Condensatore piano fra due sfere
Una sfera conduttrice di raggio 10cm porta una carica di $ 13mu C $ , mentre un'altra sfera conduttrice di raggio 120cm, distante 100m (così da poter trascurare l'induzione elettrostatica) porta una carica di $-70mu C$.
Ad un certo punto le sfere vengono collegate, tramite due fili di spessore e resistenza trascurabili, ciascuna ad una delle armature di un condensatore piano (A=2m^2) di capacità $2mu F$ avente una resistenza interna di 13 ohm.
Calcolare dopo quanto tempo la ddp fra le armature raggiunge il valore di 10V e determinare la densità di carica a regime sulle armature del condensatore.
Banalmente calcolo i potenziali iniziali delle due sfere tramite la formula $ V=Kc*Q/R $ e trovo così che
$ V1=1.17 MV " e " V2=0.53 MV $ .
Ora... le cariche delle due sfere sono di segno opposto e tenderanno ad avvicinarsi, depositandosi sulle distinte armature.
Ma tali cariche abbandonano del tutto le sfere?
E visto che i fili hanno resistenza trascurabile, lo spostamento è istantaneo?
Un'altra delle cose che mi rendono perplesso è il fatto che le cariche delle sfere non sono uguali e opposte, mentre quelle delle armature di un condensatore piano lo sono sempre.
Come posso impostare la risoluzione del problema?
Grazie in anticipo.
Ad un certo punto le sfere vengono collegate, tramite due fili di spessore e resistenza trascurabili, ciascuna ad una delle armature di un condensatore piano (A=2m^2) di capacità $2mu F$ avente una resistenza interna di 13 ohm.
Calcolare dopo quanto tempo la ddp fra le armature raggiunge il valore di 10V e determinare la densità di carica a regime sulle armature del condensatore.
Banalmente calcolo i potenziali iniziali delle due sfere tramite la formula $ V=Kc*Q/R $ e trovo così che
$ V1=1.17 MV " e " V2=0.53 MV $ .
Ora... le cariche delle due sfere sono di segno opposto e tenderanno ad avvicinarsi, depositandosi sulle distinte armature.
Ma tali cariche abbandonano del tutto le sfere?
E visto che i fili hanno resistenza trascurabile, lo spostamento è istantaneo?
Un'altra delle cose che mi rendono perplesso è il fatto che le cariche delle sfere non sono uguali e opposte, mentre quelle delle armature di un condensatore piano lo sono sempre.
Come posso impostare la risoluzione del problema?
Grazie in anticipo.
Risposte
"SalvatCpo":
... Ma tali cariche abbandonano del tutto le sfere?
Quanta carica andrà a spostarsi dalle sfere lo sapremo solo a calcoli conclusi.
"SalvatCpo":
... E visto che i fili hanno resistenza trascurabile, lo spostamento è istantaneo?
Visto che la resistenza non è nulla, diciamo quasi istantaneo.
"SalvatCpo":
... Un'altra delle cose che mi rendono perplesso è il fatto che le cariche delle sfere non sono uguali e opposte, mentre quelle delle armature di un condensatore piano lo sono sempre.
Possiamo modellare il sistema con una maglia formata dalla serie di tre condensatori, due dei quali inizialmente carichi alle tensioni uguali ai potenziali delle due sfere (visto che il potenziale all'infinito lo assumiamo nullo), il terzo scarico.
"SalvatCpo":
... Come posso impostare la risoluzione del problema?
La puoi impostare considerando la conservazione della carica: indicata con $q_x$ la carica che dalla prima sfera andrà a spostarsi su una armatura del condensatore piano (e di conseguenza andrà a muoversi dalla rimanente armatura alla sfera carica negativamente), potrai ricavarti $q_x$ andando ad uguagliare a zero la somma delle tre tensioni lungo la maglia.
La tua idea è intelligente, però non mi sembra coincidere con la situazione con cui abbiamo a che fare.
Le due sfere non sono collegate fra loro con un terzo filo per formare una maglia chiusa.
Inoltre mi chiedo dove dovrei inserire la resistenza interna del condensatore piano: è indifferente alla sua sinistra o alla sua destra?
