Come calcolare il lavoro del ciclo Otto dal punto di vista matematico?
Ciao a tutti ragazzi, sono Gabriele e sono alle prese con la maturità e ho deciso di incentrare il mio percorso sull'automobile.
Quindi avevo deciso di portare in fisica il funzionamento del ciclo Otto e in matematica il calcolo del lavoro del ciclo tramite gli integrali.
Come faccio a calcolare le due funzioni adiabatiche?
Spero mi possiate dare una mano
Quindi avevo deciso di portare in fisica il funzionamento del ciclo Otto e in matematica il calcolo del lavoro del ciclo tramite gli integrali.
Come faccio a calcolare le due funzioni adiabatiche?
Spero mi possiate dare una mano
Risposte
Supponendo di utilizzare gas perfetto hai $PV=mRT$, essendo adiabatiche hai P=mrT/V, e quindi essendo il lavoro $dL=PdV$, hai $dL=mRT(dV)/V$, questa funzione dovresti saperla integrare
Ciao Gabriele,
nel caso della rappresentazione di un ciclo otto ideale, possiamo rappresentare le trasformazioni di compressione e espansione attraverso il principio entropico, per cui:
$dS=(\delta Q)/T + dS_(\text(gen))$
il termine $dS_(\text(gen))$ è un termine generativo. Poiché abbiamo ipotizzato un ciclo ideale allora questo termine sarà nullo. Quindi questo termine nullo implica reversibilità da parte della trasformazione.
Quindi il principio entropico per trasformazioni ideali lo scriveremo $dS=(\delta Q)/T$
Ricordando che le trasformazioni di espansione e compressione hanno carattere adiabatico, allora:
$\delta Q=0$ $,$ $dS=0$
Quindi ricapitolando in un ciclo ideale, le trasformazioni adiabatiche sono anche trasformazioni isoentropiche.
Considerando l'entropia (molare) come funzione di temperatura e volume: $\hat(S)=\hat(S)(T,\hat(V))$ possiamo esprimere l'equazione del principio entropico attraverso il suo differenziale esatto, quindi:
$d\hat(S)= ((\partial \hat(S))/(\partial T))_(\hat(V)) dT + ((\partial \hat(S))/(\partial \hat(V)))_T d \hat(V)=0$
La quale è espressa come una semplice uguaglianza facilmente integrabile: $((\partial \hat(S))/(\partial T))_(\hat(V)) dT = - ((\partial \hat(S))/(\partial \hat(V)))_T d \hat(V)$
Le derivate parziali possono essere studiate per confronto o tramite le relazioni di Maxwell...
$((\partial \hat S)/(\partial T))_(\hatV) = (c_v)/T$ $,$ $((\partial \hat S)/(\partial hat V))_T = ((\partial P)/(\partial T))_(hat V)= R /hat(V)$
Ora sostituendo nella relazione differenziale precedente ed integrando: $\int_(T_1)^(T_2)(c_v)/T dT = -\int_(\hat(V)_1)^(\hat(V)_2) R / \hat(V) d \hat (V)$
Che ti porta alla relazione per quanto riguarda una trasformazione adiabatica isoentropica: $(c_v)/R \ln((T_2)/(T_1))=\ln((V_1)/(V_2))$
Se poni $\gamma=(c_p)/(c_v)$ e se ipotizzi che sia valida l'equazione di stato dei Gas Perfetti allora vale la relazione $R=c_p-c_v$
Quindi: $T_2^((c_v)/(c_p-c_v)) V_2 = T_1^((c_v)/(c_p-c_v)) V_1$ $rarr$ $T_2^(1/(\gamma -1)) V_2 = T_1^(1/(\gamma -1)) V_1$
nel caso della rappresentazione di un ciclo otto ideale, possiamo rappresentare le trasformazioni di compressione e espansione attraverso il principio entropico, per cui:
$dS=(\delta Q)/T + dS_(\text(gen))$
il termine $dS_(\text(gen))$ è un termine generativo. Poiché abbiamo ipotizzato un ciclo ideale allora questo termine sarà nullo. Quindi questo termine nullo implica reversibilità da parte della trasformazione.
