Circuito LC
Salve a tutti qualcuno può aiutarmi con questo?
Un condensatore di capacità $C = 1 muF$ caricato a una differenza di potenziale $V_0 = 10 V$ viene staccato dal generatore e collegato a un solenoide di induttanza $L = 1muH$ attraverso un circuito di resistenza trascurabile. Determinare il campo $B$ all'interno del solenoide all'istante $t"*" = 1.57 mus$, sapendo che il solenoide ha $1000$ spire al metro e a raggio $r$ piccolo rispetto alla sua lunghezza.
Concettualmente avevo pensato che man mano che il condensatore si scarica alimenta l'induttore ecco il primo problema nella legge di scarica del condensatore $Q(t)=Q_0e^(-t/(RC))$ c'è la resistenza al denominatore, se $R=0$ schizza all'infinito....
Avevo pensato allora di eguagliare l'energia del condensatore $U_e=1/2CV^2$ con quella dell'induttore $U_m=1/2LI^2$ ma mi sono arenato .... Qualche consiglio?
Un condensatore di capacità $C = 1 muF$ caricato a una differenza di potenziale $V_0 = 10 V$ viene staccato dal generatore e collegato a un solenoide di induttanza $L = 1muH$ attraverso un circuito di resistenza trascurabile. Determinare il campo $B$ all'interno del solenoide all'istante $t"*" = 1.57 mus$, sapendo che il solenoide ha $1000$ spire al metro e a raggio $r$ piccolo rispetto alla sua lunghezza.
Concettualmente avevo pensato che man mano che il condensatore si scarica alimenta l'induttore ecco il primo problema nella legge di scarica del condensatore $Q(t)=Q_0e^(-t/(RC))$ c'è la resistenza al denominatore, se $R=0$ schizza all'infinito....
Avevo pensato allora di eguagliare l'energia del condensatore $U_e=1/2CV^2$ con quella dell'induttore $U_m=1/2LI^2$ ma mi sono arenato .... Qualche consiglio?
Risposte
Tanto per cominciare, visto che ti è stato assicurato che si tratta di un solenoide "lungo", prova a ricordare come si può approssimare il campo al suo interno.
Quella relazione per la carica non vale in questo caso in quanto non si tratta di un circuito RC ma di un circuito LC e quindi del secondo ordine; in questo caso per determinare la $Q(t)$ o equivalentemente la $v_C(t)$, servirà risolvere un'equazione differenziale del secondo ordine.
Quella relazione per la carica non vale in questo caso in quanto non si tratta di un circuito RC ma di un circuito LC e quindi del secondo ordine; in questo caso per determinare la $Q(t)$ o equivalentemente la $v_C(t)$, servirà risolvere un'equazione differenziale del secondo ordine.
Allora mi sa che posso lasciar perdere questo esercizio perché ancora devo farla analisi 2.
Mai trattati circuiti LC ?
Per evitare l'equazione differenziale basterebbe sapere a quale frequenza va ad oscillare questo circuito (frequenza di risonanza), e ricordare le equazioni costitutive che legano la tensione e la corrente in questi due bipoli.
Per evitare l'equazione differenziale basterebbe sapere a quale frequenza va ad oscillare questo circuito (frequenza di risonanza), e ricordare le equazioni costitutive che legano la tensione e la corrente in questi due bipoli.
Questo era il primo esercizio con gli induttori che faccio.
E poi un oscillatore armonico di certo l'avrai visto,no?
Qui abbiamo
$q/C=L{di}/dt$
e visto che la corrente arriva dal condensatore (che si scarica)
$i=-{dq}/dt$
Qui abbiamo
$q/C=L{di}/dt$
e visto che la corrente arriva dal condensatore (che si scarica)
$i=-{dq}/dt$
Con "oscillatore armonico" mi viene in mente una massa attaccata ad una molla in un sistema ideale privo di attrito.. Ma credo ti riferisci a qualcosa di elettrico ...
No, mi riferisco proprio a quello meccanico.
Se ci pensi su un attimo vedrai che c'è un parallelismo totale, considerando le due relazioni che ti ho scritto.
Prova a scrivere l'equazione relativa all'accelerazione e alla forza nel caso meccanico che ti permette di ricavare $\omega$.