"SalvatCpo":
La tua idea è intelligente
Per fortuna.
"SalvatCpo":
Le due sfere non sono collegate fra loro con un terzo filo per formare una maglia chiusa.
Benedetto infinito, tu che fai cadere in tentazioni
Leggi meglio il consiglio di RenzoDF
"RenzoDF":
andando ad uguagliare a zero la somma delle tre tensioni lungo la maglia.
Tensioni...
"SalvatCpo":
... Inoltre mi chiedo dove dovrei inserire la resistenza interna del condensatore piano: è indifferente alla sua sinistra o alla sua destra?
Se è interna, non la devi inserire ne a destra ne a sinistra, non credi?
BTW Siamo sicuri su quei dati? ... possiamo sapere qual è la provenienza del problema?
A questo punto deduco che la resistenza interna è sicuramente un dato superfluo per la risoluzione delle due domande dell'esercizio.
L'esercizio lo ha inventato sul momento il mio professore, a lezione.
Non mi è ancora chiaro perchè possiamo schematizzare il nostro sistema con una maglia chiusa.
Grazie ancora per il vostro aiuto.
L'esercizio lo ha inventato sul momento il mio professore, a lezione.
Non mi è ancora chiaro perchè possiamo schematizzare il nostro sistema con una maglia chiusa.
Grazie ancora per il vostro aiuto.
"SalvatCpo":
A questo punto deduco che la resistenza interna è sicuramente un dato superfluo per la risoluzione delle due domande dell'esercizio.
No, non è superflua, in quanto sarà attraverso quella resistenza che il condensatore si scaricherà, per raggiungere la tensione richiesta.
"SalvatCpo":
... L'esercizio lo ha inventato sul momento il mio professore, a lezione.
Ecco che allora si spiega il problema associato a quei dati [nota]Che con quel raggio R2 non ha soluzione, mentre l'avrebbe avuta con il raggio inizialmente indicato di 12 cm.[/nota]
"SalvatCpo":
... Non mi è ancora chiaro perchè possiamo schematizzare il nostro sistema con una maglia chiusa.
Semplicemente perché puoi vedere il sistema delle due sfere conduttrici come costituito da tre capacità: una C10 fra la prima sfera e l'infinito, una seconda C20 fra la seconda sfera e l'infinito, la terza come capacità C12 fra le due sfere.
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC C 0.5
FJC A 0.2
FJC B 0.2
EV 27 26 21 20 0
EV 70 29 58 17 0
MC 24 31 0 0 ey_libraries.pascap0
MC 64 34 0 0 ey_libraries.pascap0
MC 45 23 1 0 ey_libraries.pascap0
LI 22 44 26 44 0
LI 26 44 24 46 0
LI 24 46 22 44 0
TY 23 21 3 2 0 0 0 * 1
TY 63 21 3 2 0 0 0 * 2
LI 50 23 58 23 0
LI 35 23 27 23 0
LI 24 41 24 44 0
LI 62 44 66 44 0
LI 66 44 64 46 0
LI 64 46 62 44 0
TY 11 32 3 2 0 0 0 * C10
TY 50 34 3 2 0 0 0 * C20
TY 35 43 3 2 0 0 0 * infinito
TY 39 13 3 2 0 0 0 * C12[/fcd]
All'inserzione del condensatore piano C, avrai che questa capacità andrà rappresentata in parallelo alla C12 così come anche la sua resistenza interna R.