Quindi il principio entropico per trasformazioni ideali lo scriveremo $dS=(\delta Q)/T$
Ricordando che le trasformazioni di espansione e compressione hanno carattere adiabatico, allora:
$\delta Q=0$ $,$ $dS=0$
Quindi ricapitolando in un ciclo ideale, le trasformazioni adiabatiche sono anche trasformazioni isoentropiche.
Considerando l'entropia (molare) come funzione di temperatura e volume: $\hat(S)=\hat(S)(T,\hat(V))$ possiamo esprimere l'equazione del principio entropico attraverso il suo differenziale esatto, quindi:
$d\hat(S)= ((\partial \hat(S))/(\partial T))_(\hat(V)) dT + ((\partial \hat(S))/(\partial \hat(V)))_T d \hat(V)=0$
La quale è espressa come una semplice uguaglianza facilmente integrabile: $((\partial \hat(S))/(\partial T))_(\hat(V)) dT = - ((\partial \hat(S))/(\partial \hat(V)))_T d \hat(V)$
Le derivate parziali possono essere studiate per confronto o tramite le relazioni di Maxwell...
$((\partial \hat S)/(\partial T))_(\hatV) = (c_v)/T$ $,$ $((\partial \hat S)/(\partial hat V))_T = ((\partial P)/(\partial T))_(hat V)= R /hat(V)$
Ora sostituendo nella relazione differenziale precedente ed integrando: $\int_(T_1)^(T_2)(c_v)/T dT = -\int_(\hat(V)_1)^(\hat(V)_2) R / \hat(V) d \hat (V)$
Che ti porta alla relazione per quanto riguarda una trasformazione adiabatica isoentropica: $(c_v)/R \ln((T_2)/(T_1))=\ln((V_1)/(V_2))$
Se poni $\gamma=(c_p)/(c_v)$ e se ipotizzi che sia valida l'equazione di stato dei Gas Perfetti allora vale la relazione $R=c_p-c_v$
Quindi: $T_2^((c_v)/(c_p-c_v)) V_2 = T_1^((c_v)/(c_p-c_v)) V_1$ $rarr$ $T_2^(1/(\gamma -1)) V_2 = T_1^(1/(\gamma -1)) V_1$
vulplasir non avevo visto che avevi già risposto!!!
@mdonatie Non credo che quello che hai scritto sia al livello di uno studente di quinta liceo 
.
.
\( \int_a^b $\frac{1}{$\Delta$V}$\ \text{d} V \)
Quindi posso riassumere tutto come \( \int_a^b \ \text{d} L =\ \int_a^b nr$\Delta$T\frac{1}{$\Delta$V}\ \text{d} V \) con n e r che sono costanti
quindi: L=nr$\Delta$T \(\int_a^b \frac{1}{$\Delta$V}\ \text{d} V\) $\rightarrow$ L=nr$\Delta$T ln|$\Delta$V|+ c
sarebbe questa la funzione?
"Vulplasir":
Supponendo di utilizzare gas perfetto hai $PV=mRT$, essendo adiabatiche hai P=mrT/V, e quindi essendo il lavoro $dL=PdV$, hai $dL=mRT(dV)/V$, questa funzione dovresti saperla integrare
Quindi posso riassumere tutto come \( \int_a^b \ \text{d} L =\ \int_a^b nr$\Delta$T\frac{1}{$\Delta$V}\ \text{d} V \) con n e r che sono costanti
quindi: L=nr$\Delta$T \(\int_a^b \frac{1}{$\Delta$V}\ \text{d} V\) $\rightarrow$ L=nr$\Delta$T ln|$\Delta$V|+ c
sarebbe questa la funzione?
