Come risolverlo in maniera più formale?
Ho svolto questo esercizio ma non sono molto soddisfatto nel modo in cui l'ho portato a termine.

Ho detto data la simmetria $E_y=0$ e quindi studio solo sull'asse x, avendo posto il sistema di riferimento in una sfera.
(Qui vorrei già dimostrare la nullità sulle y con qualcosa di più formale ma non mi è venuto in mente nulla)
Inoltre sull'asse x non funziona qualcosa, infatti ho sfruttato Gauss
$E=\rho/(3\epsilon)(r_1-r_2)$ a seconda dei punti r1 e r2 variano, inoltre se ho centrato gli assi nella sfera (pedice) 1 avrei che
$r_2=d-x$ con x punto in esame
Da cui essendo $r_1=x$
$E=\rho/(3\epsilon)(x-(d-x))$
che non è proprio il risultato (ho un -2x di troppo), eppure sarebbe giusto se $r_2=x-d$ ma non mi sembra il raggio corretto

Ho detto data la simmetria $E_y=0$ e quindi studio solo sull'asse x, avendo posto il sistema di riferimento in una sfera.
(Qui vorrei già dimostrare la nullità sulle y con qualcosa di più formale ma non mi è venuto in mente nulla)
Inoltre sull'asse x non funziona qualcosa, infatti ho sfruttato Gauss
$E=\rho/(3\epsilon)(r_1-r_2)$ a seconda dei punti r1 e r2 variano, inoltre se ho centrato gli assi nella sfera (pedice) 1 avrei che
$r_2=d-x$ con x punto in esame
Da cui essendo $r_1=x$
$E=\rho/(3\epsilon)(x-(d-x))$
che non è proprio il risultato (ho un -2x di troppo), eppure sarebbe giusto se $r_2=x-d$ ma non mi sembra il raggio corretto
Risposte
Devi semplicemente osservare che nei punti dell'intersezione, oltre che a trovarti internamente ad antrambe le sfere e quindi con campi direttamente proporzionali ai due generici raggi r1 e r2 dal centro delle sfere, vale sempre la relazione $\vec r_1-\vec r_2=d \ \hat x$, in altre parole la differenza è vettoriale, non scalare
$\vec E=\rho/(3\epsilon_0)(\vec r_1-\vec r_2)=(\rho\ d)/(3\epsilon_0) \ \hat x + 0 \ \hat y $
NB Il testo ha ipotizzato che la sfera carica positivamente si trovi a destra di quella carica negativamente e quindi
$\vec r_1-\vec r_2=- d \ \hat x$
$\vec E=\rho/(3\epsilon_0)(\vec r_1-\vec r_2)=(\rho\ d)/(3\epsilon_0) \ \hat x + 0 \ \hat y $
NB Il testo ha ipotizzato che la sfera carica positivamente si trovi a destra di quella carica negativamente e quindi
$\vec r_1-\vec r_2=- d \ \hat x$
Edito, avevo fatto un errore...
Ok quindi dici che basta la dimostrazione grafica dato che sono due vettori che accodati danno proprio la differenza di valore modulo "d"?
------------
Però non ci sono tanto su $\vec r_1-\vec r_2=d \ \hat x$
Perché se volessi ragionare scalarmente dovrebbe tornarmi in modulo da tale differenza: $x−(d−x)$ il valore in modulo di $\vecd$ cosa che palesemente non accadrà mai
Anche perché numericamente non tornerebbe molto, mettiamo di avere d=10 x=5 mi aspetto per simmetria campo nullo, e infatti
$E=\rho/(3\epsilon)(5-(10-5))=0$
ma se sfruttassi l'equazione vettoriale:
$(\rho\ d)/(3\epsilon_0) \ \hat x$ sostituendo in d il valore 10, cioè il suo modulo, troverei un valore sbaglaito di $|\vecE|$.
Devi semplicemente osservare che nei punti dell'intersezione, oltre che a trovarti internamente ad antrambe le sfere e quindi con campi direttamente proporzionali ai due generici raggi r1 e r2 dal centro delle sfere, vale sempre la relazione $\vec r_1-\vec r_2=d \ \hat x$
Ok quindi dici che basta la dimostrazione grafica dato che sono due vettori che accodati danno proprio la differenza di valore modulo "d"?
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Però non ci sono tanto su $\vec r_1-\vec r_2=d \ \hat x$
Perché se volessi ragionare scalarmente dovrebbe tornarmi in modulo da tale differenza: $x−(d−x)$ il valore in modulo di $\vecd$ cosa che palesemente non accadrà mai
Anche perché numericamente non tornerebbe molto, mettiamo di avere d=10 x=5 mi aspetto per simmetria campo nullo, e infatti
$E=\rho/(3\epsilon)(5-(10-5))=0$
ma se sfruttassi l'equazione vettoriale:
$(\rho\ d)/(3\epsilon_0) \ \hat x$ sostituendo in d il valore 10, cioè il suo modulo, troverei un valore sbaglaito di $|\vecE|$.