Come è possibile definire il lavoro della forza d'attrito?
Io so che, dato un campo di forze $F$, il lavoro compiuto dalla forza lungo una certa traiettoria $\gamma$ è definito come l'integrale di linea di tale campo vettoriale lungo la curva $\gamma$.
Tuttavia, questa definizione ha senso nel momento in cui la forza è esprimibile come una funzione della posizione, cosa che accade, ad esempio, per la forza di gravita o quella elastica. A differenza di queste, l'attrito non dipende unicamente dalla posizione: una stessa massa $m$ potrebbe infatti risentire, in due tempi diversi ma nello stesso punto, di due forze di attrito diverse, a seconda della traiettoria che percorre.
Ma questo implica che non posso definire una funzione $F:\mathbb{R^3}\rightarrow \mathbb[R^3}$ che a ogni punto dello spazio associa la forza corrispondente, perché per uno stesso punto si potrebbero avere potenzialmente più valori della forza d'attrito, contraddicendo la definizione stessa di funzione.
Com'è possibile, dunque, definire il lavoro di una forza di attrito? Dov'è che sbaglio?
Tuttavia, questa definizione ha senso nel momento in cui la forza è esprimibile come una funzione della posizione, cosa che accade, ad esempio, per la forza di gravita o quella elastica. A differenza di queste, l'attrito non dipende unicamente dalla posizione: una stessa massa $m$ potrebbe infatti risentire, in due tempi diversi ma nello stesso punto, di due forze di attrito diverse, a seconda della traiettoria che percorre.
Ma questo implica che non posso definire una funzione $F:\mathbb{R^3}\rightarrow \mathbb[R^3}$ che a ogni punto dello spazio associa la forza corrispondente, perché per uno stesso punto si potrebbero avere potenzialmente più valori della forza d'attrito, contraddicendo la definizione stessa di funzione.
Com'è possibile, dunque, definire il lavoro di una forza di attrito? Dov'è che sbaglio?
Risposte
"siddy98":
Io so che, dato un campo di forze $F$, il lavoro compiuto dalla forza lungo una certa traiettoria $\gamma$ è definito come l'integrale di linea di tale campo vettoriale lungo la curva $\gamma$.
Tuttavia, questa definizione ha senso nel momento in cui la forza è esprimibile come una funzione della posizione
Ma chi te l'ha detto? Per esempio, se io sollevo un sasso da terra, si può definire il lavoro fatto dalla gravità (perchè è un campo di forze), ma non si può fare con il lavoro fatto da me, che non sono un campo vettoriale?
"mgrau":
Ma chi te l'ha detto?
Tutti i libri di fisica che ho consultato definiscono il lavoro come l'integrale di linea di un certo campo vettoriale (di forze).
Quale sarebbe, per te, la definizione di lavoro se non questa?
Ti ripropongo il mio caso: se sollevo un sasso, come definiamo il lavoro compiuto (da me)?
"mgrau":
Ti ripropongo il mio caso: se sollevo un sasso, come definiamo il lavoro compiuto (da me)?
Dipende.
Se portassi il sasso costantemente verso l'alto, ovvero se ti opponessi sempre alla forza peso, e supponendo di lavorare in una dimensione, potremmo associare a ogni punto di un asse scelto opportunamente la forza che eserciti sul sasso. Avremmo quindi una funzione $f(h)$ che all'altezza del sasso fa corrispondere il valore della forza che stai esercitando, e dunque un campo di forze (unidimensionale). In questo caso l'integrale di linea (ossia il lavoro) sarebbe nient'altro che l'integrale di Riemann di $f$.
La cosa cambierebbe se, per esempio, decidessi di portare prima il sasso in alto e poi rilanciarlo verso il basso, aggiungendo un contributo alla forza peso. In tal caso a una stessa altezza $h$ corrisponderebbero due possibili valori della forza che eserciti. Quindi niente funzione $f$ e niente integrale.
Similmente potresti prendere in mano il sasso e fargli compiere una traiettoria (nello spazio) a piacimento, magari passando più volte per lo stesso punto e applicando ogni volta una forza diversa.
Come lo definisci il lavoro in questi casi?
