Circuito rettangolare immerso in un campo d'induzione magnetica
Un circuito rettangolare rigido, di lati a e b è immerso in un campo d'induzione magnetica B
diretto lungo l’asse z, ortogonale al piano del circuito ed uscente dal foglio ( vedi figura).
Il circuito si muove a velocità costante secondo la legge oraria x(t) = v0 t
Determinare il verso di percorrenza della corrente ed il valore della forza elettromotrice indotta
nel circuito nell'istante t0 nei casi in cui:
A) B è uniforme e costante nel tempo con valore pari a B0.
B) B è uniforme ma varia nel tempo secondo la legge B(t) = Kt2
C) B è costante nel tempo ma varia rispetto a x secondo una legge B(x) = Cx
Dati: a = 10 cm, b=20 cm v0 = 2 m/s, t0= 2 s, B0= 2 T, K= 0.2T/s2, C= 0.1 T/m
Premetto che ho grosse difficoltà con gli esercizi di Fisica II dato che ho inziato da poco ad esercitarmi e sopratutto con questa tipologia qui.
A)Allora io so che la f.e.m indotta è opposta alla variazione di flusso magnetico quindi: $ (f.e.m)_a=-Phi_B=-(d(LI))/dt$ con $Phi_B=LI$ (induttanza)
Il flusso si deve per forza calcolare tramite la relazione che lo lega all'induttanza? Oppure si può calcolare tramite la relazione: $ Phi_B=int_(S) dPhi_B $ ? In questo caso essendo B uniforme e costante allora ho che $Phi_B=B*S$ con $S=a*b$ ed $B=B_0$, è corretto?
B) $Phi_B=S*Kt^2$ ?
C) Non ne ho assolutamente idea.
diretto lungo l’asse z, ortogonale al piano del circuito ed uscente dal foglio ( vedi figura).
Il circuito si muove a velocità costante secondo la legge oraria x(t) = v0 t
Determinare il verso di percorrenza della corrente ed il valore della forza elettromotrice indotta
nel circuito nell'istante t0 nei casi in cui:
A) B è uniforme e costante nel tempo con valore pari a B0.
B) B è uniforme ma varia nel tempo secondo la legge B(t) = Kt2
C) B è costante nel tempo ma varia rispetto a x secondo una legge B(x) = Cx
Dati: a = 10 cm, b=20 cm v0 = 2 m/s, t0= 2 s, B0= 2 T, K= 0.2T/s2, C= 0.1 T/m
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Premetto che ho grosse difficoltà con gli esercizi di Fisica II dato che ho inziato da poco ad esercitarmi e sopratutto con questa tipologia qui.
A)Allora io so che la f.e.m indotta è opposta alla variazione di flusso magnetico quindi: $ (f.e.m)_a=-Phi_B=-(d(LI))/dt$ con $Phi_B=LI$ (induttanza)
Il flusso si deve per forza calcolare tramite la relazione che lo lega all'induttanza? Oppure si può calcolare tramite la relazione: $ Phi_B=int_(S) dPhi_B $ ? In questo caso essendo B uniforme e costante allora ho che $Phi_B=B*S$ con $S=a*b$ ed $B=B_0$, è corretto?
B) $Phi_B=S*Kt^2$ ?
C) Non ne ho assolutamente idea.
Risposte
A) La f.e.m. indotta si può calcolare anche così: $ (f.e.m)_a=-(dPhi_B)/dt $ ?
Mmm hai davvero non pochi dubbi al riguardo, hai fatto un miscuglio di concetti notevole. Purtroppo ora ho poco tempo per scrivere tutto bene, stasera che torno se nessuno ti ha risposto ti aiuto comunque il tutto qui è ricavare le relative variazioni nel tempo dei flussi dei campi . Quella cosa che hai scritto sull'induttanza, che per metà non ha senso nè matematico nè fisico, fa capire che , secondo me, devi studiare molto meglio la teoria prima di buttarti sugli esercizi. Anche concettualmente l'autoinduzione è un'altro fenomeno che in questo caso non è contemplato visto che il problema non ti da L.
Lo dico per te, riprendi il libro e comprendi a fondo il concetto fisico e ciò che vogliono dire le relazioni matematiche che usi altrimenti la tua preparazione per l'esame diventa una sequenza infinita di procedure per risolvere certi esercizi e questo non solo è il modo sbagliato ma non ti assicura nemmeno di superare l'esame se ti trovi un problema un po' diverso.
Lo dico per te, riprendi il libro e comprendi a fondo il concetto fisico e ciò che vogliono dire le relazioni matematiche che usi altrimenti la tua preparazione per l'esame diventa una sequenza infinita di procedure per risolvere certi esercizi e questo non solo è il modo sbagliato ma non ti assicura nemmeno di superare l'esame se ti trovi un problema un po' diverso.
Hai perfettamente ragione. In effetti, avendo poco tempo, ho cercato di fare tutto il programma di Fisica II in 1 settimana circa, senza neanche ripetere. Infatti nella mia testa ho una grande confusione, oltre al fatto di non aver fissato quasi nessun concetto. Appena avrò tempo sicuramente ripeterò più e più volte la teoria. Comunque ti ringrazio per l'aiuto !
