Condensatore con dielettrico a conducibilità costante

[spina3003]

Ciao a tutti, nuovo giorno nuovo problema che non mi riesce...

Un condensatore piano, costituito da due armature di area $S$ distanti $d$ è totalmente riempito con un materiale dielettrico (per semplicità $\epsilon_r=1$) parzialmente conduttore con conducibilità $\sigma$ (costante). All'istante iniziale $t=0$ la carica è $Q_0$. Determinare, nella scarica del condensatore attraverso il dielettrico, la differenza di potenziale tra le armature all'istante $t_1$.

Ho pensato di risolverlo così (premesso che ho considerato la carica $Q_0$ come carica totale del condensatore, o invece è la carica di ciascuna delle armature?)

La capacità dipende solo dalla geometria quindi:

$C=Q_0/(\DeltaV_0) = Q_0/(E_0d) = Q_0\epsilon_0S/(Q_0d) = (\epsilon_0S)/d $

con $E(t)$ derivato con il teorema di Gauss $ (Q(t))/\epsilon_0 = E(t)S $

A questo punto devo calcolare $Q(t_1)$ per poter calcolare $\DeltaV(t_1)$

$\Phi (\vec J) = i = (dQ)/dt $

$\Phi (\vec J) = \Phi (\sigmaE) = \Phi (\sigma(Q(t))/\(epsilon_0S)) = \sigma(Q(t))/\epsilon_0$

Quindi $ \dot Q(t)= \sigma/\epsilon_0Q(t) $ ovvero $Q(t)=Q_0e^(\sigma/epsilon_0t) $

A questo punto $\DeltaV(t_1) = (Q (t_1))/C = (Q_0e^(\sigma/epsilon_0t_1)d)/(\epsilon_0S) $

Ma il risultato numerico non mi torna... ho sbagliato a interpretare il problema? Oppure ho fatto un errore nei calcoli? Grazie

EDIT: avevo dimenticato il segno meno... $\Phi (\vec J) = - i = - (dQ)/dt $. Cambiando il segno la soluzione è giusta. Lascio comunque il post nel caso possa servire a qualcuno in futuro. Riscrivo i calcoli corretti per chiarezza.

$C=Q_0/(\DeltaV_0) = Q_0/(E_0d) = Q_0\epsilon_0S/(Q_0d) = (\epsilon_0S)/d $

$\Phi (\vec J) = - i = - (dQ)/dt $

$\Phi (\vec J) = \Phi (\sigmaE) = \Phi (\sigma(Q(t))/\(epsilon_0S)) = \sigma(Q(t))/\epsilon_0$

$ \dot Q(t)= -\sigma/\epsilon_0Q(t) $ ovvero $Q(t)=Q_0e^(-\sigma/epsilon_0t) $

$\DeltaV(t_1) = (Q (t_1))/C = (Q_0e^(-\sigma/epsilon_0t_1)d)/(\epsilon_0S) $

[RenzoDF]

Visto che possiamo modellare quel dispositivo con un parallelo R C, la carica iniziale $Q_0$ presenterà una discesa esponenziale, con costante di tempo $\tau=R\cdotC$; ricordando le relazioni per le due grandezze è immediato vedere che il loro prodotto è pari a \( \epsilon/\sigma\).

[spina3003]

Quali relazioni vanno prese in considerazione in questo caso per arrivare alla conclusione che $R*C$ è uguale a $\epsilon/\sigma$? Con $C=Q/V$ e $V=iR$ arrivo a $RC=Q/i$, da qui come procedo? Oppure devo cambiare impostazione?

[RenzoDF]

Prova con le due relazioni che coinvolgono le dimensioni.