Condensatore con 2 dielettrici
Continua la preparazione per Fisica 2 
Un condensatore piano è costituito da 2 armature quadrate di lato $l=20 cm$ distanti tra loro $d=1 cm$.
Tra le due armature è posta una lastra di spessore $s=6 mm$ composta per metà da porcellana, con cost. dielettrica rel. $\epsilon_1= 6$ e per l'altra metà da vetro, con cost. dielettrica rel. $\epsilon_2= 10$.
Il condensatore viene caricato con una ddp di $\DeltaV = 100V$.
a)valuta l'intensità del campo elettrico nelle varie zone del condensatore
b)valuta la densità superficiale di carica libera nelle varie zone dell'armatura positiva
c)calcola la capacità del condensatore
Io ho fatto:
a) considerando il vettore D (vettore spostamento elettrico), sappiamo che si conserva passando da un mezzo all'altro se non c'è carica libera presente sulla superficie di separazione.
Nel mezzo dielettrico ho: $D=\epsilon*E$ dove E è il campo elettrico nel dielettrico;
nel vuoto ho: $D=\epsilon_0*E_0$ dove $E_0$ è il campo elettrico nel vuoto.
Si ha: $\epsilon*E=\epsilon_0*E_0$ da cui $E=\frac{\epsilon_0}{\epsilon}*E_0$
Sapendo che la $\DeltaV$ è pari alla somma dei rispettivi campi E moltiplicati l'estensione del mezzo in cui appaiono ho:
$\DeltaV=E_0*(d/2-s/2)+E_0*(d/2-s/2)+E*s=2E_0*(d/2-s/2)+(E_0)/\epsilon_r*s=E_0*(d-s+s/\epsilon_r)$
cioé ho:
nella zona di porcellana ($\epsilon_r=6$): $100V=E_0*(0.06-0.006+\frac{0.006}{6})$ quindi $E_0=1818.18 V/m$
nella zona di vetro ($\epsilon_r=10$): $100V=E_0*(0.06-0.006+\frac{0.006}{10})$ quindi $E_0=1831.50 V/m$
b)brancolo nel buio! Ma proprio nel buio più completo!
c) qui mi sorge una domanda: posso considerare tutto il circuito equivalente a un circuito costituito da un parallelo di due condensatori, attaccati entrambi alla ddp di 100V, ove in ognuno è presente una lamina di dielettrico composta da un solo materiale? Cioé due condensatori con dielettrico, uno con una lamina di porcellana e uno con una lamina di vetro, in parallelo? E' un'approssimazione lecita?
Grazie a tutti!
Un condensatore piano è costituito da 2 armature quadrate di lato $l=20 cm$ distanti tra loro $d=1 cm$.
Tra le due armature è posta una lastra di spessore $s=6 mm$ composta per metà da porcellana, con cost. dielettrica rel. $\epsilon_1= 6$ e per l'altra metà da vetro, con cost. dielettrica rel. $\epsilon_2= 10$.
Il condensatore viene caricato con una ddp di $\DeltaV = 100V$.
a)valuta l'intensità del campo elettrico nelle varie zone del condensatore
b)valuta la densità superficiale di carica libera nelle varie zone dell'armatura positiva
c)calcola la capacità del condensatore
Io ho fatto:
a) considerando il vettore D (vettore spostamento elettrico), sappiamo che si conserva passando da un mezzo all'altro se non c'è carica libera presente sulla superficie di separazione.
Nel mezzo dielettrico ho: $D=\epsilon*E$ dove E è il campo elettrico nel dielettrico;
nel vuoto ho: $D=\epsilon_0*E_0$ dove $E_0$ è il campo elettrico nel vuoto.
