Compton ed energia relativistica
Sera 
Ho un bel dubbione su un esercizio piuttosto banale, ma credo sia utile per capire le cose che sto affrontando nello studio e provo a proporvelo.
Per il punto (a) ho un dubbio, per il (b) ho usato le soluzioni di (a) date dal testo ho proseguito, vorrei gentilmente chiedervi sei l punto b sia corretto e soprattuto come svolgere a dato che ho sbagliato in pieno.
Iniziamo con la consueta risposta dell'OP:
(a) ovviamente bisogna usare compton $1/(E')-1/E=1/(mc^2)(1-costheta)$
da cui ho pensato di esplicitare $theta=arc(1-(1/(E')-1/E)mc^2)$
ossia per esteso: $theta=arccos(1-(1/epsilon-1/sqrt(m^2c^4+(mv)c^2))mc^2)$
Perché ho svolto così? Perché ho pensato che in definitiva il protone avrà una energia totale che è quel valore sotto radice e $p^2$ posso ricavarlo avendo v e massa del protone => $(mv_p)^2$.
D'altra parte ho pensato non è detto che tutta l'energia scambiata nell'urto finisca in cinetica, potrebbe finire anche in massa a riposo. Ma nulla è sbagliato poiché la soluzione è: $θ= acos[1−(mpc^2T_p)/(epsilon(epsilon−Tp))]$ con Tp energia cinetica del protone finale.
Vorrei quindi chiedere per capire: perché il mio modo di procedere sia errato, e come caspita si arriva a quella soluzione?
Passiamo al
(b) Posso ricavare la E' del fotone "scatterato", ergo da $p=(E')/c$ mi sono ricavato p, conoscendo $theta$ mi posso trovare la componente di p lungo l'asse y (ponendo la x lungo la direzione di incidenza iniziale del fotone), scompongo cioè $p sintheta$.
Ho penato che dovendosi conservare questo deve corrispondere a p del protone quindi: $(E')/c sintheta=mv_p sinphi$ da cui ricavo phi.
Potrebbe andare bene? Purtroppo non ho la soluzione numerica sul testo, però vorrei sapere se sia un ragionamento condivisibile.
Ringrazio molto il paziente lettore/salvatore
Ho un bel dubbione su un esercizio piuttosto banale, ma credo sia utile per capire le cose che sto affrontando nello studio e provo a proporvelo.
Un fotone di energia ε = 1 keV viene diffuso da un protone a riposo. Il protone ha velocita finale vp= 500 m/s. Determinare:
(a) l’angolo di diffusione del fotone finale e la sua lunghezza d’onda;
(b) l’angolo φ tra la direzione del fotone incidente e la velocita del protone finale.
*con h ed m_p date
Per il punto (a) ho un dubbio, per il (b) ho usato le soluzioni di (a) date dal testo ho proseguito, vorrei gentilmente chiedervi sei l punto b sia corretto e soprattuto come svolgere a dato che ho sbagliato in pieno.
Iniziamo con la consueta risposta dell'OP:
(a) ovviamente bisogna usare compton $1/(E')-1/E=1/(mc^2)(1-costheta)$
da cui ho pensato di esplicitare $theta=arc(1-(1/(E')-1/E)mc^2)$
ossia per esteso: $theta=arccos(1-(1/epsilon-1/sqrt(m^2c^4+(mv)c^2))mc^2)$
Perché ho svolto così? Perché ho pensato che in definitiva il protone avrà una energia totale che è quel valore sotto radice e $p^2$ posso ricavarlo avendo v e massa del protone => $(mv_p)^2$.
D'altra parte ho pensato non è detto che tutta l'energia scambiata nell'urto finisca in cinetica, potrebbe finire anche in massa a riposo. Ma nulla è sbagliato poiché la soluzione è: $θ= acos[1−(mpc^2T_p)/(epsilon(epsilon−Tp))]$ con Tp energia cinetica del protone finale.
Vorrei quindi chiedere per capire: perché il mio modo di procedere sia errato, e come caspita si arriva a quella soluzione?
