Circuito a ponte in alternata
Salve,
ho una leggera difficoltà nell'impostare correttamente il seguente esercizio.
Nel circuito in figura (con tutti gli elementi noti) calcolare la corrente efficace che arriva al condensatore.
Si ha
$I=I_1+I_2$
ma $I_2=I_3+I_4$
dunque la relazione per le correnti è
$I=I_3+I_4+I_1$
Assuno positivo il verso orario della corrente nelle due maglie, ($V_L=i\omegaL$ e $V_C=-i/(\omegaC))$
Nella prima maglia:
$R_1I_2+V_L+V_C-R_3I_1=0$
Nella seconda maglia
$R_2I_4-R_4I_5-V_C-V_L=0$
facendo le dovute sostituizioni avrei
il seguente sistema
$R_1I_2+V_L+V_C-R_3I_1=0$
$R_2(I_2-I_3)-R_4(I_1+I_3)-V_L-V_C=0$
due equazioni con tre incognite....
ho una leggera difficoltà nell'impostare correttamente il seguente esercizio.
Nel circuito in figura (con tutti gli elementi noti) calcolare la corrente efficace che arriva al condensatore.
Si ha
$I=I_1+I_2$
ma $I_2=I_3+I_4$
dunque la relazione per le correnti è
$I=I_3+I_4+I_1$
Assuno positivo il verso orario della corrente nelle due maglie, ($V_L=i\omegaL$ e $V_C=-i/(\omegaC))$
Nella prima maglia:
$R_1I_2+V_L+V_C-R_3I_1=0$
Nella seconda maglia
$R_2I_4-R_4I_5-V_C-V_L=0$
facendo le dovute sostituizioni avrei
il seguente sistema
$R_1I_2+V_L+V_C-R_3I_1=0$
$R_2(I_2-I_3)-R_4(I_1+I_3)-V_L-V_C=0$
due equazioni con tre incognite....
Risposte
... con cinque incognite! ... interessanti quelle relazioni fra parentesi per VC e VL 
BTW Tu se non ricordo male conosci solo Kirchhoff, vero? ... Thevenin e Norton mai sentiti nominare?
Come sempre: puoi postare il testo originale?
BTW Tu se non ricordo male conosci solo Kirchhoff, vero? ... Thevenin e Norton mai sentiti nominare?
Come sempre: puoi postare il testo originale?
ecco il testo
si in effetti conosco solo Kirhhoff
si in effetti conosco solo Kirhhoff
Visti i valori numerici cade la mia ipotesi semplificativa per risonanza del lato diagonale o per "ponte equilibrato", ne segue che conoscendo solo Kirchhoff, non ti resta altro che scrivere un sistema in sei equazioni (tre KCL + 3 KVL), e sei incognite (le sei correnti di ramo) 
, e risolverlo; senza dubbio un barboso problema di matematica più che di Elettrotecnica, sostanzialmente privo di valore didattico.
, e risolverlo; senza dubbio un barboso problema di matematica più che di Elettrotecnica, sostanzialmente privo di valore didattico.
Facendo riferimento al primo disegno, sono corrette le seguenti equazioni?
$I=I_1+I_2$
$I_2=I_3+I_4$
$I_1+I_3=I_5$
$R_1I_2+V_L+V_C-R_3I_1=0$
$R_2I_4-R_4I_5-V_C-V_L=0$
$E=RI+V_(AB)$
in quest'ultima equazione come esprimere $V_(AB)$?
$I=I_1+I_2$
$I_2=I_3+I_4$
$I_1+I_3=I_5$
$R_1I_2+V_L+V_C-R_3I_1=0$
$R_2I_4-R_4I_5-V_C-V_L=0$
$E=RI+V_(AB)$
in quest'ultima equazione come esprimere $V_(AB)$?
"zorrok":
Facendo riferimento al primo disegno, sono corrette le seguenti equazioni?
Si, ma per quanto riguarda l'ultima
"zorrok":
...
$E=RI+V_(AB)$
in quest'ultima equazione come esprimere $V_(AB)$?
Devi completare la maglia andando a chiuderla attraverso i lati del "quadrato" centrale, utilizzando uno dei quattro possibili percorsi; per esempio "passando" attraverso R3 e R4 avrai che l'equazione potrà essere scritta come segue
$E=RI+R_3I_1+R_4I_5$
alternativamente potevi attraversare (R1 e R2), (R1, L, C e R4). oppure (R3, C, L e R2).
Chiaramente le tensioni VL e VC dovrai esprimerle in funzione di I3, correggendo le relazioni scritte fra parentesi nel post iniziale.
Dunque il sistema è il seguente:
$I=I_1+I_2$
$I_2=I_3+I_4$
$I_1+I_3=I_5$
$R_1I_2+V_L+V_C-R_3I_1=0$
$R_2I_4-R_4I_5-V_C-V_L=0$
$E=RI+R_3I_1+R_4I_5$
con $V_L=j\omegaLI_3$ e $V_C=-j/(\omegaC)I_3$ e $I$ complesso.
proverò a risolverlo...
$I=I_1+I_2$
$I_2=I_3+I_4$
$I_1+I_3=I_5$
$R_1I_2+V_L+V_C-R_3I_1=0$
$R_2I_4-R_4I_5-V_C-V_L=0$
$E=RI+R_3I_1+R_4I_5$
con $V_L=j\omegaLI_3$ e $V_C=-j/(\omegaC)I_3$ e $I$ complesso.
proverò a risolverlo...