Vedo che ami complicare gli affari semplici
"mgrau":
Vedo che ami complicare gli affari semplici
Non lo faccio apposta, giuro
L'unica cosa che mi viene in mente sarebbe definire una funzione $F:(x,y,z,t) \in \mathbb{R^4}\rightarrow \mathbb{R^3}$, che ha come variabili le coordinate del punto e il tempo, e calcolare l'integrale $\int_{a}^{b} F(\gamma (t), t) \cdot \gamma '(t) dt$. Tuttavia in questo caso $F$ non sarebbe un campo...che ne dite?
Per poter calcolare l'integrale di linea non è necessario che sia possibile definire in generale il campo di forze come funzione della posizione. È sufficiente che tu conosca il vettore forza in ogni punto della specifica linea lungo la quale vuoi calcolare il lavoro. Se conosci coefficiente d'attrito e forza premente in ogni punto della traiettoria puoi fare tranquillamente il calcolo (la forza di attrito dinamico è sempre tangente alla traiettoria e opposta al verso di moto).
"mathbells":
È sufficiente che tu conosca il vettore forza in ogni punto della specifica linea lungo la quale vuoi calcolare il lavoro.
Appunto, nello stesso punto della specifica linea l'attrito potrebbe essere diverso in due istanti diversi! L'unica cosa che mi viene in mente (vedi il mio ultimo commento) è considerare la forza in funzione del tempo, $F(t)=-c\frac{\gamma '(t)}{||\gamma '(t)||}$ (dove $c$ è il prodotto tra il modulo della forza normale e il coefficiente di attrito), e poi calcolare l'integrale $\int_{a}^{b} F(t) \cdot \gamma '(t) dt$. Ma a questo punto $F$ non è più un campo, e quell'integrale non è un integrale di linea...
Non capisco perché incaponirsi con la dipendenza dal tempo. Se conosci la traiettoria (ed il verso di percorrenza), allora in un suo dato punto il vettore forza è completamente determinato. Se ripassi nello stesso punto seguendo la stessa traiettoria ( e verso) l'attrito sarà lo stesso. La dipendenza dal tempo che consideri tu non è una dipendenza esplicita, ma implicita attraverso la legge oraria, quindi del tutto ininfluente a mio avviso.
"mathbells":
Se conosci la traiettoria (ed il verso di percorrenza), allora in un suo dato punto il vettore forza è completamente determinato.
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Supponiamo che la traiettoria sia quella della foto e che il corpo la percorra andando da A fino a C. Nel punto B il corpo ci passa due volte, ma la forza di attrito è diversa ogni volta. Eppure sono date la traiettoria e il verso di percorrenza, per cui secondo me la dipendenza dal tempo è necessaria. C'è qualcosa che mi sfugge?
Capisco cosa intendi, ma comunque non vedo ambiguità: nel primo e nel secondo passaggio la forza di attrito è ben definita. Credo che il modo più semplice per risolvere la questione è osservare che siccome l'attrito è sempre tangente e opposto al moto, per calcolare il lavoro basta moltiplicare il modulo dell'attrito per la lunghezza della curva (e mettere un segno meno). In ogni caso, la parametrizzazione della curva con il tempo mi sembra una complicazione inutile.
"mathbells":
Capisco cosa intendi, ma comunque non vedo ambiguità: nel primo e nel secondo passaggio la forza di attrito è ben definita.
Sicuramente è ben definita, ma non può essere scritta come funzione dello spazio! E quindi che integrale di linea calcoli?
per calcolare il lavoro basta moltiplicare il modulo dell'attrito per la lunghezza della curva (e mettere un segno meno).
E come giustifichi questo risultato in maniera matematicamente rigorosa senza scrivere la forza in funzione del tempo?
In quest'ultimo caso io scriverei (sempre assumendo che sia giustificato poter scrivere il lavoro nel modo che ho specificato nel mio post precedente), definendo $u(t)=\frac{\gamma '(t)}{||\gamma '(t)||} $ (ossia come il versore tangente) e $c$ come prima,
$$L=\int_{a}^{b} F(t)\cdot \gamma '(t) dt=c\int_{a}^{b} u(t) \cdot \gamma '(t) dt=c\int_{a}^{b} ||\gamma '(t)||dt=c\cdot lunghezza(Im \gamma)$$
La terza uguaglianza è giustificata dal fatto che $\gamma '(t) $ e $u(t)$ sono paralleli, e quindi il loro prodotto scalare è il prodotto dei loro moduli, mentre l'ultima è una formula che si dimostra indipendentemente.
Tu come scriveresti $F$ se non in funzione del tempo? Come procederesti nella dimostrazione? (parlo di una dimostrazione formale, non discorsiva, euristica o comunque approssimativa)
In ogni caso, la parametrizzazione della curva con il tempo mi sembra una complicazione inutile.