Passiamo al
(b) Posso ricavare la E' del fotone "scatterato", ergo da $p=(E')/c$ mi sono ricavato p, conoscendo $theta$ mi posso trovare la componente di p lungo l'asse y (ponendo la x lungo la direzione di incidenza iniziale del fotone), scompongo cioè $p sintheta$.
Ho penato che dovendosi conservare questo deve corrispondere a p del protone quindi: $(E')/c sintheta=mv_p sinphi$ da cui ricavo phi.
Potrebbe andare bene? Purtroppo non ho la soluzione numerica sul testo, però vorrei sapere se sia un ragionamento condivisibile.
Ringrazio molto il paziente lettore/salvatore
Risposte
Ciao,
nella formula:
$ 1/(E')-1/E=1/(mc^2)(1-costheta) $
$E$ ed $E'$ si riferiscono all'energia del fotone rispettivamente prima e dopo la diffusione.
https://en.wikipedia.org/wiki/Compton_scattering
Per risolvere hai due incognite, la prima è appunto l'angolo di deflessione, la seconda è l'energia del fotone finale.
Ma hai anche un'altra equazione da sfruttare - una legge di conservazione
- e puoi semplificarla notevolmente notando che il protone è non relativistico (500 m/s è 6 ordini di grandezza minore di c).
non dico nient'altro sennò ti levo tutto il divertimento
nella formula:
$ 1/(E')-1/E=1/(mc^2)(1-costheta) $
$E$ ed $E'$ si riferiscono all'energia del fotone rispettivamente prima e dopo la diffusione.
https://en.wikipedia.org/wiki/Compton_scattering
Per risolvere hai due incognite, la prima è appunto l'angolo di deflessione, la seconda è l'energia del fotone finale.
Ma hai anche un'altra equazione da sfruttare - una legge di conservazione
- e puoi semplificarla notevolmente notando che il protone è non relativistico (500 m/s è 6 ordini di grandezza minore di c).non dico nient'altro sennò ti levo tutto il divertimento
Noooooooo ma cosa ho scritto XD, lo sapevo e sono andato a ruota libera. Ovvio che non veniva, son proprio cotto!
Provo allora a ragionare su quato dici..
Nel frattempo, secondo te, il punto (b) invece andrebbe bene
Mille grazie!
Provo allora a ragionare su quato dici..
Nel frattempo, secondo te, il punto (b) invece andrebbe bene
Mille grazie!
Se intendo bene la notazione, direi di no. $\theta$ indica l'angolo di deflessione del fotone rispetto alla sua direzione iniziale? $\phi$ l'angolo di deflessione del protone rispetto alla direzione del fotone incidente?
Se fosse così, l'equazione che scrivi mi sembra in realtà la conservazione della quantità di moto lungo la direzione del fotone incidente (E'/c cos(theta) sarebbe la proiezione della quantità di moto finale del fotone lungo la direzione incidente, e simile per la proiezione del momento del protone). Però nella frase prima dici che vuoi scomporre la qdm lungo la direzione trasversa ... sicuro di aver scritto l'equazione giusta?
Se fosse così, l'equazione che scrivi mi sembra in realtà la conservazione della quantità di moto lungo la direzione del fotone incidente (E'/c cos(theta) sarebbe la proiezione della quantità di moto finale del fotone lungo la direzione incidente, e simile per la proiezione del momento del protone). Però nella frase prima dici che vuoi scomporre la qdm lungo la direzione trasversa ... sicuro di aver scritto l'equazione giusta?
Ovviamente no, la domanda era riferita al seno noto theta da "a" (come ho scritto sul foglio)... correggo.
Oggi proprio non ci sono, facevo più bella figura a non loggarmi nemmeno stasera
Oggi proprio non ci sono, facevo più bella figura a non loggarmi nemmeno stasera
Ok, direi che è corretto.
