Circuito LC con induttanza oscillante
Consideriamo un circuito LC in cui C è inizialmente carico con Qo.
L'induttanza è un solenoide con N spire circolari di raggio R, rettilineo ed elastico (costante elastica k).
La lunghezza a riposo del solenoide è $ l_o $
Viene attaccata una sua estremità ad un'armatura, all'altra estremità viene agganciata una massa m.
La molla viene tirata di una lunghezza $ x_o $ .
L'induttanza vale $ L(t)=(pimu_oN^2R^2)/(l_o + x_ocos(sqrt(k/m)*t) $.
E' facile trovare l'equazione del circuito ricordando che la pulsazione di un generico circuito LC è $ 1/sqrt(LC) $ :
$ Q(t)=Q_ocos(sqrt((l_o +x_ocos(sqrt(k/m)*t))/(pimu _oN^2R^2C))*t) $.
Ho simulato col software wolphram una funzione di questo tipo in un ampio intervallo.
Mi sembra bella simmetrica ma non periodica. Dubito possa avere un periodo superiore all'intervallo considerato.
L'analisi di Fourier ci dice che qualsiasi funzione periodica si può scrivere come somma di funzioni periodiche elementari ( $ y(t)=A_1sen(w_1t) $ e $ z(t)=-A_2cos(w_2t) $ sono esempi di funzioni periodiche elementari, con pulsazione e ampiezza massima costanti).
Come faccio a dire analiticamente che la funzione del mio esercizio non è periodica? Semplicemente affermando che la pulsazione della funzione varia nel tempo (nello specifico varia in relazione con $ sqrtt $ ) e quindi non c'è modo di ricondursi ad una somma di funzioni periodiche elementari?
Infatti ho simulato una funzione simile ma senza radice: $ x(t)=2cos(3tcos(2t)) $ e anche in tal caso non trovo periodicità.
L'induttanza è un solenoide con N spire circolari di raggio R, rettilineo ed elastico (costante elastica k).
La lunghezza a riposo del solenoide è $ l_o $
Viene attaccata una sua estremità ad un'armatura, all'altra estremità viene agganciata una massa m.
La molla viene tirata di una lunghezza $ x_o $ .
L'induttanza vale $ L(t)=(pimu_oN^2R^2)/(l_o + x_ocos(sqrt(k/m)*t) $.
E' facile trovare l'equazione del circuito ricordando che la pulsazione di un generico circuito LC è $ 1/sqrt(LC) $ :
$ Q(t)=Q_ocos(sqrt((l_o +x_ocos(sqrt(k/m)*t))/(pimu _oN^2R^2C))*t) $.
Ho simulato col software wolphram una funzione di questo tipo in un ampio intervallo.
Mi sembra bella simmetrica ma non periodica. Dubito possa avere un periodo superiore all'intervallo considerato.
L'analisi di Fourier ci dice che qualsiasi funzione periodica si può scrivere come somma di funzioni periodiche elementari ( $ y(t)=A_1sen(w_1t) $ e $ z(t)=-A_2cos(w_2t) $ sono esempi di funzioni periodiche elementari, con pulsazione e ampiezza massima costanti).
Come faccio a dire analiticamente che la funzione del mio esercizio non è periodica? Semplicemente affermando che la pulsazione della funzione varia nel tempo (nello specifico varia in relazione con $ sqrtt $ ) e quindi non c'è modo di ricondursi ad una somma di funzioni periodiche elementari?
Infatti ho simulato una funzione simile ma senza radice: $ x(t)=2cos(3tcos(2t)) $ e anche in tal caso non trovo periodicità.
Risposte
"SalvatCpo":
... E' facile trovare l'equazione del circuito ricordando che la pulsazione di un generico circuito LC è $ 1/sqrt(LC) $ :
Tanto per cominciare, direi che non sia proprio facile come credi; quella pulsazione è valida solo per una rete LC tempo invariante [nota]Per vedere il perché, prova a ricavartela[/nota].
Non vedo poi come tu possa assumere che il moto $x(t)$ sia quello indicato; qui non abbiamo solo forza peso e forza elastica della molla/solenoide, ma abbiamo anche la forza elettromagnetica associata alla variazione di lunghezza del medesimo.
BTW Sarebbe possibile vedere una immagine del testo originale del problema? ... potrei non avere capito quale sia la geometria del sistema. Grazie
Non c'è nessuna forza peso (il piano è orizzontale).
L'argomento dell'esercizio non è l'elettromagnetismo (affrontato molto tempo fa), ecco perchè forse si trascura qualche particolare effetto (hai parlato di forze elettromagnetiche) che tu invece prevedi.
L'argomento è quello delle funzioni ondulatorie.
La mia domanda ha una base fisica (la situazione) ma è di carattere matematico.
