Circuito RLC. Frequenze di taglio
Buongiorno!
Ho una perplessità riguardante le pulsazioni di taglio di un circuito RLC
In un circuito RC o RL, per calcolare la pulsazione di taglio, impongo che l'attenuazione $A = \frac {V_{"uscita"}} {V_{"ingresso"}}$ sia uguale a $\frac {1} {sqrt2}$ e risolvo rispetto alla pulsazione.
Ad esempio, in un circuito RC, a seconda del bipolo scelto, avrò $\frac {R} {sqrt{R^2 + \frac {1} {omega^2 C^2}}} = \frac {1} {sqrt2}$ oppure $\frac {\frac {1} {omega C}} {sqrt{R^2 + \frac {1} {omega^2 C^2}}} = \frac {1} {sqrt2}$ e in entrambi i casi risolvendo ottengo $omega_"taglio" = \frac {1} {RC}$
In un circuito RLC, invece, quando calcolo le due pulsazioni di taglio che individuano la banda passante, ottengo risultati diversi a seconda del bipolo scelto come uscita (resistore, condensatore o induttore).
Come si spiega?
Ho una perplessità riguardante le pulsazioni di taglio di un circuito RLC
In un circuito RC o RL, per calcolare la pulsazione di taglio, impongo che l'attenuazione $A = \frac {V_{"uscita"}} {V_{"ingresso"}}$ sia uguale a $\frac {1} {sqrt2}$ e risolvo rispetto alla pulsazione.
Ad esempio, in un circuito RC, a seconda del bipolo scelto, avrò $\frac {R} {sqrt{R^2 + \frac {1} {omega^2 C^2}}} = \frac {1} {sqrt2}$ oppure $\frac {\frac {1} {omega C}} {sqrt{R^2 + \frac {1} {omega^2 C^2}}} = \frac {1} {sqrt2}$ e in entrambi i casi risolvendo ottengo $omega_"taglio" = \frac {1} {RC}$
In un circuito RLC, invece, quando calcolo le due pulsazioni di taglio che individuano la banda passante, ottengo risultati diversi a seconda del bipolo scelto come uscita (resistore, condensatore o induttore).
Come si spiega?
Risposte
Semplicemente perché la frequenza (pulsazione) di taglio, porta in questo caso particolare ad uguagliare il modulo delle impedenze dei due bipoli in serie e quindi il modulo della tensione ai morsetti degli stessi, situazione che in generale non avviene per una generica rete, dove pur avendo una funzione di trasferimento con lo stesso denominatore, ovvero gli stessi poli, avremo che il modulo della funzione di trasferimento verrà a dipendere anche dal contributo dei diversi zeri presenti a numeratore.
Ok, perfetto, quindi è normale che le frequenze di taglio dipendano dal bipolo considerato.
Ora però il mio libro definisce la "larghezza di risonanza" di un circuito RLC come la banda compresa tra le pulsazioni $omega_1$ e $omega_2$ calcolate risolvendo l'equazione $\frac {I_"circuito"} {I_"risonanza"} = \frac {1} {sqrt2}$ con
$I_"circuito" = \frac {V_0} {sqrt{R^2 + (omegaL - \frac {1} {omegaC})^2}}$
$I_"risonanza" = \frac {V_0} {R}$
Ma le pulsazioni calcolate in questo modo non dipendono dal particolare bipolo considerato (cioè dagli zeri della particolare funzione di trasferimento), poichè nell'equazione compaiono solo le correnti.
A questo punto mi viene il sospetto che la "larghezza di risonanza" e le pulsazioni $omega_1$ e $omega_2$ di cui parla il libro non abbiano niente a che vedere con le pulsazioni di taglio.
Ora però il mio libro definisce la "larghezza di risonanza" di un circuito RLC come la banda compresa tra le pulsazioni $omega_1$ e $omega_2$ calcolate risolvendo l'equazione $\frac {I_"circuito"} {I_"risonanza"} = \frac {1} {sqrt2}$ con
$I_"circuito" = \frac {V_0} {sqrt{R^2 + (omegaL - \frac {1} {omegaC})^2}}$
$I_"risonanza" = \frac {V_0} {R}$
Ma le pulsazioni calcolate in questo modo non dipendono dal particolare bipolo considerato (cioè dagli zeri della particolare funzione di trasferimento), poichè nell'equazione compaiono solo le correnti.
A questo punto mi viene il sospetto che la "larghezza di risonanza" e le pulsazioni $omega_1$ e $omega_2$ di cui parla il libro non abbiano niente a che vedere con le pulsazioni di taglio.
"v3ct0r":
Ok, perfetto, quindi è normale che le frequenze di taglio dipendano dal bipolo considerato.
O per meglio dire da quale grandezza sia considerata come ingresso e quale come uscita.
"v3ct0r":
Ora però il mio libro definisce la "larghezza di risonanza" di un circuito RLC come la banda compresa tra le pulsazioni $omega_1$ e $omega_2$ calcolate risolvendo l'equazione $\frac {I_"circuito"} {I_"risonanza"} = \frac {1} {sqrt2}$ con
$I_"circuito" = \frac {V_0} {sqrt{R^2 + (omegaL - \frac {1} {omegaC})^2}}$
$I_"risonanza" = \frac {V_0} {R}$
Ok, la "larghezza di risonananza" viene proprio definita come la differenza fra le frequenze (pulsazioni) per le quali la tensione o la corrente risulta pari a $1/\sqrt(2)$ volte il valore di picco.
"v3ct0r":
Ma le pulsazioni calcolate in questo modo non dipendono dal particolare bipolo considerato (cioè dagli zeri della particolare funzione di trasferimento), poichè nell'equazione compaiono solo le correnti.
Si, ma in questo caso il bipolo è la serie di R L e C.
"v3ct0r":
A questo punto mi viene il sospetto che la "larghezza di risonanza" e le pulsazioni $omega_1$ e $omega_2$ di cui parla il libro non abbiano niente a che vedere con le pulsazioni di taglio.
Mi correggo, ... quelle pulsazioni sono proporzionali alle frequenza di taglio relative alla tensione di ingresso e alla corrente in uscita secondo un fattore pari a R e uguali alle frequenze di taglio considerando come uscita la tensione sul resistore; la "larghezza di risonanza" diminuisce infatti al diminuire della resistenza.
Morale della favola: qui in effetti non abbiamo una funzione di trasferimento in quanto ci manca la specificazione dell'ingresso.
"RenzoDF":
Mi correggo, ... quelle pulsazioni sono proporzionali alle frequenza di taglio relative alla tensione di ingresso e alla corrente in uscita secondo un fattore pari a R e uguali alle frequenze di taglio considerando come uscita la tensione sul resistore; la "larghezza di risonanza" diminuisce infatti al diminuire della resistenza.
Ottimo, ti ringrazio, credo che questo mi abbia chiarito parecchio le idee.
Quindi, correggimi se sbaglio, la "larghezza di risonanza" e la "la larghezza di banda" (intesa come differenza tra le frequenze di taglio) sono strettamente legate fra loro, tanto da arrivare a coincidere nel caso in cui l'uscita del circuito sia il resistore.
EDIT: In effetti il libro non accenna minimamente alla funzione di trasferimento. In pratica introduce la frequenza di risonanza e poi comincia a parlare della larghezza di risonanza, facendo quel ragionamento con le correnti
Proprio così, quando si consideri come ingresso la tensione del generatore e uscita la tensione sul resistore.
Perfetto! Grazie infinite 
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