Circuito RC complesso
Nel circuito il generatore è inizialmente assente.
Poi esso viene inserito. I condensatori sono inizialmente scarichi.
La ddp del generatore è 10V.
Le resistenze sono tutte di 100 ohm.
Csx=30*10^-6 F e Cdx=50*10^-6 F.
Si calcoli la carica nei due condensatori 0.2s dopo l'inserimento del generatore.
Detta Io la corrente che scorre nel ramo centrale verso il basso, Isx quella che si dirige a sx e Idx quella che va a dx, ho ricavato le seguenti equazioni:
$ Io=Isx+Idx $
$ (Qsx)/(Csx)+(Io +Isx)R=xi $
e
$ (Qdx)/(Cdx)+(Io +Idx)R=xi $
Non riesco a risolvere nulla combinando le tre equazioni date. Non mi viene fuori la solita differenziale risolvibile dei circuiti RC banali. Grazie in anticipo.
Risposte
Premesso che quella rete è del secondo ordine, devi semplicemente ricavare le correnti nei due rami laterali in funzione delle tensioni ai morsetti dei condensatori e di quella del generatore di tensione [nota]Risolvendo il sistema da te indicato, oppure,
via sovrapposizione degli effetti o via Millman, entrambi a partire dal "circuito resistivo associato".[/nota]
In questo modo, ricordando la relazione costitutiva del bipolo condensatore \(i_C=C(\text{d}v_C/\text{d}t)\), avrai due equazioni differenziali del primo ordine che possono poi: o essere combinate per ottenere l'equazione differenziale del secondo ordine in $v_{C1}$ e/o $v_{C2}$ (o nelle rispettive $q_{C1}$ e/o $q_{C2}$), oppure (preferibilmente) essere usate per ricavare i due autovalori del sistema dalla matrice A dei coefficienti di $v_{C1}$ e/o $v_{C2}$.
Volendo procedere con il tuo sistema ti basterà sostituire $I_0$ nella seconda e terza equazione e quindi sostituire le due correnti $i_{sx}=(\text{d}q_{sx})/(\text{d}t)$ e $i_{dx}=(\text{d}q_{dx})/(\text{d}t)$ .
via sovrapposizione degli effetti o via Millman, entrambi a partire dal "circuito resistivo associato".[/nota]
In questo modo, ricordando la relazione costitutiva del bipolo condensatore \(i_C=C(\text{d}v_C/\text{d}t)\), avrai due equazioni differenziali del primo ordine che possono poi: o essere combinate per ottenere l'equazione differenziale del secondo ordine in $v_{C1}$ e/o $v_{C2}$ (o nelle rispettive $q_{C1}$ e/o $q_{C2}$), oppure (preferibilmente) essere usate per ricavare i due autovalori del sistema dalla matrice A dei coefficienti di $v_{C1}$ e/o $v_{C2}$.
Volendo procedere con il tuo sistema ti basterà sostituire $I_0$ nella seconda e terza equazione e quindi sostituire le due correnti $i_{sx}=(\text{d}q_{sx})/(\text{d}t)$ e $i_{dx}=(\text{d}q_{dx})/(\text{d}t)$ .
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