Non capisco perché dovrebbe essere una complicazione se nella definizione stessa di integrale di linea si chiama in causa una parametrizzazione...
Grazie in ogni caso per la pazienza
@ siddy98
Hai una qualche nozione di meccanica razionale? Se consideri un corpo puntiforme di massa $m$ soggetto alla forza peso e vincolato a muoversi su una guida circolare verticale scabra di raggio $r$ e coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$, è possibile scrivere l'equazione differenziale che ne governa l'evoluzione temporale senza rinunciare a definire il lavoro come la circuitazione della forza, campo o non campo che sia. Poiché il corpo puntiforme può trovarsi nello stesso punto della guida in istanti diversi, soggetto, di volta in volta, a forze di attrito diverse, il problema proposto rappresenta un esempio concreto in cui cimentarsi. Anche se, purtroppo, lo studio è reso complicato dal dover considerare il coefficiente di attrito statico $\mu_s$ in relazione alla possibilità che il corpo, invece di invertire il verso del moto, rimanga fermo.
Hai una qualche nozione di meccanica razionale? Se consideri un corpo puntiforme di massa $m$ soggetto alla forza peso e vincolato a muoversi su una guida circolare verticale scabra di raggio $r$ e coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$, è possibile scrivere l'equazione differenziale che ne governa l'evoluzione temporale senza rinunciare a definire il lavoro come la circuitazione della forza, campo o non campo che sia. Poiché il corpo puntiforme può trovarsi nello stesso punto della guida in istanti diversi, soggetto, di volta in volta, a forze di attrito diverse, il problema proposto rappresenta un esempio concreto in cui cimentarsi. Anche se, purtroppo, lo studio è reso complicato dal dover considerare il coefficiente di attrito statico $\mu_s$ in relazione alla possibilità che il corpo, invece di invertire il verso del moto, rimanga fermo.
"anonymous_0b37e9":
Hai una qualche nozione di meccanica razionale?
No, sono alle prese con Fisica 1.
Senza entrare nel dettaglio, il problema proposto si risolve determinando il lavoro della forza di attrito incognita in funzione di $\theta(t)$ e $dot\theta(t)$. Solo dopo aver determinato $\theta(t)$, integrando l'equazione del moto, è possibile calcolare esplicitamente il lavoro della forza di attrito sostituendo la soluzione e parametrizzando in funzione del tempo (si tratta comunque della circuitazione di una forza). Il tuo ultimo messaggio mi sembra più che pertinente.
"siddy98":
[quote="mathbells"]Capisco cosa intendi, ma comunque non vedo ambiguità: nel primo e nel secondo passaggio la forza di attrito è ben definita.
Sicuramente è ben definita, ma non può essere scritta come funzione dello spazio! E quindi che integrale di linea calcoli?
per calcolare il lavoro basta moltiplicare il modulo dell'attrito per la lunghezza della curva (e mettere un segno meno).
E come giustifichi questo risultato in maniera matematicamente rigorosa senza scrivere la forza in funzione del tempo?
[/quote]
Provo a rispondere, riprendendo i calcoli fatti da te più sopra (cambio un po' la notazione). Sia $\gamma$ la traiettoria del punto e $\vec A=mg\mu_D\hat a$ la forza di attrito, dove $\hat a$ è il versore tangente alla traiettoria, orientato nel verso del moto. Allora il lavoro $L$ si scrive
\(\displaystyle L=\int_{\gamma}\vec A\cdot d\vec r=-mg\mu_D\int_\gamma\hat a\cdot d\vec r \)
Ora, il versore \(\displaystyle \hat a \) è in realtà una funzione del punto $\vec r$ dello spazio, quindi è \(\displaystyle \hat a (\vec r) \) e tu, giustamente, osservi che \(\displaystyle \hat a (\vec r) \) non è una funzione ben definita nel caso di traiettoria intrecciata, poiché nel punto di "intreccio" tale funzione è palindroma (ha due valori diversi) e quindi di fatto non è una funzione. Per risolvere il problema, proponi di parametrizzare con il tempo in modo che la funzione \(\displaystyle \hat a (t) \) è ora ben definita. Su questo sono d'accordo con te. Anzi, dirò di più e cioè che anche \(\displaystyle d\vec r \) non è ben definito nel punto di intreccio. Io, però, mi chiedo due cose:
1) è davvero necessario parametrizzare?
