Circuito con induttanza
Ciao a tutti, non riesco a capire il funzionamento di questo circuito:
sono date due guide parallele orizzontali collegate a un'estremità da un'induttanza $L$. Una sbarretta conduttrice di massa $m$ e lunghezza $a$ è posta tra loro perpendicolarmente a esse, in modo da chiudere il circuito. Il sistema si trova in un campo magnetico $B$ uniforme ortogonale al piano del circuito. La sbarretta è sollecitata da una forza esterna $F_E$ costante nel piano del circuito e ortogonale alla sbarretta stessa. Assumendo trascurabile la resistenza del circuito e la posizione e velocità della sbarretta nulle all'istante iniziale, ovvero che la sbarretta sia a contatto con l'induttanza e la corrente sia nulla all'istante iniziale, determinare la corrente in ampère all'istante $t_0 = \pi/2sqrt((mL)/(B^2a^2))$.
Io avevo impostato il problema considerando che il flusso del campo magnetico è:
$\Phi(B)=Bax=Li$ con $x$ coordinata che indica la posizione della sbarretta nel tempo
La somma delle forze sulla sbarretta è:
$F_(TOT)= F_L + F_E = iaB + F_E$ dove $F_L$ è la forza di Lorentz agente sulla sbarretta.
A questo punto ho sostituito il valore di $i$ ricavato dall'equazione del flusso nell'equazione delle forze, ottenendo:
$\ddot x=F_E/m+(B^2a^2)/(mL)x$
ho risolto l'equazione differenziale ottenendo $x(t)=(F_EL)/(2B^2a^2)(e^(sqrt((B^2a^2)/(mL))t) + e^(-sqrt((B^2a^2)/(mL))t) - 2) $ e sostituendo $x(t_0)$ in $i=(Bax)/L$ per trovare la corrente in $t_0$
Ma il risultato non torna. Cosa sbaglio nel ragionamento? Grazie :))
sono date due guide parallele orizzontali collegate a un'estremità da un'induttanza $L$. Una sbarretta conduttrice di massa $m$ e lunghezza $a$ è posta tra loro perpendicolarmente a esse, in modo da chiudere il circuito. Il sistema si trova in un campo magnetico $B$ uniforme ortogonale al piano del circuito. La sbarretta è sollecitata da una forza esterna $F_E$ costante nel piano del circuito e ortogonale alla sbarretta stessa. Assumendo trascurabile la resistenza del circuito e la posizione e velocità della sbarretta nulle all'istante iniziale, ovvero che la sbarretta sia a contatto con l'induttanza e la corrente sia nulla all'istante iniziale, determinare la corrente in ampère all'istante $t_0 = \pi/2sqrt((mL)/(B^2a^2))$.
Io avevo impostato il problema considerando che il flusso del campo magnetico è:
$\Phi(B)=Bax=Li$ con $x$ coordinata che indica la posizione della sbarretta nel tempo
La somma delle forze sulla sbarretta è:
$F_(TOT)= F_L + F_E = iaB + F_E$ dove $F_L$ è la forza di Lorentz agente sulla sbarretta.
A questo punto ho sostituito il valore di $i$ ricavato dall'equazione del flusso nell'equazione delle forze, ottenendo:
$\ddot x=F_E/m+(B^2a^2)/(mL)x$
ho risolto l'equazione differenziale ottenendo $x(t)=(F_EL)/(2B^2a^2)(e^(sqrt((B^2a^2)/(mL))t) + e^(-sqrt((B^2a^2)/(mL))t) - 2) $ e sostituendo $x(t_0)$ in $i=(Bax)/L$ per trovare la corrente in $t_0$
Ma il risultato non torna. Cosa sbaglio nel ragionamento? Grazie :))
Risposte
"spina3003":
Sì è tratto da un vecchio tema d'esame, ...
Ho un fiuto quasi infallibile.
Hai portato a termine la soluzione?
Hai tracciato quegli andamenti temporali che ti avevo suggerito, ipotizzando tutte le grandezze (per semplicità) unitarie
Irodov! ... usato spesso per un facile "copia e incolla" in diverse prove d'esame.
Si ho risolto il problema, dopo aver cambiato il segno alla forza torna tutto. Ancora quei grafici non li ho fatti, ma ipotizzare grandezze unitarie vuol dire che considero l'induttanza uguale a 1 henry, il campo magnetico 1 tesla etc. giusto?
Poi continua a non essermi chiaro cosa vuol dire che la sbarretta all'inizio è "a contatto" con l'induttanza. Fisicamente cosa significa e cosa implica?
Poi continua a non essermi chiaro cosa vuol dire che la sbarretta all'inizio è "a contatto" con l'induttanza. Fisicamente cosa significa e cosa implica?
"spina3003":
... ipotizzare grandezze unitarie vuol dire che considero l'induttanza uguale a 1 henry, il campo magnetico 1 tesla etc. giusto? ...
Giusto.
"spina3003":
... Poi continua a non essermi chiaro cosa vuol dire che la sbarretta all'inizio è "a contatto" con l'induttanza. Fisicamente cosa significa e cosa implica?
Non vuol dire nulla; non so perché sia indicato, "a contatto" o meno non cambia nulla, come assurdo è quell'ovvero del testo
Assumendo ... la posizione e velocità della sbarretta nulle all'istante iniziale, ovvero che la sbarretta sia a contatto con l'induttanza ...
L'origine dell'asse x può essere preso in qualsiasi punto del binario, a qualsiasi distanza dall'induttore, non dall'induttanza, che è solo un suo parametro numerico
"RenzoDF":
Giusto.
Perfetto grazie.
"RenzoDF":
Non vuol dire nulla; non so perché sia indicato, "a contatto" o meno non cambia nulla, come assurdo è quell'ovvero del testo
L'origine dell'asse x può essere preso in qualsiasi punto del binario, a qualsiasi distanza dall'induttore, non dall'induttanza, che è solo un suo parametro numerico :!: :D
Infatti non riuscivo a capire il senso di "ovvero" nel testo... avevo inteso che era stato usato induttanza invece che induttore, ma in ogni caso non mi sembrava molto sensato. Grazie mille Renzo :))
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo