Circuito in alternata con tre resistenze e tre condensatori
Nel circuito di figura i tre condensatori hanno la stessa capacità C = 1 μF mentre il valore comune delle tre resistenze è R = 1 k Ω. Si determini la frequenza del generatore di fem alternata per cui la tensione tra i punti A e B del circuito risulta in fase, oppure in opposizione di fase con quella del generatore.
Possiamo senz'altro scrivere $V_(AB,eff)=RI_(eff)=RE_(eff)/Z$ dove Z è il modulo dell'impedenza del circuito. E' corretto ridurre il circuito nel seguente?
con $R_(eq)=R/3$ e $C_(eq)=C/3$ essendo le tre resistenze in parallelo e i condensatori in serie.
L'impedenza (modulo) del circuito sarebbe allora $Z=(R_eq^2+(1/(\omegaC_eq))^2)^(1/2)$ e quindi
$V_(AB,eff)=R_eE_(eff)/(R_e^2+(1/(\omegaC_e))^2)^(1/2)$ cioè
$V_(AB,eff)=E_(eff)1/(1+(1/(\omega^2C_e^2R_e^2)))^(1/2)$
Come ragionare ora con le fasi?
Possiamo senz'altro scrivere $V_(AB,eff)=RI_(eff)=RE_(eff)/Z$ dove Z è il modulo dell'impedenza del circuito. E' corretto ridurre il circuito nel seguente?
con $R_(eq)=R/3$ e $C_(eq)=C/3$ essendo le tre resistenze in parallelo e i condensatori in serie.
L'impedenza (modulo) del circuito sarebbe allora $Z=(R_eq^2+(1/(\omegaC_eq))^2)^(1/2)$ e quindi
$V_(AB,eff)=R_eE_(eff)/(R_e^2+(1/(\omegaC_e))^2)^(1/2)$ cioè
$V_(AB,eff)=E_(eff)1/(1+(1/(\omega^2C_e^2R_e^2)))^(1/2)$
Come ragionare ora con le fasi?
Risposte
"zorrok":
... Possiamo senz'altro scrivere $V_(AB,eff)= RE_(eff)/Z$ dove Z è il modulo dell'impedenza del circuito.
Direi proprio di no, sarebbe corretto solo se tutti i bipoli fossero collegati in serie.
"zorrok":
... E' corretto ridurre il circuito nel seguente? ... essendo le tre resistenze in parallelo e i condensatori in serie.
No, le tre resistenze non sono in parallelo e le tre capacità non sono in serie.
Per un primo aiuto ti consiglio di dare un occhio a questo vecchio thread (abbandonato dall'OP
)http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=161929
Ho letto il thread ma non ne ho tratto ispirazione...
Domanda: quali metodi risolutivi conosci per le reti elettriche?
Le leggi di Kirchhoff
per i circuiti in alternata il metodo simbolico..
Se applico Kirchhoff dovrei avere
$E=V'_C+RI_1$
$0=V''_C+RI_3-RI_1$
$0=V'''_C+RI_4-RI_3$
$I=I_1+I_2$ e $I_2=I_3+I_4$
Usando il verso orario di circolazione della corrente e avendo indicato con gli apici i tre condensatori (da sinistra verso destra)
Ora potrei sostituire a $V_C$ la sua espressione $V_C=1/(\omegaC)I$ avendo un sistema di tre equazioni in tre incognite...
Oppure è corretto scrivere la seguente relazione? facendo riferimento alla seguente figura
$I_(4,eff)=E_(eff)/((R^2+1/(\omega^2C^2))^(1/2)$
e $V_(AB)=RI_(4,eff)$ e quindi la relazione fra $E$ e $V_(AB)$ sarebbe
$V_(AB)=RE_(eff)/((R^2+1/(\omega^2C^2))^(1/2)$
per i circuiti in alternata il metodo simbolico..
Se applico Kirchhoff dovrei avere
$E=V'_C+RI_1$
$0=V''_C+RI_3-RI_1$
$0=V'''_C+RI_4-RI_3$
$I=I_1+I_2$ e $I_2=I_3+I_4$
Usando il verso orario di circolazione della corrente e avendo indicato con gli apici i tre condensatori (da sinistra verso destra)
Ora potrei sostituire a $V_C$ la sua espressione $V_C=1/(\omegaC)I$ avendo un sistema di tre equazioni in tre incognite...
Oppure è corretto scrivere la seguente relazione? facendo riferimento alla seguente figura
$I_(4,eff)=E_(eff)/((R^2+1/(\omega^2C^2))^(1/2)$
e $V_(AB)=RI_(4,eff)$ e quindi la relazione fra $E$ e $V_(AB)$ sarebbe
$V_(AB)=RE_(eff)/((R^2+1/(\omega^2C^2))^(1/2)$
"zorrok":
...Se applico Kirchhoff dovrei avere
$E=V'_C+RI_1$
$0=V''_C+RI_3-RI_1$
$0=V'''_C+RI_4-RI_3$
$I=I_1+I_2$ e $I_2=I_3+I_4$
Usando il verso orario di circolazione della corrente e avendo indicato con gli apici i tre condensatori (da sinistra verso destra)
Ora potrei sostituire a $V_C$ la sua espressione $V_C=1/(\omegaC)I$ avendo un sistema di tre equazioni in tre incognite...
Certo, ma io sarei partito da destra per poi "risalire" la rete verso sinistra fino a giungere al generatore di tensione, come spiegato nel thread linkato [nota]Vedi http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=161929&p=8216573#p8216573.[/nota], sempre e solamente usando Ohm e Kirchhoff, ma semplificando come lì specificato il calcolo.
"zorrok":
...Oppure è corretto scrivere la seguente relazione?
$I_(4,eff)=E_(eff)/((R^2+1/(\omega^2C^2))^(1/2)$
Questa no, in quanto la tensione $E_(eff)$ non è quella presente ai morsetti dell'estremo ramo destro.
Visto che oggi ho un po' di tempo da perdere ti espongo la mia soluzione, che potrai confrontare con la tua.
Come dicevo, accontentandosi per semplicità di una soluzione numerica e non simbolica, ridisegnata la rete ricordando che quei particolari valori di R e C possono essere considerati rispettivamente come $1$ e $1/(1\ \omega )$ kiloohm, misurando la pulsazione in $\text{krad/s}$; per comodità poniamo $1/s=1/{j\omega}$
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC A 0.3
FJC B 0.3
MC 90 35 1 0 ihram.res
MC 70 35 1 0 ihram.res
MC 50 35 1 0 ihram.res
MC 75 30 0 0 170
MC 55 30 0 0 170
MC 35 30 0 0 170
MC 50 50 0 0 elettrotecnica.ms05
MC 70 50 0 0 elettrotecnica.ms05
MC 90 50 0 0 elettrotecnica.ms05
LI 45 30 55 30 0
LI 65 30 75 30 0
LI 85 30 90 30 0
LI 90 30 90 35 0
LI 90 30 100 30 0
LI 50 35 50 30 0
LI 70 35 70 30 0
LI 35 30 30 30 0
TY 35 20 4 3 0 0 0 * 1/s
TY 55 20 4 3 0 0 0 * 1/s
TY 75 20 4 3 0 0 0 * 1/s
TY 95 40 4 3 0 0 0 * 1
TY 75 40 4 3 0 0 0 * 1
TY 55 40 4 3 0 0 0 * 1
EV 100 29 102 31 0
EV 28 31 30 29 0
TY 68 23 4 3 0 0 0 * C
TY 106 27 4 3 0 0 0 * x
TY 22 26 4 3 0 0 0 * y
TY 48 23 4 3 0 0 0 * D[/fcd]
sarei partito dalla considerazione che per rispondere al quesito del problema è sufficiente ricavare il solo rapporto fra la tensione di ingresso e di uscita, rapporto che grazie alla linearità della rete è ricavabile anche partendo "dal fondo", ovvero fissando un incognito potenziale $x$ e andando a risalire a quello d'ingresso $y$.
Da $x$ potremo scrivere
$V_C=x/1(1+1/s)$
ed essendo la corrente attraverso il condensatore intermedio pari a
$I_{DC}=x/1+V_C/1=x(2+1/s)$
il potenziale del nodo D
$V_D=V_C+V_{DC}=x(1+1/s)+x/s(2+1/s)=x(1+3/s+1/s^2)$
ed infine il potenziale del morsetto di ingresso
$y=V_D+1/s(I_{DC}+V_D/1)=x(1+6/s+5/s^2+1/s^3)$
il rapporto cercato è di conseguenza
$y/x= 1-5/\omega^2+j(1/\omega^3-6/\omega)$
puramente reale per $\omega=1/\sqrt(6)\ \text{krad/s}$ e puramente immaginario per $\omega=\sqrt(5)\ \text{krad/s}$.
La risposta al problema è
$f=1/{2\pi\sqrt(6)}\ \text{kHz}$
che per un generico valore R e C andrà a generalizzarsi in
$f=1/{2\pi\sqrt(6) RC}\ \text{Hz}$
Come dicevo, accontentandosi per semplicità di una soluzione numerica e non simbolica, ridisegnata la rete ricordando che quei particolari valori di R e C possono essere considerati rispettivamente come $1$ e $1/(1\ \omega )$ kiloohm, misurando la pulsazione in $\text{krad/s}$; per comodità poniamo $1/s=1/{j\omega}$
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC A 0.3
FJC B 0.3
MC 90 35 1 0 ihram.res
MC 70 35 1 0 ihram.res
MC 50 35 1 0 ihram.res
MC 75 30 0 0 170
MC 55 30 0 0 170
MC 35 30 0 0 170
MC 50 50 0 0 elettrotecnica.ms05
MC 70 50 0 0 elettrotecnica.ms05
MC 90 50 0 0 elettrotecnica.ms05
LI 45 30 55 30 0
LI 65 30 75 30 0
LI 85 30 90 30 0
LI 90 30 90 35 0
LI 90 30 100 30 0
LI 50 35 50 30 0
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TY 35 20 4 3 0 0 0 * 1/s
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TY 75 40 4 3 0 0 0 * 1
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EV 100 29 102 31 0
EV 28 31 30 29 0
TY 68 23 4 3 0 0 0 * C
TY 106 27 4 3 0 0 0 * x
TY 22 26 4 3 0 0 0 * y
TY 48 23 4 3 0 0 0 * D[/fcd]
sarei partito dalla considerazione che per rispondere al quesito del problema è sufficiente ricavare il solo rapporto fra la tensione di ingresso e di uscita, rapporto che grazie alla linearità della rete è ricavabile anche partendo "dal fondo", ovvero fissando un incognito potenziale $x$ e andando a risalire a quello d'ingresso $y$.
Da $x$ potremo scrivere
$V_C=x/1(1+1/s)$
ed essendo la corrente attraverso il condensatore intermedio pari a
$I_{DC}=x/1+V_C/1=x(2+1/s)$
il potenziale del nodo D
$V_D=V_C+V_{DC}=x(1+1/s)+x/s(2+1/s)=x(1+3/s+1/s^2)$
ed infine il potenziale del morsetto di ingresso
$y=V_D+1/s(I_{DC}+V_D/1)=x(1+6/s+5/s^2+1/s^3)$
il rapporto cercato è di conseguenza
$y/x= 1-5/\omega^2+j(1/\omega^3-6/\omega)$
puramente reale per $\omega=1/\sqrt(6)\ \text{krad/s}$ e puramente immaginario per $\omega=\sqrt(5)\ \text{krad/s}$.
La risposta al problema è
$f=1/{2\pi\sqrt(6)}\ \text{kHz}$
che per un generico valore R e C andrà a generalizzarsi in
$f=1/{2\pi\sqrt(6) RC}\ \text{Hz}$
Grazie della tua risposta "risolutiva" ma che (purtroppo, non avendo dimestichezza con i circuiti) non ancora chiara per me.
Se hai ancora pazienza ti chiederei di chiarirmi i seguenti punti:
1) se il punto x è identico al punto A del mio disegno precedente il potenziale $V_C$ non dovrebbe essere il potenziale $x$ sommato alla caduta di potenziale ai capi del condensatore? e quindi $V_C-V_X=Z_CI_4$? (avendo chiamato $I_4$ la corrente che passa attraverso l'ultimo condensatore e l'ultima resistenza.Per cui non capisco da dove viene $V_C=(V_x/R)(R+Z_C)$..R sta dopo il punto x..
Se hai ancora pazienza ti chiederei di chiarirmi i seguenti punti:
1) se il punto x è identico al punto A del mio disegno precedente il potenziale $V_C$ non dovrebbe essere il potenziale $x$ sommato alla caduta di potenziale ai capi del condensatore? e quindi $V_C-V_X=Z_CI_4$? (avendo chiamato $I_4$ la corrente che passa attraverso l'ultimo condensatore e l'ultima resistenza.Per cui non capisco da dove viene $V_C=(V_x/R)(R+Z_C)$..R sta dopo il punto x..
"zorrok":
... se il punto x è identico al punto A del mio disegno precedente il potenziale $V_C$ non dovrebbe essere il potenziale $x$ sommato alla caduta di potenziale ai capi del condensatore? e quindi $V_C-V_X=Z_CI_4$?
Certo.
"zorrok":
... (avendo chiamato $I_4$ la corrente che passa attraverso l'ultimo condensatore e l'ultima resistenza.Per cui non capisco da dove viene $V_C=(V_x/R)(R+Z_C)$..R sta dopo il punto x..
La corrente $I_4$ che passa nel condensatore è la stessa [nota]Visto che è sottinteso che il calcolo è da intendersi "a vuoto", ovvero senza nessun carico collegato al terminale destro.[/nota] che attraversa il resistore, e quindi
$I_4=V_x/R$
quindi quella relazione è uguale alla tua
$V_C= (V_x/R)(R+Z_C)=V_x+Z_C I_4 $
...la nebbia inizia a diradarsi...solo un passaggio da chiarire ulteriormente (sic!)
perchè $I_4=V_x/R$? non dovrebbe essere $V_x-V_B=RI_4$? quindi hai supposto $V_B=0$ perchè?
(dove il punto B è quello della mia figura)
perchè $I_4=V_x/R$? non dovrebbe essere $V_x-V_B=RI_4$? quindi hai supposto $V_B=0$ perchè?
(dove il punto B è quello della mia figura)
... quindi hai supposto $V_B=0$ perchè?
Perché quando si parla di potenziali è indispensabile scegliere un punto di riferimento a zero, così come quando si parla di livelli geografici si sceglie come riferimento a zero [nota]Dai un occhio a http://www.electroyou.it/isidorokz/wiki/terra-massa-e-riferimento.[/nota] metri il livello del mare ... e quei simboli triangolari stanno proprio ad indicarne la scelta nel punto B.
...ah! ok
ora il tuo primo passaggio è perfettamente chiaro!
Secondo passaggio: $V_D=V_C+I_(DC)Z_C$
da dove viene la relazione di $I_(DC)=V_x+V_C/R$?
dimensionalmente mancherebbe una resistenza al denominatore di $V_x$
ora il tuo primo passaggio è perfettamente chiaro!
Secondo passaggio: $V_D=V_C+I_(DC)Z_C$
da dove viene la relazione di $I_(DC)=V_x+V_C/R$?
dimensionalmente mancherebbe una resistenza al denominatore di $V_x$
Manca perché è sottintesa; quando vado a sviluppare i calcoli per via numerica il rigore formale lo metto da parte. 
Comunque, ovviamente, intendo $x/R$, e quella è la KCL al nodo C.
Ora quella relazione la ho corretta, ma le altre le lascio come sono.
.
Comunque, ovviamente, intendo $x/R$, e quella è la KCL al nodo C.
Ora quella relazione la ho corretta, ma le altre le lascio come sono.
.
penso di esserci..(o quasi)
$I_2=I_3+I_4$ dove $I_3=(V_C-V_B)/R$ ma $V_B=0$ dunque $I_3=V_C/R$
$I_2=I_3+I_4$ dove $I_3=(V_C-V_B)/R$ ma $V_B=0$ dunque $I_3=V_C/R$
finalmente tutto chiaro ...
con un'ultima domandina: perchè se il rapporto fra le tensioni è reale non vi è sfasamento o sono in opposizione di fase?
con un'ultima domandina: perchè se il rapporto fra le tensioni è reale non vi è sfasamento o sono in opposizione di fase?
Semplicemente perché l'argomento di un rapporto fra due grandezze complesse è pari alla differenza dei loro argomenti; se questa differenza risulterà nulla i due fasori risulteranno quindi in fase, se invece risulta pari a $\pm \pi$ saranno in opposizione di fase.
In questo caso quanto vale il modulo e l'argomento del suddetto rapporto?
In questo caso quanto vale il modulo e l'argomento del suddetto rapporto?
ho fatto una domanda sciocca!
E' ovvio che essendo di fronte a grandezze complesse si ha $V_x/V_G=(V_(0x)exp(i\phi))/(V_(0G)exp(i\theta))=(V_(0x)/V_(0G))expi(\phi-theta)$ se il rapporto è reale vuol dire che l'esponenziale deve essere uguale a uno e ciò avviene quando $\phi-\theta=0$ e quindi le tensioni risultano in fase oppure se $\phi-\theta=+-\pi$ saranno in opposizione di fase.
Per quanto riguarda il modulo del rapporto delle tensioni $|y/x|= (a^2+b^2)^(1/2)$ dave indico con $a$ e $b$ la parte reale e immaginaria del rapporto (da te scritto più sopra), mentre per l'argomento vale quanto detto quì sopra.
Grazie
E' ovvio che essendo di fronte a grandezze complesse si ha $V_x/V_G=(V_(0x)exp(i\phi))/(V_(0G)exp(i\theta))=(V_(0x)/V_(0G))expi(\phi-theta)$ se il rapporto è reale vuol dire che l'esponenziale deve essere uguale a uno e ciò avviene quando $\phi-\theta=0$ e quindi le tensioni risultano in fase oppure se $\phi-\theta=+-\pi$ saranno in opposizione di fase.
Per quanto riguarda il modulo del rapporto delle tensioni $|y/x|= (a^2+b^2)^(1/2)$ dave indico con $a$ e $b$ la parte reale e immaginaria del rapporto (da te scritto più sopra), mentre per l'argomento vale quanto detto quì sopra.
Grazie
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