Allora la forza elettromotrice indotta è data da questa relazione: $f_i= -(dPhi_(vecB))/dt$ . Questo però solo se vi è un campo magnetico il cui flusso varia nel tempo. E il flusso del campo magnetico vale: $Phi_(vecB)=int_S(vecB*dvecS)$
A) Allora in questo caso il campo è uniforme e costante nel tempo ma siccome il circuito si muove con una velocità la cui legge oraria è: $x(t) = v_0 t$ ho che vi è una variazione di flusso che indurrà quindi una f.e.m: $Phi_(vecB)=int_S(vecB*dvecS) = B_0S => |f_i|= (dPhi_(vecB))/dt = (d/dt)*(B_0S*x(t))=B_0S(dx/dt)=B_0Sv_0$ con $S=a*b$. E' giusto?
B) $B(t)=Kt^2 => Phi_B(t)=Kt^2*S =>|f_i|= KS*(dt^2/dt)=2KSt$. E' corretto?
C) $B(x)= Cx => Phi_B(x)=Cx*S => |f_i|= CS*(dx/dx)=CS$ ?
A) Allora in questo caso il campo è uniforme e costante nel tempo ma siccome il circuito si muove con una velocità la cui legge oraria è: $x(t) = v_0 t$ ho che vi è una variazione di flusso che indurrà quindi una f.e.m: $Phi_(vecB)=int_S(vecB*dvecS) = B_0S => |f_i|= (dPhi_(vecB))/dt = (d/dt)*(B_0S*x(t))=B_0S(dx/dt)=B_0Sv_0$ con $S=a*b$. E' giusto?
B) $B(t)=Kt^2 => Phi_B(t)=Kt^2*S =>|f_i|= KS*(dt^2/dt)=2KSt$. E' corretto?
C) $B(x)= Cx => Phi_B(x)=Cx*S => |f_i|= CS*(dx/dx)=CS$ ?
A volte trovare il risultato giusto può essere complicato, ma rendersi conto se un risultato è sbagliato, in fisica è molto semplice ed è una cosa che devi sempre fare. Analisi dimensionale. Così ad occhio le dimensioni non tornano in nessuno di quei casi quindi sono sbagliati di sicuro. Nel primo ci sei andato vicino, la questione è che maltratti molto quei poveri integrali 
. Se ciò che integri ha una dipendenza dalla variabile di integrazione non puoi "portare fuori". In questo la caso la dipendenza può essere un po' nascosta ma c'è.
Il mio consiglio è scrivere il $dS=dx dy = a v dt$ ed integrare di conseguenza , in questo modo i primi due punti li dovresti trovare facilmente (anzi il primo puoi anche non integrarlo scrivendo solo i differenziali).
Per il terzo scrivi $dS=dx dy = a dx$, ed integri avendo in mente che è una $x(t)$ così alla fine sostituisci la relazione giusta per il moto in un istante generico dei due estremi e dovresti trovare il risultato corretto.
Prova, se hai problemi ne discutiamo.
. Se ciò che integri ha una dipendenza dalla variabile di integrazione non puoi "portare fuori". In questo la caso la dipendenza può essere un po' nascosta ma c'è. Il mio consiglio è scrivere il $dS=dx dy = a v dt$ ed integrare di conseguenza , in questo modo i primi due punti li dovresti trovare facilmente (anzi il primo puoi anche non integrarlo scrivendo solo i differenziali).
Per il terzo scrivi $dS=dx dy = a dx$, ed integri avendo in mente che è una $x(t)$ così alla fine sostituisci la relazione giusta per il moto in un istante generico dei due estremi e dovresti trovare il risultato corretto.
Prova, se hai problemi ne discutiamo.
Per prima cosa scusa se ti rispondo solo adesso e ti ringrazio per l'aiuto. Quindi quello che sbaglio sono gli integrali nel calcolo del flusso $Phi_B$ ?
Cioè:
A) $Phi_B=int_S(B*dS)=int_S(B*dxdy)=int_S(B*avdt)=$ ?
Se ciò che integri ha una dipendenza dalla variabile di integrazione non puoi "portare fuori"Questo lo so ma purtroppo non riesco a "vedere" questa dipendenza e non riesco a risolvere correttamente gli integrali "legati" alla fisica... Mi potresti aiutare tu, dicendomi magari come risolvere l'integrale nel primo punto ?
Cioè:
A) $Phi_B=int_S(B*dS)=int_S(B*dxdy)=int_S(B*avdt)=$ ?
Up !
Nel primo punto B è costante in tutte le variabili quindi puoi portarlo fuori. Semplicemente viene fuori una $t$ integrando e la togli derivando per quello dicevo che bastava considerare i differenziali.