Personalmente avrei usato la conservazione della quantità lungo la direzione del fotone incidente in modo da sfruttare il risultato per Cos(theta) ottenuto al punto precedente. In questa seconda strada forse i conti sono leggermente più veloci
Personalmente avrei usato la conservazione della quantità lungo la direzione del fotone incidente in modo da sfruttare il risultato per Cos(theta) ottenuto al punto precedente. In questa seconda strada forse i conti sono leggermente più veloci
Già hai proprio ragione, sarebbe stato più furbo.
Ritornando alla parte (a) che ho svolto con la conservazione dell'energia e torna vorrei però approfondire riguardo una domanda.
Svolgendo: $E=E'+E_K^P$, con $E_K^P$ inteso energia cinetica del protone (come suggerivi) e si perviene alla soluzione ovviamente. E membro sx inteso come energia iniziale e a dx finale post urto data da fotone e protone.
Tuttavia mi chiedevo, se io considerassi: $E=E'+E_T^P$ con con $E_T^P$ energia totale del protone sarebbe più corretto. Infatti a priori ho due contributi: cinetico e a riposo per il protone essendo una particella non "unitaria" come invece sarebbe l'elettrone. Non so bene come spiegarlo, però voglio dire che mentre l'elettrone non varia la sua massa a riposo il protone dovrebbe poterlo fare in virtù dei legami interni che ha (ha dei gradi di libert interni di legame). Quindi sarebbe più corretto considerare la sua energia totalepiuttosto che solo quella cinetica.
Dunque se io studiassi: $E=E'+E_T^P=E'+sqrt((mc^2)^2+(mv)^2c^2)$ non dovrei compiere alcun errore essendo la riscrittura esplicita dell'energia totale relativistica dell' "oggetto" protone.
Però se metto $sqrt((mc^2)^2+(mv)^2c^2)$ al posto di $E_K^P$ in $costheta=[1-((mc^2E_K^P)/(E(E-E_K^P))) ]$ non viene numericamente, quindi deduco che sbaglio qualcosa nel ragionamento. Ma non capisco cosa di preciso, mi sembra tutto lecito il ragionamento su energia totale.
Ritornando alla parte (a) che ho svolto con la conservazione dell'energia e torna vorrei però approfondire riguardo una domanda.
Svolgendo: $E=E'+E_K^P$, con $E_K^P$ inteso energia cinetica del protone (come suggerivi) e si perviene alla soluzione ovviamente. E membro sx inteso come energia iniziale e a dx finale post urto data da fotone e protone.
Tuttavia mi chiedevo, se io considerassi: $E=E'+E_T^P$ con con $E_T^P$ energia totale del protone sarebbe più corretto. Infatti a priori ho due contributi: cinetico e a riposo per il protone essendo una particella non "unitaria" come invece sarebbe l'elettrone. Non so bene come spiegarlo, però voglio dire che mentre l'elettrone non varia la sua massa a riposo il protone dovrebbe poterlo fare in virtù dei legami interni che ha (ha dei gradi di libert interni di legame). Quindi sarebbe più corretto considerare la sua energia totalepiuttosto che solo quella cinetica.
Dunque se io studiassi: $E=E'+E_T^P=E'+sqrt((mc^2)^2+(mv)^2c^2)$ non dovrei compiere alcun errore essendo la riscrittura esplicita dell'energia totale relativistica dell' "oggetto" protone.
Però se metto $sqrt((mc^2)^2+(mv)^2c^2)$ al posto di $E_K^P$ in $costheta=[1-((mc^2E_K^P)/(E(E-E_K^P))) ]$ non viene numericamente, quindi deduco che sbaglio qualcosa nel ragionamento. Ma non capisco cosa di preciso, mi sembra tutto lecito il ragionamento su energia totale.
Tuttavia mi chiedevo, se io considerassi: E=E'+EPT con con EPT energia totale del protone sarebbe più corretto.
Sì esatto, però dimentichi che anche il protone da fermo possiede energia.