Se ci pensi su un attimo vedrai che c'è un parallelismo totale, considerando le due relazioni che ti ho scritto.
Prova a scrivere l'equazione relativa all'accelerazione e alla forza nel caso meccanico che ti permette di ricavare $\omega$.
"RenzoDF":
$q/C=L{di}/dt$
e visto che la corrente arriva dal condensatore (che si scarica)
$i=-{dq}/dt$
Qui c'ero arrivato, solo che pensando che non portasse da nessuna strada ho abbandonato questa relazione!
Poi avevo fatto un'altro passaggio che non so se sia matematicamente giusto:
$q/C=L(dq)/(d^2t) => L=(d^2t)/C$
$q/C=L(dq)/(d^2t) => L=(d^2t)/C$
"Caronte":
Poi avevo fatto un'altro passaggio che non so se sia matematicamente giusto:
Comunque l'idea era buona, infatti andando a sostituire i con la derivata della carica avresti ottenuto
$q/C=-L(d^2q)/(dt^2) $
ma io sono ancora qui che aspetto la relazione meccanica per con accelerazione e forza
Come accelerazione del moto armonico mi viene in mente solo questa: $a=omega^2*s$ ma non lega la forza e in ogni modo non credo faccia a caso per noi... però non riesco a pensare a nulla, anche controllando su internet non ho avuto esito positivo.
"Caronte":
Come accelerazione del moto armonico mi viene in mente solo questa: $a=omega^2*s$
Proprio quella (anche se con un segno meno) che come ben sai può essere scritta come
$\ddot x=-\omega^2 x$
e ora non dirmi che non vedi il parallelismo.
BTW Quella omega al quadrato non era forse uguale al rapporto fra costante della molla k (con F=kx) e massa m?
"RenzoDF":
e ora non dirmi che non vedi il parallelismo
Soltanto il fatto che in entrambe compare una derivata seconda in un membro e poi nell'altro membro la stessa grandezza non derivata. Non ti sto riuscendo a seguire ...
"Caronte":
... Soltanto il fatto che in entrambe compare una derivata seconda in un membro e poi nell'altro membro la stessa grandezza non derivata.
Esattamente
Dal parallelismo potremo affermare che così come l'andamento dello spazio x, anche l'andamento per la carica q sarà dello stesso tipo, ovvero
$q(t)=q_0 cos(\omega t)$
non credi?
Non resta che determinare omega per il nostro caso !
Ok, te lo dico io, dal parallelismo
$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$
dalla q(t) potrai poi ricavare la i(t) e da questa la
$B(t)=\mu_0 n i(t)$
relazione approssimata valida per un solenoide "lungo".
$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$
dalla q(t) potrai poi ricavare la i(t) e da questa la
$B(t)=\mu_0 n i(t)$
relazione approssimata valida per un solenoide "lungo".
Ti ringrazio, stavo rileggendo il capito sugli induttori, avevo un po' troppe lacune a riguardo. Gentilissimo come sempre 
Ricapitolando, questi sono i dati:
$C=1muF$
$V_0=10V$
$L=1muH$
$B(t"*")=?$
$t"*"=1.57mus$
$n=100 "spire"/"metro"$
e inoltre possiamo considerarlo come un solenoide lungo.
Sappiamo che: $B(t)=mu_0ni(t)$
Ci manca la $i$.
Essendo $V=q/C$ e $V=i omega L$ possiamo scrivere $q/C=i omega L$, essendo $omega= 1/sqrt(LC)$ (questo me lo hai detto tu e se devo essere sincero non ho capito come hai fatto a trovarlo, so che hai provato a farmelo capire ma sono di coccio), quindi possiamo scrivere: $q/C=il/sqrt(LC)=isqrt(LC) => i= q/c*sqrt(C/L)=Q/sqrt(CL)$ e poi sostituiamo la $i$ nella relazione del campo magnetico. Dove nella Q devo sostituire $Q_0cos(omegat"*")$ e sempre $omega$ è dato da quell'espressione che mi hai dato tu. Giusto? (Spero di si, mi sta uccidendo questo problema), in caso affermativo, se hai il tempo potresti cercare di farmi capire la relazione che lega $omega$ con $L$ e $C$?