Quindi:
A) $ Phi_B=int_S(B*dS)=int_S(B*dxdy)=int_S(B*avdt)=Bint_S(avdt)= Bt $ ? e quindi $ |f_i|= B*d(t)/dt=B$ ? Non riesco a capire perché integrando dovrebbe venire fuori una $t$. Sarà di sicuro una cosa stupida, ma non riesco a capirlo. $a$ e $v$ come li risolvo in questo integrale? $int adt=v(t)$ e $int vdt=x(t)$ ?
Grazie per l'aiuto !
A) $ Phi_B=int_S(B*dS)=int_S(B*dxdy)=int_S(B*avdt)=Bint_S(avdt)= Bt $ ? e quindi $ |f_i|= B*d(t)/dt=B$ ? Non riesco a capire perché integrando dovrebbe venire fuori una $t$. Sarà di sicuro una cosa stupida, ma non riesco a capirlo. $a$ e $v$ come li risolvo in questo integrale? $int adt=v(t)$ e $int vdt=x(t)$ ?
Grazie per l'aiuto !
Secondo me il problema è che devi comprendere un po' più a fondo il significato di integrale in analisi.
Come puoi scrivere $ int_S(B*avdt)=Bint_S(avdt)= Bt $ ?
$a,v$ sono più antipatici? Hai quell'integrale da svolgere, di tutta l roba che c'è dentro sai che $B$ è costante, $v$ pure te lo dice il problema, $a$ è il lato della spira che resta rigido quindi è costante nel tempo. Tutta questa roba si porta fuori non è che "sparisce".
$Bint_S(avdt)= Bavt $ quindi derivi il flusso nel tempo e ti scompare la $t$. A rigore anche nel dominio di integrazione dopo che hai sostituito l'area infinitesima con quello che ti ho scritto hai un'integrale non più su $S$ ma nel tempo (in $[0,t]$ se vuoi).
Come puoi scrivere $ int_S(B*avdt)=Bint_S(avdt)= Bt $ ?
$a,v$ sono più antipatici?
Hai quell'integrale da svolgere, di tutta l roba che c'è dentro sai che $B$ è costante, $v$ pure te lo dice il problema, $a$ è il lato della spira che resta rigido quindi è costante nel tempo. Tutta questa roba si porta fuori non è che "sparisce".$Bint_S(avdt)= Bavt $ quindi derivi il flusso nel tempo e ti scompare la $t$. A rigore anche nel dominio di integrazione dopo che hai sostituito l'area infinitesima con quello che ti ho scritto hai un'integrale non più su $S$ ma nel tempo (in $[0,t]$ se vuoi).
"Nikikinki":
... il problema è che devi comprendere un po' più a fondo il significato di integrale ...
$Bint_S(avdt)= Bavt $ quindi derivi il flusso nel tempo e ti scompare la $t$. A rigore anche nel dominio di integrazione dopo che hai sostituito l'area infinitesima con quello che ti ho scritto hai un'integrale non più su $S$ ma nel tempo (in $[0,t]$ se vuoi).
Vorresti forse sostenere che per quanto riguarda il punto A, il flusso di B attraverso S sale linearmente nel tempo
Maremma che casino...
La spira si muove nel tempo e B è costante quindi sì, il flusso nel tempo non può che aumentare, infatti più la spira si muove e più "raccoglie campo". Comunque ti ripeto che vedo molta confusione sia matematica che fisica...è importate avere chiari certi concetti di base.
Oppure guardalo così lasciando perdere l'integrale
$dF=B\cdot dS = B a v dt$ quindi $(dF)/dt= B a v $
Oppure guardalo così lasciando perdere l'integrale
$dF=B\cdot dS = B a v dt$ quindi $(dF)/dt= B a v $
Penso che RenzoDF volesse farti capire che il tuo risultato è sbagliato, non credo che lui non abbia chiari certi concetti di base 
Quello che vuoi, ma è giusto il risultato quindi... Se credi sia differente tu o RenzoDF potete tranquillamente fare il calcolo e convincermi del contrario
La spira si muove, si, ma l'area $S$ che racchiude resta immutata nel tempo (mica c'è contrazione o dilatazione relativistica 
), e se anche il campo magnetico resta immutato nel tempo (e nello spazio, come nel punto A), allora il prodotto $phi=BS$ è costante nel tempo
), e se anche il campo magnetico resta immutato nel tempo (e nello spazio, come nel punto A), allora il prodotto $phi=BS$ è costante nel tempo
Ma $S$ non è l'area della spira, non sempre almeno. Secondo il tuo ragionamento la variazione del flusso nel tempo sarebbe zero e quindi sarebbe zero anche la corrente indotta, ovvero non ci sarebbe. Alla faccia dell'induzione elettromagnetica
Ma S non è l'area della spira, non sempre almeno
E che cos'è S secondo la tua teoria dell'induzione elettromagnetica?
Non è la mia è la legge di Faraday-Neumann. Ti dico prenditi un momento e guarda bene il problema perché anche lasciando perdere le formule se c'è un campo magnetico costante ed il circuito si muove nello spazio si genera una corrente indotta nel circuito e la tua soluzione non lo prevede quindi è sbagliata per principio. Così come per un campo magnetico variabile e un circuito fermo.
Stai scherzando , vero
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