\epsilon_0S/d \), dove nel mio caso \(\displaystyle S=a^2 \).
Quindi, dalla relazione \(\displaystyle q=C\Delta V \) ottengo \[\displaystyle q=\frac{\epsilon_0a^s\Delta V}{d}, \qquad \Rightarrow \qquad \mathcal{U}=\frac{1}{2}\frac{\epsilon_0a^s\Delta V^2}{d}. \] (b) Mantenendo la stessa differenza di potenziale, si introduce nel condensatore un fluido di costante elettrica \(\displaystyle \epsilon_r \). Determinare i nuovi valori di carica e di energia se il liquido raggiunge un'altezza di \(\displaystyle x=a/2 \).
Penso di poter considerare questa situazione come due condensatori in parallelo; dunque, si ha \(\displaystyle C_1=\epsilon_0(a/2)^2/d \) e \(\displaystyle C_2=\epsilon_0\epsilon_r(a/2)^2/d \), che sommate danno \[\displaystyle C_{eq}=C_1+C_2=\epsilon_0\frac{a^2}{4d}(1+\epsilon_r). \] Dal momento che la tensione è rimasta invariata, la carica libera totale è ora \(\displaystyle q=C_eq\Delta V \) e l'energia corrispondente è sempre data da \(\displaystyle \mathcal{U}=q\Delta V/2 \). Tuttavia non essendoci una figura non sono sicuro di come sia messo il liquido all'interno, potrebbe essere anche completamente a ridosso di una delle armature, così da comportarsi come un condensatore in serie...
(c) Assumendo di conoscere la densità \(\displaystyle \rho \) del liquido, determinare la differenza di altezza $h$ del dielettrico tra la superficie interna ed esterna del condensatore.
Questa proprio mi sfugge completamente. Voi sapete indicarmi bene cos'è $h$?
Risposte
In effetti non è chiaro se le armature sono orizzontali -in serie- o verticali - in parallelo. In ogni caso ibtrodurre il dielettrico diminuisce l'energia del condensatore quindi il liquido viene risucchiato nel condensatore, il suo livello è più alto che fuori
Continua a non essermi molto chiara la situazione... il liquido viene messo nel condensatore e raggiunge una altezza $x$, e fin qua ci siamo. Ma all'esterno del condensatore che liquido c'è? Come faccio a capirne l'altezza? 
La situazione potrebbe essere questa, ipotizzando le armature verticali
Se sei in grado di calcolare l'energia del campo elettrico in funzione di $h$, poi, derivando rispetto allo spostamento verticale puoi trovare la forza con cui il liquido è attratto fra le armature
Se sei in grado di calcolare l'energia del campo elettrico in funzione di $h$, poi, derivando rispetto allo spostamento verticale puoi trovare la forza con cui il liquido è attratto fra le armature
Ok ti ringrazio, ora è più chiaro. Però ho difficoltà a mettere in pratica il suggerimento. Considerando la situazione in parallelo mi risulta difficile scrivere le capacità in funzione dello spostamento verticale $z$, non conoscendo l'altezza del condensatore... effettivamente avrebbe più senso immergere in orizzontale il condensatore, in modo che la forza esercitata dalle piastre attiri la superficie del liquido creando lo scompenso $h$. Ha senso?
"Nagato":
Considerando la situazione in parallelo mi risulta difficile scrivere le capacità in funzione dello spostamento verticale $z$, non conoscendo l'altezza del condensatore... effettivamente avrebbe più senso immergere in orizzontale il condensatore, in modo che la forza esercitata dalle piastre attiri la superficie del liquido creando lo scompenso $h$. Ha senso?
Veramente la geometria del condensatore è nota: è un quadrato di lato $a$ e distanza $d$. Però non ho fatto i calcoli, ed effettivamente può essere che che per esprimere l'energia in funzione di $h$ occorrano dei dati in più - che so, il livello base del liquido, per esempio. Magari colle armature messe in un modo occorrono, e nell'altro no...
Magari dico una cappellata, ma questo commento di mgrau
mi fa venire in mente che magari si può applicare la conservazione dell'energia (elettrostatica + potenziale di gravità) al posto di lavorare sulla forza.
