Come risolverlo in maniera più formale?

[yessa1]

Ho svolto questo esercizio ma non sono molto soddisfatto nel modo in cui l'ho portato a termine.



Ho detto data la simmetria $E_y=0$ e quindi studio solo sull'asse x, avendo posto il sistema di riferimento in una sfera.
(Qui vorrei già dimostrare la nullità sulle y con qualcosa di più formale ma non mi è venuto in mente nulla)

Inoltre sull'asse x non funziona qualcosa, infatti ho sfruttato Gauss

$E=\rho/(3\epsilon)(r_1-r_2)$ a seconda dei punti r1 e r2 variano, inoltre se ho centrato gli assi nella sfera (pedice) 1 avrei che

$r_2=d-x$ con x punto in esame

Da cui essendo $r_1=x$

$E=\rho/(3\epsilon)(x-(d-x))$

che non è proprio il risultato (ho un -2x di troppo), eppure sarebbe giusto se $r_2=x-d$ ma non mi sembra il raggio corretto

[RenzoDF]

Devi semplicemente osservare che nei punti dell'intersezione, oltre che a trovarti internamente ad antrambe le sfere e quindi con campi direttamente proporzionali ai due generici raggi r1 e r2 dal centro delle sfere, vale sempre la relazione $\vec r_1-\vec r_2=d \ \hat x$, in altre parole la differenza è vettoriale, non scalare

$\vec E=\rho/(3\epsilon_0)(\vec r_1-\vec r_2)=(\rho\ d)/(3\epsilon_0) \ \hat x + 0 \ \hat y $

NB Il testo ha ipotizzato che la sfera carica positivamente si trovi a destra di quella carica negativamente e quindi

$\vec r_1-\vec r_2=- d \ \hat x$

[yessa1]

Edito, avevo fatto un errore...

Devi semplicemente osservare che nei punti dell'intersezione, oltre che a trovarti internamente ad antrambe le sfere e quindi con campi direttamente proporzionali ai due generici raggi r1 e r2 dal centro delle sfere, vale sempre la relazione $\vec r_1-\vec r_2=d \ \hat x$

Ok quindi dici che basta la dimostrazione grafica dato che sono due vettori che accodati danno proprio la differenza di valore modulo "d"?
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Però non ci sono tanto su $\vec r_1-\vec r_2=d \ \hat x$

Perché se volessi ragionare scalarmente dovrebbe tornarmi in modulo da tale differenza: $x−(d−x)$ il valore in modulo di $\vecd$ cosa che palesemente non accadrà mai

Anche perché numericamente non tornerebbe molto, mettiamo di avere d=10 x=5 mi aspetto per simmetria campo nullo, e infatti

$E=\rho/(3\epsilon)(5-(10-5))=0$

ma se sfruttassi l'equazione vettoriale:

$(\rho\ d)/(3\epsilon_0) \ \hat x$ sostituendo in d il valore 10, cioè il suo modulo, troverei un valore sbaglaito di $|\vecE|$.