"mdonatie":
Ciao Gabriele,
nel caso della rappresentazione di un ciclo otto ideale, possiamo rappresentare le trasformazioni di compressione e espansione attraverso il principio entropico, per cui:
$dS=(\delta Q)/T + dS_(\text(gen))$
il termine $dS_(\text(gen))$ è un termine generativo. Poiché abbiamo ipotizzato un ciclo ideale allora questo termine sarà nullo. Quindi questo termine nullo implica reversibilità da parte della trasformazione.
Quindi il principio entropico per trasformazioni ideali lo scriveremo $dS=(\delta Q)/T$
Ricordando che le trasformazioni di espansione e compressione hanno carattere adiabatico, allora:
$\delta Q=0$ $,$ $dS=0$
Quindi ricapitolando in un ciclo ideale, le trasformazioni adiabatiche sono anche trasformazioni isoentropiche.
Considerando l'entropia (molare) come funzione di temperatura e volume: $\hat(S)=\hat(S)(T,\hat(V))$ possiamo esprimere l'equazione del principio entropico attraverso il suo differenziale esatto, quindi:
$d\hat(S)= ((\partial \hat(S))/(\partial T))_(\hat(V)) dT + ((\partial \hat(S))/(\partial \hat(V)))_T d \hat(V)=0$
La quale è espressa come una semplice uguaglianza facilmente integrabile: $((\partial \hat(S))/(\partial T))_(\hat(V)) dT = - ((\partial \hat(S))/(\partial \hat(V)))_T d \hat(V)$
Le derivate parziali possono essere studiate per confronto o tramite le relazioni di Maxwell...
$((\partial \hat S)/(\partial T))_(\hatV) = (c_v)/T$ $,$ $((\partial \hat S)/(\partial hat V))_T = ((\partial P)/(\partial T))_(hat V)= R /hat(V)$
Ora sostituendo nella relazione differenziale precedente ed integrando: $\int_(T_1)^(T_2)(c_v)/T dT = -\int_(\hat(V)_1)^(\hat(V)_2) R / \hat(V) d \hat (V)$
Che ti porta alla relazione per quanto riguarda una trasformazione adiabatica isoentropica: $(c_v)/R \ln((T_2)/(T_1))=\ln((V_1)/(V_2))$
Se poni $\gamma=(c_p)/(c_v)$ e se ipotizzi che sia valida l'equazione di stato dei Gas Perfetti allora vale la relazione $R=c_p-c_v$
Quindi: $T_2^((c_v)/(c_p-c_v)) V_2 = T_1^((c_v)/(c_p-c_v)) V_1$ $rarr$ $T_2^(1/(\gamma -1)) V_2 = T_1^(1/(\gamma -1)) V_1$
Grazie per la risposta ma in 5 anni non ho mai trattato il principio entropico... e considerando che tra una settimana iniziano gli esami mi sembra rischioso aggiungere carne sul fuoco... grazie mille comunque
"Vulplasir":
@mdonatie Non credo che quello che hai scritto sia al livello di uno studente di quinta liceo
ci hai preso in pieno hahahahah
Allora, no, ho sbagliato, quello che ti ho detto vale per le isoterme, non per le adiabatiche.
Nelle adiabatiche vale $pV^(gamma)$=costante.
Se te prendi una adiabatica tra lo stato A e lo stato B, allora la costante vale $p_AV_A^(gamma)$ oppure $p_BV_B^(gamma)$, quindi hai:
$p=p_AV_A^(gamma)/V^(gamma)$
$pdV=p_AV_A^(gamma)(dV)/(V^gamma)$
Integra tra A e B e ottieni il lavoro.
Nelle adiabatiche vale $pV^(gamma)$=costante.
Se te prendi una adiabatica tra lo stato A e lo stato B, allora la costante vale $p_AV_A^(gamma)$ oppure $p_BV_B^(gamma)$, quindi hai:
$p=p_AV_A^(gamma)/V^(gamma)$
$pdV=p_AV_A^(gamma)(dV)/(V^gamma)$
Integra tra A e B e ottieni il lavoro.
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