PS: Non ho capito molto bene il ragionamento per cui la diminuzione di energia fa sì che il liquido venga risucchiato. Però prendendolo per vero mi verrebbe da fare così
"mgrau":
In ogni caso ibtrodurre il dielettrico diminuisce l'energia del condensatore quindi il liquido viene risucchiato nel condensatore, il suo livello è più alto che fuori
mi fa venire in mente che magari si può applicare la conservazione dell'energia (elettrostatica + potenziale di gravità) al posto di lavorare sulla forza.
PS: Non ho capito molto bene il ragionamento per cui la diminuzione di energia fa sì che il liquido venga risucchiato. Però prendendolo per vero mi verrebbe da fare così
"dRic":
PS: Non ho capito molto bene il ragionamento per cui la diminuzione di energia fa sì che il liquido venga risucchiato.
Perchè la forza è il gradiente del potenziale
Perdonami, ma non ho capito. Cioè a logica mi torna che il liquido venga risucchiato perché il campo nelle armature dovrebbe indurre polarizzazione nel mezzo ed essendo liquido esso si muoverà verso le lastre del condensatore, ma non ho capito il nesso con l'energia.
"dRic":
Perdonami, ma non ho capito. Cioè a logica mi torna che il liquido venga risucchiato perché il campo nelle armature dovrebbe indurre polarizzazione nel mezzo ed essendo liquido esso si muoverà verso le lastre del condensatore, ma non ho capito il nesso con l'energia.
Tu vuoi ragionare in termini di forze, ma in questo caso mi pare poco pratico.
In generale un sistema soggetto a forze conservative, come nel caso nostro, si trova in un equilibrio stabile nella configurazione a minore energia potenziale - pensa ad una biglia in una scodella. Magari nel caso della biglia è facile passare dal potenziale alla forza che tira la biglia verso il fondo; nel caso nostro è molto meno chiaro - anche se è sempre il gradiente del potenziale, non è ovvia l'origine della forza- , per cui, per me, è più semplice trovare per quale altezza del liquido l'energia potenziale - elettrica e gravitazionale - è minima, e quella sarà la configurazione di equilibrio.
Ciao a tutti, grazie per le vostre risposte. Mi trovo comunque un attimo in difficoltà a fare le cose nel concreto, ovvero come impostare il calcolo scrivendo le energie.
L'energia gravitazionale se non mi sbaglio dovrebbe essere \(\displaystyle E_g(z)=\rho ga d z^2 \); con quella elettrostatica non mi ci raccapezzo
L'energia gravitazionale se non mi sbaglio dovrebbe essere \(\displaystyle E_g(z)=\rho ga d z^2 \); con quella elettrostatica non mi ci raccapezzo
"Nagato":
L'energia gravitazionale se non mi sbaglio dovrebbe essere \(\displaystyle E_g(z)=\rho ga d z^2 \); con quella elettrostatica non mi ci raccapezzo
Mi pare che ci voglia un fattore 1/2 (l'altezza del CM del liquido è z/2).
L'energia elettrostatica è quella dei due condensatori in parallelo: uno con dielettrico e area delle armature $a*z$, l'altro in aria con area $a(a-z)$
Chiaro, grazie @mgrau.
Ciao, scusa per il ritardo. Vediamo un attimo: ho scritto l'energia potenziale del sistema come \[\displaystyle U_{tot}(z)=\frac{\rho g a d z^2 }{4}+\frac{\epsilon_0 a^2}{d}(\epsilon_r(a-z)^2+z^2),\] da cui derivando e ponendo uguale a zero ho l'equazione di equilibrio \[\displaystyle \frac{\rho g a d}{2}z+\frac{2\epsilon_0 a^2}{d}(z-\epsilon_r(a-z))=0, \quad \Rightarrow \quad z=\frac{4\epsilon a^2}{\rho g d^2+4a\epsilon_0(1+\epsilon_r)}. \] Ma ho ancora un dubbio: come trovo $h$ da qui?
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