Circuito RLC e fattore di merito
Ho il seguente esercizio su cui non mi ritrovo con i risultati proposti.
Del primo non capisco proprio come fare a ridurmi a una funzione del solo Q:
Ho pesato che esendo essendo $omega$ del circuito smorzato: $omega^2=omega_0^2-R^2/(4L^2)$
indico con v la frequenza.
$(∆ν)/ν_0=(2pi(v_0-v))/v_0=(Deltaomega)/omega_0=(omega_0-sqrt(omega_0-R^2/(4L^2)))/omega_0=1-sqrt(1-R^2/(4L^2omega_0^2))$
Se il fattore di merito è $Q=1/Rsqrt(L/C)=1/(RC)omega_0$
Ma sostituito nel precedente ci darebbe:
$1-sqrt(1-R^2/(4L^2omega_0^2))$ e per quanto si maneggi rimane sempre una dipendenza anche da C.
Del secondo, ecco lo svolgimento:
Ho pensato che essendo la soluzione dell'eq. differenziale per la carica: $q=Ae^(-alphat)cos(..)$, esendo -dq/dt=I, allora derivando avrei comunque qualcosa del tipo: $Be^(-alphat)$
Ho bisogno che $Be^(-alphat)=1/5Be^0$, quindi $e^(-alphat)=1/5$ ai logaritmi: $-alphat=-ln(5)$
In definitiva $t=ln(5)/alpha$, ma $alpha=R/(2L)$
Sostituendo e facendo comparire Q: $t=ln(5)Q/(pi/nu_0omega_0^2)$ e non viene!
Secondo voi cosa sbaglio in queste due soluzioni?
Si consideri un circuito RCL in serie in condizioni di smorzamento debole. Qual è la differenzapercentuale tra la frequenza delle oscillazioni libereνdi tale circuito e la sua frequenza di risonanza ν_0 se il fattore di merito (o di qualità) e' Q= 10 ?Se la frequenza di risonanza è ν_0= 3 kHz, in quanto tempo l’ampiezza delle oscillazioni di correntediminuisce di un fattore η= 5 ?
R: $(∆ν)/ν_0= 1−sqrt(1−1/(4Q^2)= 0.13%$ , $t_η= Q/(πν_0)ln(η)= 1.7 ms
Del primo non capisco proprio come fare a ridurmi a una funzione del solo Q:
Ho pesato che esendo essendo $omega$ del circuito smorzato: $omega^2=omega_0^2-R^2/(4L^2)$
indico con v la frequenza.
$(∆ν)/ν_0=(2pi(v_0-v))/v_0=(Deltaomega)/omega_0=(omega_0-sqrt(omega_0-R^2/(4L^2)))/omega_0=1-sqrt(1-R^2/(4L^2omega_0^2))$
Se il fattore di merito è $Q=1/Rsqrt(L/C)=1/(RC)omega_0$
Ma sostituito nel precedente ci darebbe:
$1-sqrt(1-R^2/(4L^2omega_0^2))$ e per quanto si maneggi rimane sempre una dipendenza anche da C.
Del secondo, ecco lo svolgimento:
Ho pensato che essendo la soluzione dell'eq. differenziale per la carica: $q=Ae^(-alphat)cos(..)$, esendo -dq/dt=I, allora derivando avrei comunque qualcosa del tipo: $Be^(-alphat)$
Ho bisogno che $Be^(-alphat)=1/5Be^0$, quindi $e^(-alphat)=1/5$ ai logaritmi: $-alphat=-ln(5)$
In definitiva $t=ln(5)/alpha$, ma $alpha=R/(2L)$
Sostituendo e facendo comparire Q: $t=ln(5)Q/(pi/nu_0omega_0^2)$ e non viene!
Secondo voi cosa sbaglio in queste due soluzioni?
Risposte
Il fattore di merito 
Ciao 
Dovrebbe essere $Q=1/(RComega_0)$? Ho sbagliato nella trascrizione qui in effetti e poi l'ho sostituito senza riscrivermelo. Ma non mi tornava comunque anche così perché non riesco a liberarmi di C.
Dovrebbe essere $Q=1/(RComega_0)$? Ho sbagliato nella trascrizione qui in effetti e poi l'ho sostituito senza riscrivermelo. Ma non mi tornava comunque anche così perché non riesco a liberarmi di C.
"sempronino":
... Dovrebbe essere $Q=1/(RComega_0)$? ...Ma non mi tornava comunque anche così perché non riesco a liberarmi di C.
Ti ricordo che
$Q=1/(RComega_0)=(\omega_0 L)/R$
Hai ragione XD, non ne uscivo. Grazie!
mentre del secondo, a parte i calcoli e sostituendo quanto dici
torna.. ma come ragionamento e giustificazione secondo te è ragionevole?
mentre del secondo, a parte i calcoli e sostituendo quanto dici
"sempronino":
Del secondo, ecco lo svolgimento:
Ho pensato che essendo la soluzione dell'eq. differenziale per la carica: $q=Ae^(-alphat)cos(..)$, esendo -dq/dt=I, allora derivando avrei comunque qualcosa del tipo: $Be^(-alphat)$
Ho bisogno che $Be^(-alphat)=1/5Be^0$, quindi $e^(-alphat)=1/5$ ai logaritmi: $-alphat=-ln(5)$
In definitiva $t=ln(5)/alpha$, ma $alpha=R/(2L)$
Sostituendo e facendo comparire Q
torna.. ma come ragionamento e giustificazione secondo te è ragionevole?
A parte andare ad usare la carica nell'equazione differenziale di un circuito ... 
... direi che il resto è più che ragionevole.
... direi che il resto è più che ragionevole.
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