Si ha: $\epsilon*E=\epsilon_0*E_0$ da cui $E=\frac{\epsilon_0}{\epsilon}*E_0$
Sapendo che la $\DeltaV$ è pari alla somma dei rispettivi campi E moltiplicati l'estensione del mezzo in cui appaiono ho:
$\DeltaV=E_0*(d/2-s/2)+E_0*(d/2-s/2)+E*s=2E_0*(d/2-s/2)+(E_0)/\epsilon_r*s=E_0*(d-s+s/\epsilon_r)$
cioé ho:
nella zona di porcellana ($\epsilon_r=6$): $100V=E_0*(0.06-0.006+\frac{0.006}{6})$ quindi $E_0=1818.18 V/m$
nella zona di vetro ($\epsilon_r=10$): $100V=E_0*(0.06-0.006+\frac{0.006}{10})$ quindi $E_0=1831.50 V/m$
b)brancolo nel buio! Ma proprio nel buio più completo!
c) qui mi sorge una domanda: posso considerare tutto il circuito equivalente a un circuito costituito da un parallelo di due condensatori, attaccati entrambi alla ddp di 100V, ove in ognuno è presente una lamina di dielettrico composta da un solo materiale? Cioé due condensatori con dielettrico, uno con una lamina di porcellana e uno con una lamina di vetro, in parallelo? E' un'approssimazione lecita?
Grazie a tutti!
Risposte
"Zerogwalur":
Tra le due armature è posta una lastra di spessore $s=6 mm$ composta per metà da porcellana, con cost. dielettrica rel. $\epsilon_1= 6$ e per l'altra metà da vetro, con cost. dielettrica rel. $\epsilon_2= 10$.
La lastra è fatta di porcellana nella parte sopra e di vetro in quella sotto o è fatta di porcellana nella parte rivolta verso la prima armatura e di vetro in quella rivolta verso la seconda?
Per il punto 2 basta usare la formula: $sigma=vecP*hat n$ dove P è la polarizzazione del sistema
@lucagalbu: la lastra è fatta da porcellana nella parte superiore e da vetro nella parte inferiore. Entrambi i materiali quindi sono esposti a entrambe le armature.
Potresti schematizzarmi il procedimento da te suggerito per il punto 2? Grazie mille!
Potresti schematizzarmi il procedimento da te suggerito per il punto 2? Grazie mille!
Dalla tua descrizione vedo che il condensatore può essere diviso in 3 parti: porcellana,vetro,vuoto. Per il calcolo della capacità totale ti basta considerare la serie dei 3 condensatori di rispettive capacità.
"Zerogwalur":
@lucagalbu: la lastra è fatta da porcellana nella parte superiore e da vetro nella parte inferiore. Entrambi i materiali quindi sono esposti a entrambe le armature.
Potresti schematizzarmi il procedimento da te suggerito per il punto 2? Grazie mille!
Cancella quello che ho detto... ho letto male la domanda
Io farei così: nella parte sopra del condensatore (quella con il vetro) hai $E=E_v$, in quella sotto avrai $E=E_p$. Questi due vettori sono paralleli e perpendicolari alle armature; quindi sono paralleli alla superficie di separazione dei due mezzi (vetro/porcellana). Sappiamo che la componente tangenziale del campo elettrico si conserva nel passaggio da un mezzo all'altro, quindi $E_v=E_p$.
Ma in un condensatore piano il campo elettrico vale in generale $E=frac{sigma}{epsilon_0epsilon_r}$. Inoltre indicando con S la superficie dell'armatura, la carica totale presente è: $Q=sigma_vfrac{S}{2}+sigma_pfrac{S}{2}$, dove $sigma_v$ e $sigma_p$ indicano la densità di carica nella parte di armatura affacciata al vetro e quella affacciata alla porcellana.
Quindi hai questo sistema:
$E_v=frac{sigma_v}{epsilon_0 epsilon_1}=frac{sigma_p}{epsilon_0 epsilon_2}=E_p$
$Q=sigma_vfrac{S}{2}+sigma_pfrac{S}{2}$
Se risolvi questo sistema ottieni:
$sigma_p=frac{2Q epsilon_2}{S(epsilon_1+epsilon_2)}$
$sigma_v=frac{2Q epsilon_1}{S(epsilon_1+epsilon_2)}$
Adesso devi trovare Q. Per farlo nota che Q compare sempre come $frac{Q}{S}$ che è la densità di carica che si avrebbe se nel condensatore non ci fosse il dielettrico. Questa è uguale a $sigma=epsilon_0E=epsilon_0frac{V}{d}=frac{Q}{S}$
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