Ora che ho visto il disegno e ho letto il testo ho capito meno di prima e quindi i miei “complimenti” all’autore del problema. 
Tu a dire il vero scrivevi che
Quindi la massa nella realtà non esiste.
Resta comunque il fatto che, se il coefficiente di autoinduzione L è funzione del tempo, quella pulsazione di risonanza non può essere scritta in quel modo.
Tu a dire il vero scrivevi che
Viene attaccata una sua estremità ad un'armatura, all'altra estremità viene agganciata una massa m.
Quindi la massa nella realtà non esiste.
Resta comunque il fatto che, se il coefficiente di autoinduzione L è funzione del tempo, quella pulsazione di risonanza non può essere scritta in quel modo.
Dunque l'indicazione di sfruttare l'equazione classica del circuito LC non é consistente cioé non posso esprimere la pulsazione di risonanza come inverso della radice del prodotto fra L e C. Peró accetta l'approssimazione proposta: le mie osservazioni matematiche sulla funzione ottenuta sono corrette? Mi interessa l'aspetto matematico delle oscillazioni, essendo esse l'argomento del mio prossimo esame.
"SalvatCpo":
Dunque l'indicazione di sfruttare l'equazione classica del circuito LC non é consistente cioé non posso esprimere la pulsazione di risonanza come inverso della radice del prodotto fra L e C. ...
Sfruttare l'equazione classica del circuito LC è ben diverso dal dire che la pulsazione di risonanza sia esprimibile con quella relazione.
Potresti scriverla questa "equazione classica"? ... il testo ci chiede di partire da quella.
$ (Q(t))/C- L(t)*(di(t))/(dt)=0 $
"SalvatCpo":
$ (Q(t))/C- L(t)*(di(t))/(dt)=0 $
Eh no, scusa, sarà
$ (Q(t))/C- \frac{\text{d} \phi(t) } {dt}=(Q(t))/C- \frac{\text{d}[L(t)i(t)]} {dt}=0 $
Hai ragione, partendo dalla legge di faraday si ottiene l'equazione che dici tu.
Applicando la regola di derivazione del prodotto e osservando che $ i(t)=-(dQ(t))/(dt) $ trovo $ (Q(t))/C=-(d^2Q(t))/(dt^2)*(pimu_oN^2R^2)/(l_o + x_ocos(wt))+(dQ(t))/(dt)*((pimu_oN^2R^2)sen(wt)*wx_o)/(l_o + x_ocos(wt))^2 $ dove $ w=sqrt(k/m) $
Ok, quindi, soprassedendo sulla comprensione della struttura del sistema, considerata una non ben precisata massa equivalente del solenoide, visto che il testo afferma che la trazione iniziale è piccola (rispetto a l0), seppur disturbato da una fastidiosa orticaria grafico-testuale , sarei direttamente partito dall'approssimazione
$L(t)\approx L_0(1-x_0/l_0 \cos(\omegat))$
ad ogni modo, semplificando la tua espressione, arrivi alla stessa forma "allegerita"
$\ddot{q} - \dot{q}\frac{x_0\omega \sin(\omega t)}{l_0} + \frac{q}{L_0C} =0$
ma lascio a te il piacere di risolverla.
, sarei direttamente partito dall'approssimazione$L(t)\approx L_0(1-x_0/l_0 \cos(\omegat))$
ad ogni modo, semplificando la tua espressione, arrivi alla stessa forma "allegerita"
$\ddot{q} - \dot{q}\frac{x_0\omega \sin(\omega t)}{l_0} + \frac{q}{L_0C} =0$
ma lascio a te il piacere di risolverla.
Non so risolvere le equazioni ordinarie del secondo ordine. Non ho sostenuto Analisi 3 ancora.
Ti confesso che non saprei risolverla nemmeno io quella eq. differenziale; la mia era una battuta.
In effetti però, riguardando quell'equazione, pur mancando i dati numerici, se ipotizziamo una pulsazione elettrica elevata e meccanica bassa, visto che \( x_0/l_0\ll 1\), potremmo ritenere che nell'equazione differenziale il coefficiente di $\dot q$ renda quel termine trascurabile, rispetto a quello associato alla carica $q$, ovvero
$\ddot{q} + \frac{q}{L_0C}(1+x_0/l_0\cos(\omega t) )\approx 0$
e non vedo altre strade.
In effetti però, riguardando quell'equazione, pur mancando i dati numerici, se ipotizziamo una pulsazione elettrica elevata e meccanica bassa, visto che \( x_0/l_0\ll 1\), potremmo ritenere che nell'equazione differenziale il coefficiente di $\dot q$ renda quel termine trascurabile, rispetto a quello associato alla carica $q$, ovvero
$\ddot{q} + \frac{q}{L_0C}(1+x_0/l_0\cos(\omega t) )\approx 0$
e non vedo altre strade.
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