Osservo che il prodotto scalare \(\displaystyle \hat a\cdot d\vec r \) è in ogni punto pari a $dr$ poiché il versore e l'elemento infinitesimo di traiettoria sono sempre paralleli (anche nel punto di intreccio) e quindi, sappiamo già a priori che, qualunque sia la parametrizzazione, si avrà
\(\displaystyle \int_\gamma\hat a\cdot d\vec r=\int_\gamma dr \)
e l'ultimo integrale è per definizione la lunghezza di $\gamma$. Dunque: a che serve parametrizzare? Per rigore matematico? Credo che sia inutile poiché il risultato del calcolo non dipende dalla parametrizzazione, tanto più che che sappiamo già quale sarà il risultato
2) ammesso che sia necessario parametrizzare, mi lascia perplesso la scelta di parametrizzare con il tempo, poiché in tal caso sarebbe necessario conoscere la legge oraria del moto, cosa che invece è inutile poiché il lavoro fatto dall'attrito non dipende certo dalla legge oraria con cui la traiettoria viene percorsa. Parametrizzare con il tempo quindi è una richiesta pesante ma anche del tutto non necessaria. Proprio perché il risultato non dipende dalla parametrizzazione di $\gamma$, è allora preferibile scegliere un qualsiasi altro parametro che renda matematicamente più semplice la parametrizzazione stessa (ad esempio, nel caso di una traiettoria circolare percorsa con una legge oraria complicata, si potrebbe sempre scegliere la parametrizzazione temporale che si avrebbe nel caso del moto circolare uniforme, che è molto semplice).
In conclusione, sono d'accordo con te che se vuoi a tutti i costi esplicitare il versore tangente alla traiettoria come funzione, allora non si può scegliere come variabile indipendente il punto dello spazio, ma è necessario un parametro. Non sono d'accordo, però, nello scegliere il tempo come parametro (nel senso di usare la reale legge oraria) poiché ciò sarebbe, in generale, inutilmente complicato e quindi è meglio prendere un qualsiasi altro parametro. Rimango comunque dell'idea che non sia necessario parametrizzare, ma magari mi sbaglio...
A proposito dell'esempio che ho proposto, senza adottare il formalismo lagrangiano e limitandosi a considerare, per semplicità, il caso in cui $[-\pi/2 lt \theta lt \pi/2]$:
$[veca=rddot\thetavect+rdot\theta^2vecn]$
$[vecP=-mgsin\thetavect-mgcos\thetavecn] ^^ [vecR=Rvecn] ^^ [vec(F_a)=-\mu_dRsign[dot\theta]vect]$
$[mrddot\thetavect+mrdot\theta^2vecn=-mgsin\thetavect-mgcos\thetavecn+Rvecn-\mu_dRsign[dot\theta]vect] rarr$
$rarr [mrddot\theta=-mgsin\theta-\mu_dRsign[dot\theta]] ^^ [mrdot\theta^2=-mgcos\theta+R]$
$[R=mrdot\theta^2+mgcos\theta] rarr [mrddot\theta=-mgsin\theta-\mu_d(mrdot\theta^2+mgcos\theta)sign[dot\theta]]$
In definitiva, per l'equazione differenziale del moto:
$ddot\theta=-g/rsin\theta-\mu_d(dot\theta^2+g/rcos\theta)sign[dot\theta]$
In generale:
$L[vec(F_a)]=\int_(t_1)^(t_2)-\mu_dmr^2dot\theta(dot\theta^2+g/rcos\theta)sign[dot\theta]dt$
Limitandosi, per semplicità, a calcolare il lavoro della forza di attrito in una fase di moto antiorario:
$[dot\theta gt 0] rarr [L[vec(F_a)]=\int_(t_1)^(t_2)-\mu_dmr^2dot\theta(dot\theta^2+g/rcos\theta)dt]$
Insomma, si è naturalmente condotti a calcolare una circuitazione parametrizzando in funzione del tempo.
@ mathbells
Ciao. Non ho ben compreso come intendi semplificare il calcolo dell'integrale di cui sopra utilizzando un parametro diverso dal tempo. Sempre che ti stessi riferendo al caso generale e non solo a un caso riconducibile a quello proposto da siddy98, nel quale, per ovvi motivi, l'integrale medesimo nemmeno è necessario.
