Circuito con condensatore, induttanza e interruttore
Un circuito è formato da un condensatore di capacità C, un’induttanza L ed un interruttore S
posti in serie, come mostrato in figura. Il condensatore è inizialmente carico, con caria q0 e
l’interruttore aperto. All’istante t=0 l’interruttore viene chiuso. Determinare:
A) L’equazione di maglia
B) L’andamento temporale della carica q(t) sul condensatore
C) L’andamento temporale della corrente i(t) circolante nel circuito
D) L’energia elettrica del condensatore
E) L’energia magnetica dell’induttanza
F) L’energia totale ( elettrica e magnetica)
DATI: L = 80 mH, C= 4 μF, q0 = 20 μC.
Premetto che ho davvero grosse difficoltà con questo esercizio e quindi sono davvero poche le cose che ho provato a risolvere io.. quasi nulla.
A) Allora l'equazione della maglia è datta dalla seconda legge di Kirchhoff: $sum f_i=sum R_i*I_i$. In questo caso per via della presenza di un'induttanza vi è anche una forza elettromotrice indotta $f_a= -L*(dI)/dt$. Quindi l'equazione della maglia dovrebbe essere: $RI = f+f_a$ giusto? Ma io in questo caso non ho nè un generatore di forza elettromotrice nè una resistenza quindi l'equazione della maglia si riduce solo ad: $f_a=-L*(dI)/dt$ ?
B) e C) non ne ho idea (quello che mi complica "l'esistenza" è l'assenza della resistenza..)
D) L'energia elettrica del condensatore dovrebbe essere: $U_E= 1/2 Q^2/C$ ?
E) L'energia magnetica dell'induttanza dovrebbe essere: $U_F=1/2 CV^2$ ?
posti in serie, come mostrato in figura. Il condensatore è inizialmente carico, con caria q0 e
l’interruttore aperto. All’istante t=0 l’interruttore viene chiuso. Determinare:
A) L’equazione di maglia
B) L’andamento temporale della carica q(t) sul condensatore
C) L’andamento temporale della corrente i(t) circolante nel circuito
D) L’energia elettrica del condensatore
E) L’energia magnetica dell’induttanza
F) L’energia totale ( elettrica e magnetica)
DATI: L = 80 mH, C= 4 μF, q0 = 20 μC.
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Premetto che ho davvero grosse difficoltà con questo esercizio e quindi sono davvero poche le cose che ho provato a risolvere io.. quasi nulla.
A) Allora l'equazione della maglia è datta dalla seconda legge di Kirchhoff: $sum f_i=sum R_i*I_i$. In questo caso per via della presenza di un'induttanza vi è anche una forza elettromotrice indotta $f_a= -L*(dI)/dt$. Quindi l'equazione della maglia dovrebbe essere: $RI = f+f_a$ giusto? Ma io in questo caso non ho nè un generatore di forza elettromotrice nè una resistenza quindi l'equazione della maglia si riduce solo ad: $f_a=-L*(dI)/dt$ ?
B) e C) non ne ho idea (quello che mi complica "l'esistenza" è l'assenza della resistenza..)
D) L'energia elettrica del condensatore dovrebbe essere: $U_E= 1/2 Q^2/C$ ?
E) L'energia magnetica dell'induttanza dovrebbe essere: $U_F=1/2 CV^2$ ?
Risposte
La legge di Kirchhoff afferma che la somma algebrica di tutte le tensioni lungo una maglia è pari a zero, non è necessario che siano presenti dei resistori; in questo caso la somma è relativa alle due tensioni su C e su L.
Se conosci le due equazioni fondamentali che regolano il legame fra correnti e tensioni sui due bipoli C e L,
$i_C=C\frac{\text{d} v_C}{\text{d} t} $
$v_L=L\frac{\text{d} i_L}{\text{d} t}$
ti basterà osservare che, mantenendo la convenzione indicata per la corrente $i$ nella figura, detta $v_L=v_{ba}$ la tensione ai morsetti dell'induttore e $v_C=v_{dc}$ la tensione ai morsetti del condensatore, avrai un'unica corrente $i=i_L=i_C$ e un'unica tensione $v=v_C=-v_L$, potrai risolvere con il seguente semplice sistema di equazioni differenziali
${ ( i'=-v\text{/}L ),( v'=i\text{/}C):}$
Se conosci le due equazioni fondamentali che regolano il legame fra correnti e tensioni sui due bipoli C e L,
$i_C=C\frac{\text{d} v_C}{\text{d} t} $
$v_L=L\frac{\text{d} i_L}{\text{d} t}$
ti basterà osservare che, mantenendo la convenzione indicata per la corrente $i$ nella figura, detta $v_L=v_{ba}$ la tensione ai morsetti dell'induttore e $v_C=v_{dc}$ la tensione ai morsetti del condensatore, avrai un'unica corrente $i=i_L=i_C$ e un'unica tensione $v=v_C=-v_L$, potrai risolvere con il seguente semplice sistema di equazioni differenziali
${ ( i'=-v\text{/}L ),( v'=i\text{/}C):}$
Scusa ma ho bisogno davvero che tu mi chiarisca le idee.. Queste due relazioni non mi sembra di averle mai "viste". Me le potresti spiegare meglio, dal punto di vista concettuale? Risolvendo quel sistema cosa mi ricavo? L'equazione della maglia del circuito? Grazie mille per il tuo aiuto !
Premesso che dovresti farmi il favore di cancellare tutto l'inutile quoting del mio messaggio, di sicuro quelle equazioni le conosci: la prima non è altro che una diversa forma della
$i_C=\frac{\text{d} q_C}{\text{d} t} $
la seconda della "regola del flusso" (Faraday N L) [nota]Devi solo ricordare che la tensione ai morsetti di un induttore è pari all'opposto della fem indotta $v_L=-\xi$.[/nota]
$v_L=\frac{\text{d} \Phi_c}{\text{d} t}$
visto che di certo sai che
$C=\frac{q}{v$
e
$L=\frac{\Phi_c}{i}$
Dal sistema di equazioni differenziali del primo ordine ti potrai ricavare sia la $i(t)$ sia la $v(t)$ e di conseguenza la $q(t)=v(t)C$; componendo le due equazioni otterrai un'equazione differenziale del secondo ordine (in i(t) oppure v(t)) che, con le condizioni iniziali note, ti porterà alla soluzione.
$i_C=\frac{\text{d} q_C}{\text{d} t} $
la seconda della "regola del flusso" (Faraday N L) [nota]Devi solo ricordare che la tensione ai morsetti di un induttore è pari all'opposto della fem indotta $v_L=-\xi$.[/nota]
$v_L=\frac{\text{d} \Phi_c}{\text{d} t}$
visto che di certo sai che
$C=\frac{q}{v$
e
$L=\frac{\Phi_c}{i}$
Dal sistema di equazioni differenziali del primo ordine ti potrai ricavare sia la $i(t)$ sia la $v(t)$ e di conseguenza la $q(t)=v(t)C$; componendo le due equazioni otterrai un'equazione differenziale del secondo ordine (in i(t) oppure v(t)) che, con le condizioni iniziali note, ti porterà alla soluzione.
Premetto che ho da poco iniziato a fare esercizi di fisica II(come di sicuro avrai notato).Ti ringrazio per la spiegazione sulle due relazioni. Dal sistema ottengo: $i(t)=i(0)e^(-tv/L)$ ed $v(t)=v(0)e^(-ti/C)$ da cui mi ricavo poi $q(t)=v(0)e^(-ti/C)*C$, giusto?
Questo passaggio non mi è tanto chiaro...
Questo passaggio non mi è tanto chiaro...
componendo le due equazioni otterrai un'equazione differenziale del secondo ordine (in i(t) oppure v(t)) che, con le condizioni iniziali note, ti porterà alla soluzione.
"TheDroog":
giusto?
No, come dicevo devi "comporle" ovvero, per esempio, derivando la seconda
$v''={i'}/C$
e sostituendoci la prima
$v''+{v}/{LC}=0$
dalla quale avrai come equazione caratteristica
$\lambda^2=-1/{LC}$
e quindi due radici complesse coniugate e di conseguenza una soluzione del tipo
$v(t)=k_1\sin(\omega t)+k_2\cos(\omega t)$
con $\omega=1/\sqrt{LC}$
Chiaramente dal sistema delle due equazioni differenziali avresti potuto ricavarti direttamente i due autovalori complessi coniugati risolvendo via spazio degli stati via matrice A dei coefficienti
$(A-\lambda I)=0$
"TheDroog":
Questo passaggio non mi è tanto chiaro...
Intendevo dire che la suddetta generica soluzione unita alle due condizioni iniziali $v(0+)=q_0/C=5 \ \text{V}$ e $v'(0+)=(i(0+))/C=0 \ \text{V/s}$
ti avrebbe permesso di ottenere le costanti $k_1=0$ e $k_2=5$
$v(t)= q_0/C \cos(\omega t)$
e quindi anche
$q(t)= q_0 \cos(\omega t)$
Questa è la "strada" normale, ma alternativamente avresti potuto con un po' di "furbizia" scoprirne una molto più breve partendo dalla considerazione che si tratta di un circuito LC senza R e quindi privo di smorzamento, di conseguenza la tensione iniziale su C è anche la tensione massima della cosinusoide relativa alla tensione presente ai morsetti del circuito oscillante e quindi scrivere direttamente la soluzione.
Ti ringrazio. Ma nel caso in cui avessi voluto calcolarmi la $i(t)$, quali sarebbero state le due conidzioni iniziali per trovarmi poi le due costanti $k1$ e $k2$ ? $i'=-V/L$ ed? Il punto E) e il punto D) sono corretti? Nel punto F) c'è qualche energia in "più" rispetto alle due calcolate nei due punti precendenti?
"TheDroog":
.... nel caso in cui avessi voluto calcolarmi la $i(t)$, quali sarebbero state le due conidzioni iniziali per trovarmi poi le due costanti $k1$ e $k2$ ? $i'=-V/L$ ed?
Si, la prima è $i'(0)=-(v(0))/L$ mentre la seconda condizione è data dalla continuità della corrente nell'induttore $i(0)=0$.
...Il punto E) e il punto D) sono corretti? Nel punto F) c'è qualche energia in "più" rispetto alle due calcolate nei due punti precendenti?
Le richieste di quei due punti non sono chiare, in quanto non si capisce se si vogliono conoscere le due energie come funzioni del tempo o quelle massime.
Nel primo caso ti basterà usare la $W_L(t)=1/2 Li_L(t)^2$ e la $W_C(t)=1/2Cv_C(t)^2$, nel secondo caso le due energie massime sono pari a quella inizialmente immagazzinata nel condensatore prima della chiusura dell'interruttore, energia corrispondente anche a quella totale richiesta in F, somma delle due precedenti energie istantanee, e indipendente dal tempo.
Le richieste di quei due punti non sono chiare, in quanto non si capisce se si vogliono conoscere le due energie come funzioni del tempo o quelle massime.
Credo si riferisca alle due energie come funzioni del tempo. Finalmente l'esercizio è finito ! (Grazie a te ovviamente
)somma delle due precedenti energie istantanee
In questo caso la $i=0$ e quindi anche la $W_L=0$ ?
$W_L(0)=0$, non $W_L(t)$!
Si, io a quello mi riferivo.. Grazie di tutto !
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