Circuito con induttanza
Ciao a tutti, non riesco a capire il funzionamento di questo circuito:
sono date due guide parallele orizzontali collegate a un'estremità da un'induttanza $L$. Una sbarretta conduttrice di massa $m$ e lunghezza $a$ è posta tra loro perpendicolarmente a esse, in modo da chiudere il circuito. Il sistema si trova in un campo magnetico $B$ uniforme ortogonale al piano del circuito. La sbarretta è sollecitata da una forza esterna $F_E$ costante nel piano del circuito e ortogonale alla sbarretta stessa. Assumendo trascurabile la resistenza del circuito e la posizione e velocità della sbarretta nulle all'istante iniziale, ovvero che la sbarretta sia a contatto con l'induttanza e la corrente sia nulla all'istante iniziale, determinare la corrente in ampère all'istante $t_0 = \pi/2sqrt((mL)/(B^2a^2))$.
Io avevo impostato il problema considerando che il flusso del campo magnetico è:
$\Phi(B)=Bax=Li$ con $x$ coordinata che indica la posizione della sbarretta nel tempo
La somma delle forze sulla sbarretta è:
$F_(TOT)= F_L + F_E = iaB + F_E$ dove $F_L$ è la forza di Lorentz agente sulla sbarretta.
A questo punto ho sostituito il valore di $i$ ricavato dall'equazione del flusso nell'equazione delle forze, ottenendo:
$\ddot x=F_E/m+(B^2a^2)/(mL)x$
ho risolto l'equazione differenziale ottenendo $x(t)=(F_EL)/(2B^2a^2)(e^(sqrt((B^2a^2)/(mL))t) + e^(-sqrt((B^2a^2)/(mL))t) - 2) $ e sostituendo $x(t_0)$ in $i=(Bax)/L$ per trovare la corrente in $t_0$
Ma il risultato non torna. Cosa sbaglio nel ragionamento? Grazie :))
sono date due guide parallele orizzontali collegate a un'estremità da un'induttanza $L$. Una sbarretta conduttrice di massa $m$ e lunghezza $a$ è posta tra loro perpendicolarmente a esse, in modo da chiudere il circuito. Il sistema si trova in un campo magnetico $B$ uniforme ortogonale al piano del circuito. La sbarretta è sollecitata da una forza esterna $F_E$ costante nel piano del circuito e ortogonale alla sbarretta stessa. Assumendo trascurabile la resistenza del circuito e la posizione e velocità della sbarretta nulle all'istante iniziale, ovvero che la sbarretta sia a contatto con l'induttanza e la corrente sia nulla all'istante iniziale, determinare la corrente in ampère all'istante $t_0 = \pi/2sqrt((mL)/(B^2a^2))$.
Io avevo impostato il problema considerando che il flusso del campo magnetico è:
$\Phi(B)=Bax=Li$ con $x$ coordinata che indica la posizione della sbarretta nel tempo
La somma delle forze sulla sbarretta è:
$F_(TOT)= F_L + F_E = iaB + F_E$ dove $F_L$ è la forza di Lorentz agente sulla sbarretta.
A questo punto ho sostituito il valore di $i$ ricavato dall'equazione del flusso nell'equazione delle forze, ottenendo:
$\ddot x=F_E/m+(B^2a^2)/(mL)x$
ho risolto l'equazione differenziale ottenendo $x(t)=(F_EL)/(2B^2a^2)(e^(sqrt((B^2a^2)/(mL))t) + e^(-sqrt((B^2a^2)/(mL))t) - 2) $ e sostituendo $x(t_0)$ in $i=(Bax)/L$ per trovare la corrente in $t_0$
Ma il risultato non torna. Cosa sbaglio nel ragionamento? Grazie :))
Risposte
Ti chiedo: qual è la relazione fra tensione e corrente in un induttore.
Direi
$fem = -L(di)/dt$
$fem = -L(di)/dt$
Ok, diciamo che se usiamo la convenzione degli utilizzatori si può togliere quel segno meno.
Poi come sei andato avanti?
Poi come sei andato avanti?
Io veramente non avevo utilizzato questa formula per risolvere il problema, ma quella del flusso per cui $\Phi (B) = Li$.
Se voglio usare questa però ottengo penso lo stesso risultato:
$L(di)/dt = Ba\dot x$
Se voglio usare questa però ottengo penso lo stesso risultato:
$L(di)/dt = Ba\dot x$
Ok ... e ora la forza dovuta alla corrente che circola nella barretta che verso ha?
Su questo avevo un dubbio, sicuramente sta sul piano del circuito ed è perpendicolare alla sbarretta, però non so se va verso l'alto o verso il basso perché non conosco né il verso del campo magnetico né quello della corrente
Beh, basta pensare dal punto di vista energetico. 
Il crescere di quella corrente nell'induttore, cosa comporta?
Il crescere di quella corrente nell'induttore, cosa comporta?
La forza di Lorentz si oppone alla causa che l'ha generata.
Quindi su $F_L$ devi mettere un segno meno.
Alla fine dovrebbe risultare un movimento oscillante.
Quindi su $F_L$ devi mettere un segno meno.
Alla fine dovrebbe risultare un movimento oscillante.
Grazie a entrambi Renzo e Quinzio per la risposta. Quando c'è una fem indotta la corrente circola in verso opposto rispetto al flusso che l'ha generata. Però non capisco come faccio a sapere che la forza di Lorentz ha verso opposto rispetto alla forza esterna $ F_E $
Scusatemi forse ho scritto una cavolata. Non è la corrente che circola in verso opposto, è la fem indotta che contrasta la variazione di flusso magnetico che l'ha generata. In ogni caso non riesco a capire bene quale sia il ruolo dell'induttanza nei circuiti: in generale un circuito ha un'induttanza propria che si può calcolare ad esempio se si ha l'energia magnetica nel circuito, quando in aggiunta si mette un induttore come cambiano le cose?
Come ti è stato detto, si oppone alla causa che l'ha generata.
E in questo caso la causa sarebbe la forza esterna che fa muovere la sbarretta, perciò il verso è opposto a quello della forza esterna, giusto?
Tra l'altro non riesco a capire cosa significa che la sbarretta è in contatto con l'induttanza. Che cosa implica questa affermazione?
Tra l'altro non riesco a capire cosa significa che la sbarretta è in contatto con l'induttanza. Che cosa implica questa affermazione?
Esatto, la forza FL di reazione si opporrà al movimento dovuto a FE.
Ti do un consiglio: per capire il tutto, poni tutte le grandezze unitarie, scrivi e risolve l'equaz. diff. e traccia l'andamento di tutte le grandezze del tempo che, visto i semplici valori numerici, sarà un gioco da ragazzi farlo.
Ti do un consiglio: per capire il tutto, poni tutte le grandezze unitarie, scrivi e risolve l'equaz. diff. e traccia l'andamento di tutte le grandezze del tempo che, visto i semplici valori numerici, sarà un gioco da ragazzi farlo.
Grazie mille. Stavolta l'eq. diff. sono riuscita a risolverla...
Ho visto che prima parlavi di considerazioni energetiche. Come fai a dedurre il verso di FL pensando alle variazioni di energia del campo?
Ho visto che prima parlavi di considerazioni energetiche. Come fai a dedurre il verso di FL pensando alle variazioni di energia del campo?
Quando la corrente in un induttore sale, come avviene inizialmente, la sua energia magnetica $ 1/2 Li^2 $ sale, e di conseguenza andrà a frenare il movimento della barra.
"spina3003":
Grazie a entrambi Renzo e Quinzio per la risposta. Quando c'è una fem indotta la corrente circola in verso opposto rispetto al flusso che l'ha generata. Però non capisco come faccio a sapere che la forza di Lorentz ha verso opposto rispetto alla forza esterna $ F_E $
La forza di Lorentz e' $\bb F = \bb v \times \bb B$.
Questa formula ti dice gia' tutto riguardo alle direzioni:
$\bb v $ e' orientata secondo l'asse $x$
$\bb B$ e' orientato secondo l'asse $y$.
$\bb F$ secondo l'asse $z$.
Questa regolina e' generale e deriva da come e' scritto il prodotto vettoriale.
Infatti la forza di Lorentz la trovi sempre scritta cosi' $\bb F = \bb v \times \bb B$
e mai scritta cosi' $\bb F = \bb B \times \bb v$.
E il motivo e' che le direzioni devono essere chiare.
Hai tutto quello che ti serve per concludere che la forza di Lorentz si oppone sempre alla velocita' della barretta.
Devi solo fare delle considerazioni su come vengono spinte le cariche fittizie positive.
Grazie mille per le risposte, ci ragionerò su!! E grazie per la disponibilità
Oggi, a pensarci bene, veramente un "Bel" problema 
Tema d'esame suppongo.
Tema d'esame suppongo.
Sì è tratto da un vecchio tema d'esame, a sua volta tratto dall'Iridov :)
E' in modulo pari a \(\frac{|\vec{F}_e|}{|\vec{B}| a}\) ?
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