Condensatore piano con carica variabile
Testo dell'esercizio:
Un condensatore piano con armature circolari di raggio \(\displaystyle a = 0.1m \) distanti fra loro \(\displaystyle d = 0.001m \) viene caricato con una carica variabile nel tempo \(\displaystyle Q(t) = 10^{-3}(1-e^{\frac{-t}{0.001}}) \)
Trascurando gli effetti di bordo si calcolino:
A) Il campo elettrico tra le due armature
B) Il vettore densità di corrente di spostamento presente tra le armature indicandone direzione e verso
C) La corrente di spostamento confrontandola con la corrente presente nel filo
D) Il campo magnetico presente tra le due armature
.
Per quanto riguarda il punto A ecco come ho fatto:
Ho calcolato la capacità del condensatore \(\displaystyle C = \frac{\varepsilon_{0} \pi a^2}{d} = 2.7*10^{-10} \)
Per poi calcolare il campo elettrico \(\displaystyle E = \frac{|\sigma|}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{S\varepsilon_0} = 135*(1-e^{\frac{-t}{0.001}}) \)
Per i punti B e C io so che la corrente di spostamento si calcola con \(\displaystyle I_s = \varepsilon_0\frac{\mathrm{d} \phi_E }{\mathrm{d}t} \)
Ma come calcolo il flusso di E? Avevo pensato alla formula \(\displaystyle \phi_E = E \cdot S \)
Per il punto D semplicemente non ho idea di quale formula usare...
Grazie in anticipo!
Un condensatore piano con armature circolari di raggio \(\displaystyle a = 0.1m \) distanti fra loro \(\displaystyle d = 0.001m \) viene caricato con una carica variabile nel tempo \(\displaystyle Q(t) = 10^{-3}(1-e^{\frac{-t}{0.001}}) \)
Trascurando gli effetti di bordo si calcolino:
A) Il campo elettrico tra le due armature
B) Il vettore densità di corrente di spostamento presente tra le armature indicandone direzione e verso
C) La corrente di spostamento confrontandola con la corrente presente nel filo
D) Il campo magnetico presente tra le due armature
.
Per quanto riguarda il punto A ecco come ho fatto:
Ho calcolato la capacità del condensatore \(\displaystyle C = \frac{\varepsilon_{0} \pi a^2}{d} = 2.7*10^{-10} \)
Per poi calcolare il campo elettrico \(\displaystyle E = \frac{|\sigma|}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{S\varepsilon_0} = 135*(1-e^{\frac{-t}{0.001}}) \)
Per i punti B e C io so che la corrente di spostamento si calcola con \(\displaystyle I_s = \varepsilon_0\frac{\mathrm{d} \phi_E }{\mathrm{d}t} \)
Ma come calcolo il flusso di E? Avevo pensato alla formula \(\displaystyle \phi_E = E \cdot S \)
Per il punto D semplicemente non ho idea di quale formula usare...
Grazie in anticipo!
Risposte
Errori di battitura e di calcolo a parte per A), per B) il flusso lo calcoli proprio in quel modo, anche se il campo è funzione del tempo, ad ogni modo la corrente di spostamento sarà uguale a quella di conduzione e infine il campo magnetico all'interno del condensatore B(r), che avrà linee di forza circolari concentriche con l'asse del condensatore, dovrai considerare la classica relazione per il campo di un conduttore rettilineo, usando però la frazione di corrente di spostamento interna alla generica circonferenza di raggio r.
"RenzoDF":
Errori di battitura e di calcolo a parte per A)
Modificato, era fratto la distanza non fratto 2
"RenzoDF":
per il campo magnetico all'interno del condensatore B(r) dovrai considerare la classica relazione per il campo di un conduttore rettilineo, usando però la frazione di corrente di spostamento interna alla generica circonferenza di raggio r.
Mhm qui non credo di aver capito
Il campo di un conduttore rettilineo è \(\displaystyle B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \) ma tu mi stai dicendo di considerare la corrente di spostamento quindi \(\displaystyle B = \frac{\mu_0 I_s}{2\pi r} \) ?
"DeltaEpsilon":
... Il campo di un conduttore rettilineo è \(\displaystyle B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \) ma tu mi stai dicendo di considerare la corrente di spostamento quindi \(\displaystyle B = \frac{\mu_0 I_s}{2\pi r} \) ?
Ti sto dicendo di considerare la frazione di corrente di spostamento $i_s(r)$ interna alla generica circonferenza di raggio $r$, e da questa il campo associato
\(\displaystyle B(r) = \frac{\mu_0 i_s(r)}{2\pi r} \); corrente determinabile sia come frazione \((r/a)^2\) della corrente di conduzione [nota]Che volendo potrebbe essere direttamente ricavata derivando la $Q(t)$.[/nota] $i_C(t)$, sia passando dalla densità di corrente di spostamento $j_s(t)=(i_C(t))/(\pi a^2$ con $i_s(r)=j_s(t) \ \pi r^2$,
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC C 0.5
FJC L 4 -16711885 1.0
FJC L 6 -6697729 0.39
FJC L 7 -3355444 0.56
FJC L 8 -10066330 1.0
FJC A 0.4
FJC B 0.4
LI 108 126 108 105 0
EV 140 105 80 85 0
LI 108 30 108 65 0
LI 130 65 130 95 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 90 65 90 95 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
EV 90 60 130 70 0
FCJ 1 0
EV 90 90 130 100 0
FCJ 1 0
LI 112 126 112 105 0
LI 110 65 110 95 0
FCJ 0 0 3 1 4 0
MC 115 40 1 0 074
EV 108 29 112 31 0
LI 112 30 112 65 0
EV 108 64 112 66 0
EV 112 127 108 125 0
EV 80 55 140 75 0
LI 140 66 140 95 0
FCJ 0 0 2 1 3 0
EV 90 70 130 80 0
LI 119 81 122 81 1
TY 118 81 4 3 0 1 1 * B(r)
LI 130 76 123 81 1
FCJ 2 0 2 1 0 0
LI 130 76 130 84 2
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 133 79 136 79 2
LI 110 95 130 95 2
FCJ 2 0 2 1 0 0
TY 117 90 4 3 0 1 2 * r
TY 133 79 4 3 0 1 2 * E
TY 118 37 4 3 0 1 2 * ic(t)
BE 144 66 149 80 148 89 144 96 3
FCJ 1 0 3 1 0 0
TY 131 59 4 3 0 1 3 * a
LI 110 65 140 65 3
FCJ 2 0 2 1 0 0
TY 149 79 4 3 0 1 3 * V(t)
LI 80 66 80 95 4
FCJ 0 0 2 1 1 0
TY 83 76 4 3 0 1 4 * d
EP 90 70 130 80 7
FCJ 1 0
TY 98 74 4 3 0 1 14 * s
TY 93 78 4 3 0 1 14 * l[/fcd]
Chiaramente, allorché $r=a$, la corrente di spostamento raggiungerà il valore limite pari alla corrente di conduzione [nota]Ipotizzando trascurabile l'effetto di bordo.[/nota] e di conseguenza il campo magnetico per $r>a$, andrà a decrescere in proporzione a $1/r$.
Grazie mille per la risposta!
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