$[veca=rddot\thetavect+rdot\theta^2vecn]$
$[vecP=-mgsin\thetavect-mgcos\thetavecn] ^^ [vecR=Rvecn] ^^ [vec(F_a)=-\mu_dRsign[dot\theta]vect]$
$[mrddot\thetavect+mrdot\theta^2vecn=-mgsin\thetavect-mgcos\thetavecn+Rvecn-\mu_dRsign[dot\theta]vect] rarr$
$rarr [mrddot\theta=-mgsin\theta-\mu_dRsign[dot\theta]] ^^ [mrdot\theta^2=-mgcos\theta+R]$
$[R=mrdot\theta^2+mgcos\theta] rarr [mrddot\theta=-mgsin\theta-\mu_d(mrdot\theta^2+mgcos\theta)sign[dot\theta]]$
In definitiva, per l'equazione differenziale del moto:
$ddot\theta=-g/rsin\theta-\mu_d(dot\theta^2+g/rcos\theta)sign[dot\theta]$
In generale:
$L[vec(F_a)]=\int_(t_1)^(t_2)-\mu_dmr^2dot\theta(dot\theta^2+g/rcos\theta)sign[dot\theta]dt$
Limitandosi, per semplicità, a calcolare il lavoro della forza di attrito in una fase di moto antiorario:
$[dot\theta gt 0] rarr [L[vec(F_a)]=\int_(t_1)^(t_2)-\mu_dmr^2dot\theta(dot\theta^2+g/rcos\theta)dt]$
Insomma, si è naturalmente condotti a calcolare una circuitazione parametrizzando in funzione del tempo.
@ mathbells
Ciao. Non ho ben compreso come intendi semplificare il calcolo dell'integrale di cui sopra utilizzando un parametro diverso dal tempo. Sempre che ti stessi riferendo al caso generale e non solo a un caso riconducibile a quello proposto da siddy98, nel quale, per ovvi motivi, l'integrale medesimo nemmeno è necessario.
Comunque, i libri di fisica propongono sempre quella definizione per il lavoro perché in fisica "avanzata" non esistono forze di attrito, né tantomeno forze in generale, ma solo campi in genere sempre conservativi (e anche se non lo sono, si trova il modo di renderli tali). Bella la vita così.
@ mathbells
Ho riletto con più attenzione il tuo ultimo contributo. Credo proprio ti stessi riferendo al caso proposto da siddy98. Come non detto.
Per essere precisi, solo se non è necessario calcolare esplicitamente la lunghezza della curva.
Immagino che ti stia riferendo a questa:
$[dot\theta gt 0] rarr [L[vec(F_a)]=\int_(t_1)^(t_2)-\mu_dmr^2dot\theta(dot\theta^2+g/rcos\theta)dt]$
Ad ogni modo, mi sento di spezzare una lancia a favore di siddy98. Anche se ai più, me compreso, può sembrare piuttosto pedante la discussione proposta, non bisogna dimenticare che trattasi di uno studente alle prime armi. Ce ne fossero di studenti così desiderosi di formalizzare rigorosamente. Lo dico soprattutto a me stesso che, nel mio primo messaggio, in parte modificato, avevo scritto di sue "sterili elucubrazioni".
Ho riletto con più attenzione il tuo ultimo contributo. Credo proprio ti stessi riferendo al caso proposto da siddy98. Come non detto.
"anonymous_0b37e9":
Sempre che ti stessi riferendo al caso generale e non solo a un caso riconducibile a quello proposto da siddy98, nel quale, per ovvi motivi, l'integrale medesimo nemmeno è necessario.
Per essere precisi, solo se non è necessario calcolare esplicitamente la lunghezza della curva.
"Vulplasir":
Comunque, i libri di fisica propongono sempre quella definizione per il lavoro ...
Immagino che ti stia riferendo a questa:
$[dot\theta gt 0] rarr [L[vec(F_a)]=\int_(t_1)^(t_2)-\mu_dmr^2dot\theta(dot\theta^2+g/rcos\theta)dt]$
Ad ogni modo, mi sento di spezzare una lancia a favore di siddy98. Anche se ai più, me compreso, può sembrare piuttosto pedante la discussione proposta, non bisogna dimenticare che trattasi di uno studente alle prime armi. Ce ne fossero di studenti così desiderosi di formalizzare rigorosamente. Lo dico soprattutto a me stesso che, nel mio primo messaggio, in parte modificato, avevo scritto di sue "sterili elucubrazioni".
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