Cioé, senza approssimazioni avresti l'eq. di conservazione dell'energia (c = 1, perdonami la pigrizia)
$$
m_p + E = E' + \sqrt{\gamma^2 m_p^2 v_p^2 + m_p^2}
$$
$$
m_p + E = E' + m_p\sqrt{1+ \gamma^2 v_p^2}
$$
e di conseguenza espandendo nel limite non relativistico ($v_p$ << 1) al primo ordine la radice otterresti:
$$
m_p + E = E' + m_p(1 + \frac{1}{2} v_p^2)
$$
cioé proprio:
$$
E = E' + \frac{1}{2} m_p v_p^2
$$
La morale è che, in ambito relativistico, si conserva l'energia (non semplicemente l'energia cinetica): nel primo metodo (quello in cui arrivi al risultato corretto) in realtà ti dimentichi del fatto che il protone ha rest-energy (nel membro di sx) e che l'energia del protone non relativistico è $m_p + T_p$. Ossia, in ambo i termini dimentichi un contributo uguale, e di conseguenza l'errore si cancella. Invece l'errore "non si compensa con altro" nella seconda tecnica che hai provato
Cioé, senza approssimazioni avresti l'eq. di conservazione dell'energia (c = 1, perdonami la pigrizia)
Si vede che sei un teorico
Comunque a partegli scherzi, grazie mille. Mi è chiaro l'errore che facevo. In realtà non ho ancora studiato/seguito un vero e proprio corso di relatività e sono reminiscenze liceali quindi ero un po' in crisi su quello che ricordavo e quello che non tornava.
Sei stato davvero chiaro. Mercì.
Si vede che sei un teorico
nah - sperimentale estremamente pigro
ho editato la spiegazione precedente perché mi ero perso un fattore $\gamma^2$ all'interno dell'espressione dell'energia del protone.
Uhm oddio ora mi fai sorgere un'altra domanda.
Mi sembrava quel gamma non dovesse esserci perché: dati i quadrimpulsi: $P=(E/c,\vecp)=(m_0gammac,m_0gamma\vecv)$
$P^2=E^2/c^2−|p⃗ |^2=m_0^2c^2$ => $E=sqrt(m_0^2c^4+p^2c^2)$ non capisco lapresenza di gamma, dato che p è proprio la quantità di moto tridimensionale e non relativistica, credevo. Con $m_0$ massa ariposo e non quella relativistica che giustifichi un gamma.
Mi sembrava quel gamma non dovesse esserci perché: dati i quadrimpulsi: $P=(E/c,\vecp)=(m_0gammac,m_0gamma\vecv)$
$P^2=E^2/c^2−|p⃗ |^2=m_0^2c^2$ => $E=sqrt(m_0^2c^4+p^2c^2)$ non capisco lapresenza di gamma, dato che p è proprio la quantità di moto tridimensionale e non relativistica, credevo. Con $m_0$ massa ariposo e non quella relativistica che giustifichi un gamma.
Prima osservazione: non c’è massa a riposo $m_0$ e massa relativistica , la massa è invariante per velocità: m punto e basta.
Seconda osservazione: $vecp =gamma mvecv $ ; più relativistica di così...!
Seconda osservazione: $vecp =gamma mvecv $ ; più relativistica di così...!
Ti ringrazio per la risposta.
Quindi in $P=(E/c,\vecp)=(E/c,mgamma\vecv)$ esplicitamente?
Quindi in $P=(E/c,\vecp)=(E/c,mgamma\vecv)$ esplicitamente?
"massimino's":
dati i quadrimpulsi: $P=(E/c,\vecp)=(mgammac,mgamma\vecv)$
calcola la norma del 4-impulso a partire da enrambe le relazioni scritte :
$(E/c)^2 - p^2 = = m^2gamma^2(c^2-v^2) $
da cui :
$(E/c)^2 - p^2=m^2c^2 $
che conduce alla nota (forse) formula dell’energia relativistica :
$E^2 = m^2c^4 + (pc)^2$
cioè :
$E = sqrt((mc^2)^2 + (pc)^2)$
che vuol dire “esplicitamente” ? Certo!
Sì, esatto, quelli sono i passaggi che ho svolto.
Però m dicevi che $\vecp=mgamma\vecv$ (**)
Ora non sto facendo la norma del quadrimpulso ma sto dicendo che se $P=(E/c,\vecp)$
In virtù di (**) => $(E/c,mgamma\vecv)$
Però m dicevi che $\vecp=mgamma\vecv$ (**)
Ora non sto facendo la norma del quadrimpulso ma sto dicendo che se $P=(E/c,\vecp)$
In virtù di (**) => $(E/c,mgamma\vecv)$
Riconfermo; certo, la qdm “spaziale” in RR è $vecp = gammamvecv$
Però questo mi manda in crisi perché a questo punto se faccio la norma di $P=(E/c,\vecp)=(mgammac,mgamma\vecv)$:
$P^2=E^2/c^2−|p⃗ |^2$ e $P^2=(mγc)^2-(mγv⃗ )^2$ in realtà $|p⃗ |^2=(mγv⃗ )^2$
e se li elido ottengo: $E^2/c^2=(mγc)^2$ falso.
Non capisco dove mi sto incastrando.
$P^2=E^2/c^2−|p⃗ |^2$ e $P^2=(mγc)^2-(mγv⃗ )^2$ in realtà $|p⃗ |^2=(mγv⃗ )^2$
e se li elido ottengo: $E^2/c^2=(mγc)^2$ falso.
Non capisco dove mi sto incastrando.
"massimino's":
Però questo mi manda in crisi perché a questo punto se faccio la norma di $P=(E/c,\vecp)=(mgammac,mgamma\vecv)$:
$P^2=E^2/c^2−|p⃗ |^2$ e $P^2=(mγc)^2-(mγv⃗ )^2$ in realtà $|p⃗ |^2=(mγv⃗ )^2$
e se li elido ottengo: $E^2/c^2=(mγc)^2$ falso.
Non capisco dove mi sto incastrando.
Devi lasciare $p$ cosí scritta al primo membro. Anche in RR si ha : $|vecp|^2 = vecp*vecp = p*p = p^2 $
Ma poi, perchè $E^2/c^2=(mγc)^2$ è falsa? Hai :
$E^2 =(mγc)^2*c^2 = m^2gamma^2c^4 = ( mgammac^2)^2 rarr E =mgammac^2 $ , vera .
Eh sì perché ho detto una fesseria, grazie, ora mi sento più leggero. Ho capito l'errore .Non vedo l'ora di trattare queste cose in modo più degno di come so ora.
Un'ultima cosetta
Passando dalla prima alla seconda come faccio sparire gamma?
.Non vedo l'ora di trattare queste cose in modo più degno di come so ora.Un'ultima cosetta
$$
m_p + E = E' + m_p\sqrt{1+ \gamma^2 v_p^2}
$$
$$
m_p + E = E' + m_p(1 + \frac{1}{2} v_p^2)
$$
Passando dalla prima alla seconda come faccio sparire gamma?
Espando per bene il limite non relativistico:
$$
1 + \gamma^2 v_p^2 = 1 + \frac{1}{1-v_p^2} v_p^2 = 1+ v_p^2 (1+ O(v_p^2)) = 1+ v_p^2 + O(v_p^4)
$$
Per cui, considerando il termine dominante in questo limite, la radice diventa:
$$
\sqrt{1+ v_p^2} = 1 + \frac{1}{2} v_p^2 + ...
$$
dove (...) sono potenze superiori di $v_p^2$ e quindi trascurabili in questo regime.
$$
1 + \gamma^2 v_p^2 = 1 + \frac{1}{1-v_p^2} v_p^2 = 1+ v_p^2 (1+ O(v_p^2)) = 1+ v_p^2 + O(v_p^4)
$$
Per cui, considerando il termine dominante in questo limite, la radice diventa:
$$
\sqrt{1+ v_p^2} = 1 + \frac{1}{2} v_p^2 + ...
$$
dove (...) sono potenze superiori di $v_p^2$ e quindi trascurabili in questo regime.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo