Compton ed energia relativistica
Sera 
Ho un bel dubbione su un esercizio piuttosto banale, ma credo sia utile per capire le cose che sto affrontando nello studio e provo a proporvelo.
Per il punto (a) ho un dubbio, per il (b) ho usato le soluzioni di (a) date dal testo ho proseguito, vorrei gentilmente chiedervi sei l punto b sia corretto e soprattuto come svolgere a dato che ho sbagliato in pieno.
Iniziamo con la consueta risposta dell'OP:
(a) ovviamente bisogna usare compton $1/(E')-1/E=1/(mc^2)(1-costheta)$
da cui ho pensato di esplicitare $theta=arc(1-(1/(E')-1/E)mc^2)$
ossia per esteso: $theta=arccos(1-(1/epsilon-1/sqrt(m^2c^4+(mv)c^2))mc^2)$
Perché ho svolto così? Perché ho pensato che in definitiva il protone avrà una energia totale che è quel valore sotto radice e $p^2$ posso ricavarlo avendo v e massa del protone => $(mv_p)^2$.
D'altra parte ho pensato non è detto che tutta l'energia scambiata nell'urto finisca in cinetica, potrebbe finire anche in massa a riposo. Ma nulla è sbagliato poiché la soluzione è: $θ= acos[1−(mpc^2T_p)/(epsilon(epsilon−Tp))]$ con Tp energia cinetica del protone finale.
Vorrei quindi chiedere per capire: perché il mio modo di procedere sia errato, e come caspita si arriva a quella soluzione?
Passiamo al
(b) Posso ricavare la E' del fotone "scatterato", ergo da $p=(E')/c$ mi sono ricavato p, conoscendo $theta$ mi posso trovare la componente di p lungo l'asse y (ponendo la x lungo la direzione di incidenza iniziale del fotone), scompongo cioè $p sintheta$.
Ho penato che dovendosi conservare questo deve corrispondere a p del protone quindi: $(E')/c sintheta=mv_p sinphi$ da cui ricavo phi.
Potrebbe andare bene? Purtroppo non ho la soluzione numerica sul testo, però vorrei sapere se sia un ragionamento condivisibile.
Ringrazio molto il paziente lettore/salvatore
Ho un bel dubbione su un esercizio piuttosto banale, ma credo sia utile per capire le cose che sto affrontando nello studio e provo a proporvelo.
Un fotone di energia ε = 1 keV viene diffuso da un protone a riposo. Il protone ha velocita finale vp= 500 m/s. Determinare:
(a) l’angolo di diffusione del fotone finale e la sua lunghezza d’onda;
(b) l’angolo φ tra la direzione del fotone incidente e la velocita del protone finale.
*con h ed m_p date
Per il punto (a) ho un dubbio, per il (b) ho usato le soluzioni di (a) date dal testo ho proseguito, vorrei gentilmente chiedervi sei l punto b sia corretto e soprattuto come svolgere a dato che ho sbagliato in pieno.
Iniziamo con la consueta risposta dell'OP:
(a) ovviamente bisogna usare compton $1/(E')-1/E=1/(mc^2)(1-costheta)$
da cui ho pensato di esplicitare $theta=arc(1-(1/(E')-1/E)mc^2)$
ossia per esteso: $theta=arccos(1-(1/epsilon-1/sqrt(m^2c^4+(mv)c^2))mc^2)$
Perché ho svolto così? Perché ho pensato che in definitiva il protone avrà una energia totale che è quel valore sotto radice e $p^2$ posso ricavarlo avendo v e massa del protone => $(mv_p)^2$.
D'altra parte ho pensato non è detto che tutta l'energia scambiata nell'urto finisca in cinetica, potrebbe finire anche in massa a riposo. Ma nulla è sbagliato poiché la soluzione è: $θ= acos[1−(mpc^2T_p)/(epsilon(epsilon−Tp))]$ con Tp energia cinetica del protone finale.
Vorrei quindi chiedere per capire: perché il mio modo di procedere sia errato, e come caspita si arriva a quella soluzione?
Passiamo al
(b) Posso ricavare la E' del fotone "scatterato", ergo da $p=(E')/c$ mi sono ricavato p, conoscendo $theta$ mi posso trovare la componente di p lungo l'asse y (ponendo la x lungo la direzione di incidenza iniziale del fotone), scompongo cioè $p sintheta$.
Ho penato che dovendosi conservare questo deve corrispondere a p del protone quindi: $(E')/c sintheta=mv_p sinphi$ da cui ricavo phi.
Potrebbe andare bene? Purtroppo non ho la soluzione numerica sul testo, però vorrei sapere se sia un ragionamento condivisibile.
Ringrazio molto il paziente lettore/salvatore
Risposte
Ok mi torna .Grazie.
.Grazie.
Chiedo scusa per l'OT, però leggo spessissimo l'utilizzo degli ordini in fisica e non capisco bene come funzioni e vorrei provare a chiedere @lampo:
In analisi sto affrontando gli o-piccoli e la relativa 'algebra', ho imparato a dimostrare che ad es. $x^2=o(x^2), x->0$ mentre se x->oo $x^m=o(x^n), n>m$
Ma non capisco come si sfrutti nei così detti 'ordini', ho inteso che v_p sia in questo caso come una x:
Sia $1+ x^2 ( 1+ x^2 + O(x^4)) = 1+ x^2 + O(x^6)$
Come mai rimane x^6 rispetto $x^4$, inolte non dipende se x->oo o a 0? Molte grazie
In analisi sto affrontando gli o-piccoli e la relativa 'algebra', ho imparato a dimostrare che ad es. $x^2=o(x^2), x->0$ mentre se x->oo $x^m=o(x^n), n>m$
Ma non capisco come si sfrutti nei così detti 'ordini', ho inteso che v_p sia in questo caso come una x:
Sia $1+ x^2 ( 1+ x^2 + O(x^4)) = 1+ x^2 + O(x^6)$
Come mai rimane x^6 rispetto $x^4$, inolte non dipende se x->oo o a 0? Molte grazie
@ massimino
Te lo ha già detto e ripetuto Lampo.
Te lo ha già detto e ripetuto Lampo.
di conseguenza espandendo nel limite non relativistico (vp << 1) al primo ordine la radice ....
PS: correggo una svista
"moenia":
Chiedo scusa per l'OT, però leggo spessissimo l'utilizzo degli ordini in fisica e non capisco bene come funzioni e vorrei provare a chiedere @lampo:
In analisi sto affrontando gli o-piccoli e la relativa 'algebra', ho imparato a dimostrare che ad es. $x^2=o(x^2), x->0$ mentre se x->oo $x^m=o(x^n), n>m$
Ma non capisco come si sfrutti nei così detti 'ordini', ho inteso che v_p sia in questo caso come una x:
Sia $1+ x^2 ( 1+ x^2 + O(x^4)) = 1+ x^2 + O(x^6)$
Come mai rimane x^6 rispetto $x^4$, inolte non dipende se x->oo o a 0? Molte grazie
ciao,
nella scrittura ho usato la notazione di O-grande - molto informalmente, diciamo "termini dell'ordine di ..." in un certo limite. In questo caso, trattandosi di un limite di basse velocità, si intende il limite di $v -> 0$ (chiaramente il limite in cui esegui la tua stima dipende dal contesto, come giustamente scrivi).
Quindi, sempre molto informalmente, moltiplicare per $v$ un termine che è $O(v^2)$ (per es. $4 v^2 + 5 v + 1 $ significa ottenere un termine che è $O(v^3)$.
Ma facciamo un po' più i formali - prima che i laureati in math qui mi crocifiggano - e vediamo un po' con gli o-piccoli (che riesco a maneggiare più formalmente).
Innanzitutto osserva che $x^2$ non è un $o(x^2)$. Per definizione, diciamo che una funzione g(x) è $o(x)$ nel limite di $x->0$ se $\frac{g(x)}{x} -> 0$. Sempre considerando x tendente a zero, $x^3$ è un o-piccolo di $x^2$, ma $x^2$ (oppure $x^2 + x^3$) non è $o(x^2)$ in quanto applicando la definizione si ottiene un limite pari ad 1.
Detto questo, considera il prodotto $x^2 o(x^4)$. Hai, nel limite $x->0$,
$$
\frac{x^2 o(x^4)}{x^6} = \frac{o(x^4)}{x^4} -> 0
$$
per def. di $o(x^4$). Per cui si dimostra così formalmente che $x^2 o(x^4) = o(x^6)$.
Immagino che esista una dimostrazione simile per il caso di O-grande che usa la definizione rigorosa, ma all'atto pratico vale l'interpretazione sopra.
Spiegazione davvero molto utile e che mi ha permesso di capire meglio l'utilizzo pratico che è quello che succede in fisica e che cercavo.
Ci sono solo due punti che volevo chiarirmi meglio:
1) La prima che non capisco bene è l'uso di O-grande. Anche il mio professore di meccanica usa O anziché o, tuttavia O-grande dovrebbe dire che quel limite (il rapporto della definzione che hai dato) tenderebbe a un $l$ nei reali estesi (cioè anche infinito) quindi in generale anche diverso da zero (come invece è l'opiccolo) e questo non capisco perché renda gli "ordini di.." trascurabili, propriamente gli unici trascurabili mi sembrano gi o-piccoli e non i grandi, proprio perché l può essere diverso da zero.
2) Il secondo è che mi torna molto bene l'o-piccolo nel nostro esempio sia $o(x^6)$. però il mio dubbio è che sviluppando il prodotto avrei: $1+x^2+x^4+o(x^6)$ da cui essendo x^4 mandato a zero da x^2 nel limite del rapporto allora posso scrivere: $1+x^2+o(x^2)+o(x^6)$ quindi mi sembrava che dalla somma dei due opiccoli risultasse $1+x^2+o(x^2)$.
Ci sono solo due punti che volevo chiarirmi meglio
:1) La prima che non capisco bene è l'uso di O-grande. Anche il mio professore di meccanica usa O anziché o, tuttavia O-grande dovrebbe dire che quel limite (il rapporto della definzione che hai dato) tenderebbe a un $l$ nei reali estesi (cioè anche infinito) quindi in generale anche diverso da zero (come invece è l'opiccolo) e questo non capisco perché renda gli "ordini di.." trascurabili, propriamente gli unici trascurabili mi sembrano gi o-piccoli e non i grandi, proprio perché l può essere diverso da zero.
2) Il secondo è che mi torna molto bene l'o-piccolo nel nostro esempio sia $o(x^6)$. però il mio dubbio è che sviluppando il prodotto avrei: $1+x^2+x^4+o(x^6)$ da cui essendo x^4 mandato a zero da x^2 nel limite del rapporto allora posso scrivere: $1+x^2+o(x^2)+o(x^6)$ quindi mi sembrava che dalla somma dei due opiccoli risultasse $1+x^2+o(x^2)$.
"moenia":
2) Il secondo è che mi torna molto bene l'o-piccolo nel nostro esempio sia $o(x^6)$. però il mio dubbio è che sviluppando il prodotto avrei: $1+x^2+x^4+o(x^6)$ da cui essendo x^4 mandato a zero da x^2 nel limite del rapporto allora posso scrivere: $1+x^2+o(x^2)+o(x^6)$ quindi mi sembrava che dalla somma dei due opiccoli risultasse $1+x^2+o(x^2)$.
hai in parte ragione, infatti seguendo i conti che ho scritto vedo ora che mi sono perso il termine $v_p^4$.
In realtà, per quello che mi interessava (avere solo il primo ordine dello sviluppo) avrei dovuto usare come resto $O(v_p^3)$ (appunto perché voglio trascurare completamente $v_p^4$, $v_p^6$ ... e concentrarmi solo sul termine dominante nel limite NR).
Edito il post per coprire il misfatto
Però non mi quadra il tuo conto con gli opiccoli ...
$$
1 + \frac{v_p^2}{1-v_p^2} = v_p^2 (1 + v_p^2 + o(v_p^2)) = 1+ v_p^2 + v_p^4 + o(v_p^4)
$$
o al massimo il "resto" poteva essere (stima più precisa) un $o(v_p^5)$ ma non $o(v_p^6)$. Il punto è che stai dicendo che la tua stima è corretta fino a $v_p^6$ compreso (poiché il resto è un qualcosa che va a zero più velocemente di $v_p^6$) però in realtà lo sviluppo in serie di quella funzione una potenza di $v_p^6$ ce l'ha https://www.wolframalpha.com/input/?i=S ... %2C6%7D%5D
Nell'ultimo passaggio dici "me ne frego dei termini che vanno a zero più velocemente di $x^2$" e quindi l'errore che hai fatto prima sparisce perché lo inglobi nell'o-piccolo.
"moenia":
non capisco perché renda gli "ordini di.." trascurabili
certo, $O(x)$ non è trascurabile per definizione rispetto a x - è corretto quanto noti.
(continuiamo a considerare l'esempio $x->0$)
Di conseguenza, non troverai mai scritture come $x + O(x)$ - perché scrivere una cosa del genere piuttosto che solo $O(x)$? - ma piuttosto $x + O(x^2)$. Ma l'informazione che ti dà Ogrande in questo caso è che, appunto, il resto $O(x^2)$ è "dell'ordine di $x^2$" e quindi trascurabile rispetto a $x$.
Però ho qualche dubbio sul fatto che "l" possa essere infinito: https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation
Anche perché che senso ha un upper bound infinito in questo contesto?
Non pensavo che avrei rotto così tanto le scatole, tuttavia aprire un nuovo post credo spezzetterebe inutilmente il discorso anche per futuri lettori. Quindi chiedo scusa per il mio errore di valutazione 
.
Rispondo alle tue utili osservazioni:
Hai più che ragione, mi sono confuso. Non può.
Giunti a $1+x^2+x^4+o(x^6)$ ho solo notato che $x^4$ è di fatto dimostrabile essere un $o(x^2)$, quindi
$1+x^2+o(x^2)+o(x^6)$. (ho scelto x^2 perché tanto voglio trascurare almeno fino a x^3).
D'altra parte $o(x^6)$ è un $o(x^2)$ quindi esula solo $o(x^2)$.
QUindi $1+x^2+o(x^2)$
Sbaglio? Mille grazie ancora per la pazienza!
PS: ho visto che hai editato mentre scrivevo... rileggo
.Rispondo alle tue utili osservazioni:
Però ho qualche dubbio sul fatto che "l" possa essere infinito
Hai più che ragione, mi sono confuso. Non può.
Però non mi quadra il tuo conto con gli opiccoli ...
Giunti a $1+x^2+x^4+o(x^6)$ ho solo notato che $x^4$ è di fatto dimostrabile essere un $o(x^2)$, quindi
$1+x^2+o(x^2)+o(x^6)$. (ho scelto x^2 perché tanto voglio trascurare almeno fino a x^3).
D'altra parte $o(x^6)$ è un $o(x^2)$ quindi esula solo $o(x^2)$.
QUindi $1+x^2+o(x^2)$
Sbaglio?
Mille grazie ancora per la pazienza!PS: ho visto che hai editato mentre scrivevo... rileggo
Dovrei averti risposto nell'edit del precedente messaggio (scusami ma ho la sindrome da invio-ed-edit ossessivo-compulsivo)
Sì, più o meno ci sono, però dato che so che voglio trascurare almeno fino a $x^2$ escluso allora mi son detto, tanto vale prendere un o-piccolo fino a $x^2$ ($o(x^2)$) così che esso mi ingoloba l'errore fino allìesponente di $x^3$.
Questo sarebbe errato?
Questo sarebbe errato?
Non è errato il passaggio che ti porta da: $ 1+x^2+x^4+o(x^6) $
a: $ 1+ x^2 + o(x^2)$
ma questo:
$ 1 + \frac{x^2}{1-x^2} = 1+x^2+x^4+o(x^6) $
questo è sbagliato, in quanto lo sviluppo in serie di potenze un termine in $x^6$ ce l'ha, e $x^6$ non è un $o(x^6)$.
a: $ 1+ x^2 + o(x^2)$
ma questo:
$ 1 + \frac{x^2}{1-x^2} = 1+x^2+x^4+o(x^6) $
questo è sbagliato, in quanto lo sviluppo in serie di potenze un termine in $x^6$ ce l'ha, e $x^6$ non è un $o(x^6)$.
Che somaro mi ero impuntato guardando il dito ma non dove.
Hai ragionissima ovviamente. Grazie e scusa l'ottusaggine.
mi ero impuntato guardando il dito ma non dove.Hai ragionissima ovviamente. Grazie e scusa l'ottusaggine.
Nulla di cui scusarsi 
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