$C=1muF$
$V_0=10V$
$L=1muH$
$B(t"*")=?$
$t"*"=1.57mus$
$n=100 "spire"/"metro"$
e inoltre possiamo considerarlo come un solenoide lungo.
Sappiamo che: $B(t)=mu_0ni(t)$
Ci manca la $i$.
Essendo $V=q/C$ e $V=i omega L$ possiamo scrivere $q/C=i omega L$, essendo $omega= 1/sqrt(LC)$ (questo me lo hai detto tu e se devo essere sincero non ho capito come hai fatto a trovarlo, so che hai provato a farmelo capire ma sono di coccio), quindi possiamo scrivere: $q/C=il/sqrt(LC)=isqrt(LC) => i= q/c*sqrt(C/L)=Q/sqrt(CL)$ e poi sostituiamo la $i$ nella relazione del campo magnetico. Dove nella Q devo sostituire $Q_0cos(omegat"*")$ e sempre $omega$ è dato da quell'espressione che mi hai dato tu. Giusto? (Spero di si, mi sta uccidendo questo problema), in caso affermativo, se hai il tempo potresti cercare di farmi capire la relazione che lega $omega$ con $L$ e $C$?
Premesso che se non sbaglio n=1000, i tuoi passaggi non mi piacciono molto; io scriverei che, dalla corrente entrante nell'induttore \(i=-dq/dt\) e dall'uguaglianza delle tensioni sul condensatore e sull'induttore,
$ \frac{q}{C}= L\frac{\text{d} i }{\text{d} t}$
ottengo
$\frac{\text{d}^2 q }{\text{d} t^2}+\frac{1}{ LC }q=0$
che grazie alla nota soluzione per l'equazione differenziale relativa al moto armonico (uguale nella forma anche se non nei coefficienti)
$\frac{\text{d}^2 x }{\text{d} t^2}+\frac{k }{m}x=0$
porta a poter affermare che la funzione del tempo per la carica sarà
$q(t)=q_0 \cos(\omega t)=CV_0\cos(\omega t)$
dove la pulsazione omega, via confronto delle due equazioni differenziali, così come in quella "meccanica" è data da
$\omega=\sqrt{k/m} $
in quella "elettrica"sarà data da
$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$
La corrente sarà quindi
$i(t)=-\dot q(t)=CV_0\omega \sin(\omega t)$
e da questa il campo
$B(t)=\mu_0ni(t)$
.
$ \frac{q}{C}= L\frac{\text{d} i }{\text{d} t}$
ottengo
$\frac{\text{d}^2 q }{\text{d} t^2}+\frac{1}{ LC }q=0$
che grazie alla nota soluzione per l'equazione differenziale relativa al moto armonico (uguale nella forma anche se non nei coefficienti)
$\frac{\text{d}^2 x }{\text{d} t^2}+\frac{k }{m}x=0$
porta a poter affermare che la funzione del tempo per la carica sarà
$q(t)=q_0 \cos(\omega t)=CV_0\cos(\omega t)$
dove la pulsazione omega, via confronto delle due equazioni differenziali, così come in quella "meccanica" è data da
$\omega=\sqrt{k/m} $
in quella "elettrica"sarà data da
$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$
La corrente sarà quindi
$i(t)=-\dot q(t)=CV_0\omega \sin(\omega t)$
e da questa il campo
$B(t)=\mu_0ni(t)$
.
Chiarissimo e preciso, ti ringrazio per l'aiuto continuo datomi!
Di nulla!
BTW La soluzione energetica si poteva usare se non fossa stato specificato un tempo, ma fosse per esempio chiesto qual'è il massimo valore istantaneo per la corrente nel circuito, o anche, quanto vale la corrente in corrispondenza ad una tensione sul condensatore pari a 1/3 del valore iniziale. Sapresti rispondere?
BTW La soluzione energetica si poteva usare se non fossa stato specificato un tempo, ma fosse per esempio chiesto qual'è il massimo valore istantaneo per la corrente nel circuito, o anche, quanto vale la corrente in corrispondenza ad una tensione sul condensatore pari a 1/3 del valore iniziale. Sapresti rispondere?
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