[fcd="fig.2"][FIDOCAD]
FJC C 0.5
FJC A 0.2
FJC B 0.2
EV 27 26 21 20 0
EV 70 29 58 17 0
MC 24 31 0 0 ey_libraries.pascap0
MC 64 34 0 0 ey_libraries.pascap0
MC 45 23 1 0 ey_libraries.pascap0
LI 22 44 26 44 0
LI 26 44 24 46 0
LI 24 46 22 44 0
TY 23 21 3 2 0 0 0 * 1
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LI 50 23 58 23 0
LI 35 23 27 23 0
LI 24 41 24 44 0
LI 62 44 66 44 0
LI 66 44 64 46 0
LI 64 46 62 44 0
TY 11 32 3 2 0 0 0 * C10
TY 51 36 3 2 0 0 0 * C20
TY 35 43 3 2 0 0 0 * infinito
TY 47 17 3 2 0 0 0 * C
MC 45 8 1 0 ey_libraries.pascap0
TY 47 1 3 2 0 0 0 * C12
MC 40 33 0 0 ey_libraries.pasres0
LI 35 8 32 8 0
LI 32 8 32 23 0
LI 50 8 53 8 0
LI 53 8 53 23 0
LI 50 23 50 33 0
LI 35 23 35 33 0
TY 41 36 3 2 0 0 0 * R[/fcd]
Ora, se la distanza fra le sfere è molto più grande del maggiore fra i raggi, la C12 risulta piccola rispetto alla C10 e alla C20, e puoi trascurarla, tanto più nel tuo caso, nel quale il condensatore C collegato alle due sfere ha una capacità diversi ordini di grandezza superiore a C12.
Ad ogni modo, se vuoi esercitarti (trovando una soluzione), prova a considerare r2=12 cm (e non 120 cm) e scrivi l'equazione alla maglia, al fine di determinare la carica $q_x$ che dalla sfera 1 va a trasferirsi sulla armatura sinistra di C, e di conseguenza la tensione iniziale su C, che poi andrà a scaricarsi con una discesa esponenziale caratterizzata da una costante di tempo $\tau\approx RC$; in queso modo potrai ricavare il tempo impiegato da vC per scendere dalla tensione iniziale ai 10 volt richiesti.
Allora... ho cambiato il dato del raggio della sfera grande a 100cm per semplificare i calcoli. Inoltre ho approssimato a 10^10 la costante di Coulomb. Per far quadrare le cose, ho cambiato la richiesta sul tempo per arrivare a 10V chiedendo quello per arrivare a 1V, visto che all'equilibrio il condensatore piano ha ddp=3.5V, molto più bassa di quel 10V.
Ho scritto delle equazioni che mi sembrano aver risolto il problema.
Innanzitutto la carica sull'armatura sx all'equilibrio è positiva ed è esattamente opposta a quella sull'armatura dx.
Nel sistema formato dalla sfera sinistra e dall'armatura sinistra la carica totale resta $ +13mu c $ .
Nel sistema formato dalla sfera destra e dall'armatura destra la carica totale resta $ -70mu c $ .
Poi la ddp fra le armature del condensatore, all'equilibrio, è il rapporto fra la carica sull'armatura (sinistra perchè è positiva) e la capacità (che è nota). Tale ddp è anche uguale alla ddp finale fra le due sfere (che hanno cariche diverse rispetto all'inizio).
Così ho trovato che sulla sfera sx restano $ +6mu c $ , sulle armature sx e dx si depositano $ +7mu c $ e $ -7mu c $ e infine sulla sfera destra restano $ -63mu c $ .
A questo punto è banale calcolare $ sigma =(7muC)/(2m^2)=3.5 (muC)/m^2 $ .
Quello che avviene al condensatore piano mi pare un processo di CARICA perchè all'inizio le armature sono vuote.
Quindi $ V=Vo(1-e^(-t/tau )) " dove " tau =R" interna"*" C"=26mus $ e dove $ V=1V " e " Vo=(7muC)/(2muF)=3.5V $ .
Risolvendo trovo $ t=9mus $ .
Ho seguito una via diversa da quella che mi hai indicato. Ma è corretta? @RenzoDF
No, il condensatore, come dicevo, si carica (quasi) istantaneamente [nota]Giusto per far capire gli ordini di grandezza, assumendo valida quella modellazione, dal punto di vista teorico, ipotizzando una resistenza serie di $1 \ \text{m}\Omega$, vista la capacita della serie di circa $10 \ \text{pF}$, avremo che la costante di tempo relativa alla carica di C sarà intorno ai $10 \ \text{fs}$, mentre la corrente di carica iniziale sarà dell'ordine dei $\text{GA}$.[/nota], vista la trascurabile resistenza serie, mentre si andrà a scaricare attraverso la resistenza interna R.
La KVL per il calcolo di $q_x$, assunti i positivi delle tensioni come in figura
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC C 0.5
FJC A 0.2
FJC B 0.2
EV 27 26 21 20 0
EV 70 29 58 17 0
MC 24 31 0 0 ey_libraries.pascap0
MC 64 34 0 0 ey_libraries.pascap0
MC 45 23 1 0 ey_libraries.pascap0
LI 22 44 26 44 0
LI 26 44 24 46 0
LI 24 46 22 44 0
TY 23 21 3 2 0 0 0 * 1
TY 63 21 3 2 0 0 0 * 2
LI 50 23 58 23 0
LI 35 23 27 23 0
LI 24 41 24 44 0
LI 62 44 66 44 0
LI 66 44 64 46 0
LI 64 46 62 44 0
TY 28 37 3 2 0 0 0 * C10
TY 52 36 3 2 0 0 0 * C20
TY 46 25 3 2 0 0 0 * C
MC 40 33 0 0 ey_libraries.pasres0
LI 50 23 50 33 0
LI 35 23 35 33 0
TY 42 36 3 2 0 0 0 * R
TY 41 13 3 2 0 0 0 * VC
TY 35 15 3 2 0 0 0 * +
TY 48 15 3 2 0 0 0 * -
TY 13 32 3 2 0 0 0 * V1
TY 17 27 3 2 0 0 0 * +
TY 69 29 3 2 0 0 0 * +
TY 71 35 3 2 0 0 0 * V2[/fcd]
è la seguente
$V_1-V_C-V_2=0$
e quindi
$\frac {Q_1-q_x}{C_{10}}-\frac { q_x}{C}-\frac {Q_2+q_x}{C_{20}}=0$
che può essere scritta come
$\frac {Q_1-q_x}{R_1}-\frac { q_x}{kC}-\frac {Q_2+q_x}{R_2}=0$
che, visto il "peso" del secondo termine [nota]Pari a \(q_x/(2\cdot 10^4)\)[/nota], può essere approssimata come
$\frac {Q_1-q_x}{R_1} -\frac {Q_2+q_x}{R_2}=0$
ovvero, esprimendo le cariche in μ$\text{C}$, ed usando i tuoi ultimi raggi
$10(13-q_x)-(-70+q_x)\approx 0$
e quindi
$q_x\approx \frac{200}{11}\approx 18.2$ μ$\text{C}$
ne segue
$v_C(0^+)= \frac{q_x}{C}= 9.1 \ \text{V}$
la costante di tempo \(\tau=RC=26 \) μ\(\text{s}\) e quindi
$v_C(t)\approx 9.1 \ e^{-(10^6 t)/26}\ \text{V}$
che scenderà ad 1 volt per
$t\approx 57.4 $ μ$\text{s}$.
A "regime" poi, il condensatore C sarà completamente scarico e di conseguenza sarà nulla la densità di carica sulle sue armature [nota]Le due sfere a "regime" saranno connesse dalla resistenza interna di C e quindi si troveranno allo stesso potenziale; la carica complessiva netta $q_t=57 $ μ$\text{C}$ si ripartirà sulle due sfere per rispettare i due seguenti vincoli: \(q_1+q_2=q_t \quad \) e \( \quad q_1/q_2=C_{10}/C_{20}=1/10\).[/nota].
La KVL per il calcolo di $q_x$, assunti i positivi delle tensioni come in figura
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC C 0.5
FJC A 0.2
FJC B 0.2
EV 27 26 21 20 0
EV 70 29 58 17 0
MC 24 31 0 0 ey_libraries.pascap0
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LI 22 44 26 44 0
LI 26 44 24 46 0
LI 24 46 22 44 0
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LI 62 44 66 44 0
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TY 28 37 3 2 0 0 0 * C10
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TY 48 15 3 2 0 0 0 * -
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TY 17 27 3 2 0 0 0 * +
TY 69 29 3 2 0 0 0 * +
TY 71 35 3 2 0 0 0 * V2[/fcd]
è la seguente
$V_1-V_C-V_2=0$
e quindi
$\frac {Q_1-q_x}{C_{10}}-\frac { q_x}{C}-\frac {Q_2+q_x}{C_{20}}=0$
che può essere scritta come
$\frac {Q_1-q_x}{R_1}-\frac { q_x}{kC}-\frac {Q_2+q_x}{R_2}=0$
che, visto il "peso" del secondo termine [nota]Pari a \(q_x/(2\cdot 10^4)\)[/nota], può essere approssimata come
$\frac {Q_1-q_x}{R_1} -\frac {Q_2+q_x}{R_2}=0$
ovvero, esprimendo le cariche in μ$\text{C}$, ed usando i tuoi ultimi raggi
$10(13-q_x)-(-70+q_x)\approx 0$
e quindi
$q_x\approx \frac{200}{11}\approx 18.2$ μ$\text{C}$
ne segue
$v_C(0^+)= \frac{q_x}{C}= 9.1 \ \text{V}$
la costante di tempo \(\tau=RC=26 \) μ\(\text{s}\) e quindi
$v_C(t)\approx 9.1 \ e^{-(10^6 t)/26}\ \text{V}$
che scenderà ad 1 volt per
$t\approx 57.4 $ μ$\text{s}$.
A "regime" poi, il condensatore C sarà completamente scarico e di conseguenza sarà nulla la densità di carica sulle sue armature [nota]Le due sfere a "regime" saranno connesse dalla resistenza interna di C e quindi si troveranno allo stesso potenziale; la carica complessiva netta $q_t=57 $ μ$\text{C}$ si ripartirà sulle due sfere per rispettare i due seguenti vincoli: \(q_1+q_2=q_t \quad \) e \( \quad q_1/q_2=C_{10}/C_{20}=1/10\).[/nota].
OK, ora è chiaro. Quello che non avevo capito di quanto indicatomi da te è che "all'infinito la maglia si chiude" e ho anche capito il significato di quella che hai indicato con C12 e che per fortuna è trascurabile.
L'unica domanda che ora mi resta è se la resistenza interna di un condensatore è sempre schematizzabile come una resistenza messa in parallelo ad esso. Grazie di nuovo.
L'unica domanda che ora mi resta è se la resistenza interna di un condensatore è sempre schematizzabile come una resistenza messa in parallelo ad esso. Grazie di nuovo.
"SalvatCpo":
... L'unica domanda che ora mi resta è se la resistenza interna di un condensatore è sempre schematizzabile come una resistenza messa in parallelo ad esso.
Dipende da cosa si intende per "interna", potrebbe essere intesa anche come resistenza "interna" ma in serie al condensatore, quella che viene indicata con la sigla ESR (Equivalent Series Resistance).
Visto il dubbio che mi hai fatto venire, prova a risolvere da capo il problema considerandola "interna" ma in serie, e non in parallelo; in effetti, a rileggere le domande, poteva essere quello che intendeva il tuo professore.
E come faccio? 6.5 ohm a sinistra e 6.5 ohm a destra del condensatore? Ma a quel punto cambierebbe tutto, cioè il processo di carica non sarebbe più istantaneo. O almeno a me così pare. In genere la resistenza interna di un condensatore va schematizzata in serie al condensatore stesso (così ho letto sul web), ma nel nostro caso ha più senso intendere che il condensatore piano ha in parallelo a sè stesso una resistenza di 13 ohm.
La puoi mettere a sinistra oppure a destra, non cambia nulla.
Chiaramente in questo caso C non si carica istantaneamente.
Mi sembrava di avertelo detto nel precedente messaggio, considerala in serie e non in parallelo.
Visto che ti ho suggerito di risolverlo nuovamente in questa nuova configurazione, è chiaro che cambia tutto, o quasi.
Chiaramente in questo caso C non si carica istantaneamente.
Mi sembrava di avertelo detto nel precedente messaggio, considerala in serie e non in parallelo.
Visto che ti ho suggerito di risolverlo nuovamente in questa nuova configurazione, è chiaro che cambia tutto, o quasi.
Giusto per chiudere l'argomento, che sembra essere stato già abbandonato dall'OP, nel caso in cui per resistenza R interna si intenda quella serie e non parallelo, avremo la seguente configurazione
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC C 0.5
FJC A 0.2
FJC B 0.2
EV 27 26 21 20 0
EV 77 29 65 17 0
MC 24 31 0 0 ey_libraries.pascap0
MC 71 34 0 0 ey_libraries.pascap0
MC 45 23 1 0 ey_libraries.pascap0
LI 22 44 26 44 0
LI 26 44 24 46 0
LI 24 46 22 44 0
TY 23 21 3 2 0 0 0 * 1
TY 70 21 3 2 0 0 0 * 2
LI 35 23 27 23 0
LI 24 41 24 44 0
LI 69 44 73 44 0
LI 73 44 71 46 0
LI 71 46 69 44 0
TY 30 35 3 2 0 0 0 * C10
TY 57 35 3 2 0 0 0 * C20
TY 41 13 3 2 0 0 0 * C
MC 55 23 0 0 ey_libraries.pasres0
TY 57 15 3 2 0 0 0 * R
TY 35 25 4 3 0 0 0 * +
TY 41 29 3 2 0 0 0 * vC
TY 47 25 4 3 0 0 0 * -
TY 16 27 4 3 0 0 0 * +
TY 75 29 4 3 0 0 0 * +
TY 13 34 3 2 0 0 0 * v1
TY 78 34 3 2 0 0 0 * v2[/fcd]
Ne segue che il condensatore si caricherà nel tempo e la tensione salirà esponenzialmente da zero al valore di regime $v_C(\infty)\approx 9.1 \ \text{V}$ già ricavato in precedenza, ma con una costante di tempo $\tau=RC_s$, dove con $C_s$ si intende la capacità equivalente della serie dei tre condensatori.
Visto che $C_s\approx 10.1 \ \text{pF}$, avremo $\tau\approx 131 \ \text{ps}$ e di conseguenza dalla
$v_C(t)\approx 9.1 (1-e^{-10^10 /1.31 \t})\ \text{V}$
La soglia di 1 volt sarà raggiunta dopo un tempo $t\approx 15.3 \ \text{ps}$ dalla chiusura del circuito.
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC C 0.5
FJC A 0.2
FJC B 0.2
EV 27 26 21 20 0
EV 77 29 65 17 0
MC 24 31 0 0 ey_libraries.pascap0
MC 71 34 0 0 ey_libraries.pascap0
MC 45 23 1 0 ey_libraries.pascap0
LI 22 44 26 44 0
LI 26 44 24 46 0
LI 24 46 22 44 0
TY 23 21 3 2 0 0 0 * 1
TY 70 21 3 2 0 0 0 * 2
LI 35 23 27 23 0
LI 24 41 24 44 0
LI 69 44 73 44 0
LI 73 44 71 46 0
LI 71 46 69 44 0
TY 30 35 3 2 0 0 0 * C10
TY 57 35 3 2 0 0 0 * C20
TY 41 13 3 2 0 0 0 * C
MC 55 23 0 0 ey_libraries.pasres0
TY 57 15 3 2 0 0 0 * R
TY 35 25 4 3 0 0 0 * +
TY 41 29 3 2 0 0 0 * vC
TY 47 25 4 3 0 0 0 * -
TY 16 27 4 3 0 0 0 * +
TY 75 29 4 3 0 0 0 * +
TY 13 34 3 2 0 0 0 * v1
TY 78 34 3 2 0 0 0 * v2[/fcd]
Ne segue che il condensatore si caricherà nel tempo e la tensione salirà esponenzialmente da zero al valore di regime $v_C(\infty)\approx 9.1 \ \text{V}$ già ricavato in precedenza, ma con una costante di tempo $\tau=RC_s$, dove con $C_s$ si intende la capacità equivalente della serie dei tre condensatori.
Visto che $C_s\approx 10.1 \ \text{pF}$, avremo $\tau\approx 131 \ \text{ps}$ e di conseguenza dalla
$v_C(t)\approx 9.1 (1-e^{-10^10 /1.31 \t})\ \text{V}$
La soglia di 1 volt sarà raggiunta dopo un tempo $t\approx 15.3 \ \text{ps}$ dalla chiusura del circuito.
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