Per semplificare il calcolo ti conviene considerare l'impedenza del ramo centrale $Z=j(X_L+X_C)$ al fine di sostituire la somma $V_L +V_C$ nel sistema con il termine $ZI_3$.
con tale suggerimento il sistema, sfruttando le condizioni sulle correnti diventa
$R_1I_2+ZI_3-R_3I_1=0$
$R_2I_2-R_2I_3-R_4I_1-R_4I_3-ZI_3=0$
$E=RI_1+RI_2+R_3I_1+R_4I_1+R_4I_3=0$
applico il metodo per sostituzione e ricavo $I_1$ dalla prima
$I_1=(1/R_3)(R_1I_2+ZI_3)$
$R_2I_2-k_1I_3-R_4I_1=0$
$E=(R+R_3+R_4)I_1+RI_2+R_4I_3$
avendo posto $k_1=R_2+R_4+Z$
$Z=j(X_L+X_C)$
$R_1I_2+ZI_3-R_3I_1=0$
$R_2I_2-R_2I_3-R_4I_1-R_4I_3-ZI_3=0$
$E=RI_1+RI_2+R_3I_1+R_4I_1+R_4I_3=0$
applico il metodo per sostituzione e ricavo $I_1$ dalla prima
$I_1=(1/R_3)(R_1I_2+ZI_3)$
$R_2I_2-k_1I_3-R_4I_1=0$
$E=(R+R_3+R_4)I_1+RI_2+R_4I_3$
avendo posto $k_1=R_2+R_4+Z$
$Z=j(X_L+X_C)$
Non vorrai andare a risolverlo per via simbolica.
be...ci ho provato ma dopo alcune ore mi sono arreso!
anche perchè essendo $I_1$ dato dalla prima relazione del sistema precedente esso ha al denominarore $R_3$ e poi andando a sostituire alle altre equazioni si arriva sino all'espressione di $I_3$ che a me viene
$R_3(R_2R_3-R_1R_4)E=((k_1R_1+R*R_3)(k_1R_3+R_4Z)+k_2ZR_2R_3-k_2ZR_1R_4+R_2R_3^2R_4-R_1R_3R_4^2)I_3$
con
$k_1=R_2+R_4+Z$ e $k_2=R+R_3+R_4$
mentre il testo dice
$ER_2(R_2-R_1)=(((R_2(2R(R_1+R_2)+R_2(3R_1+R_2))+j(\omegaL+(1/(\omegaC))((R(R_1+3R_2)+R_2(2R_1+2R_2)))I_3$
anche perchè essendo $I_1$ dato dalla prima relazione del sistema precedente esso ha al denominarore $R_3$ e poi andando a sostituire alle altre equazioni si arriva sino all'espressione di $I_3$ che a me viene
$R_3(R_2R_3-R_1R_4)E=((k_1R_1+R*R_3)(k_1R_3+R_4Z)+k_2ZR_2R_3-k_2ZR_1R_4+R_2R_3^2R_4-R_1R_3R_4^2)I_3$
con
$k_1=R_2+R_4+Z$ e $k_2=R+R_3+R_4$
mentre il testo dice
$ER_2(R_2-R_1)=(((R_2(2R(R_1+R_2)+R_2(3R_1+R_2))+j(\omegaL+(1/(\omegaC))((R(R_1+3R_2)+R_2(2R_1+2R_2)))I_3$
Andare a risolvere simbolicamente per via "manuale" lo trovo una pazzia; visto che il testo ti chiede di determinare corrente e sfasamento per rispondere basterà una soluzione numerica.
BTW Occhio comunque al segno della reattanza capacitiva $X_C=-1/(\omega C)$.
BTW Occhio comunque al segno della reattanza capacitiva $X_C=-1/(\omega C)$.
Ad ogni modo, se quella che hai postato è la soluzione del Rosati, possiamo di certo affermare che è errata, in quanto porterebbe ad una corrente nulla quando $R_1=R_2$, il che è impossibile quando $R_3$ sia diversa da $R_4$ 
La corrente nel ramo centrale sarà nulla solo nella condizione di equilibrio per il ponte resistivo $R_1,R,2,R_3,R_4$ e questo, come noto, avviene solo quando il prodotto fra i valori resistivi dei due lati affacciati risulta uguale, ovvero quando
$R_1R_4=R_2R_3$
ne segue che la tua espressione è di certo più corretta
, ... anche se c'è qualcosa che non torna anche sul tuo risultato in quanto quel fattore R3 [nota]E parimenti per la R2 del Rosati.[/nota] a primo membro non sembra semplificabile con il coefficiente della I3 a secondo membro, ... anche quello da controllare.
E inoltre, che fine ha fatto la R4 nella soluzione del Rosati? ... di certo I3 è funzione anche di R4
Come al solito: mi puoi postare una foto della soluzione ufficiale?
La corrente nel ramo centrale sarà nulla solo nella condizione di equilibrio per il ponte resistivo $R_1,R,2,R_3,R_4$ e questo, come noto, avviene solo quando il prodotto fra i valori resistivi dei due lati affacciati risulta uguale, ovvero quando
$R_1R_4=R_2R_3$
ne segue che la tua espressione è di certo più corretta
, ... anche se c'è qualcosa che non torna anche sul tuo risultato in quanto quel fattore R3 [nota]E parimenti per la R2 del Rosati.[/nota] a primo membro non sembra semplificabile con il coefficiente della I3 a secondo membro, ... anche quello da controllare.E inoltre, che fine ha fatto la R4 nella soluzione del Rosati? ... di certo I3 è funzione anche di R4
Come al solito: mi puoi postare una foto della soluzione ufficiale?
Nell'attesa, giusto per mia curiosità, ho provato a risolvere via correnti di maglia, facendomi aiutare da wxMaxima ci ho messo meno di un paio di minuti.
Ed ecco il risultato
Lascio a te controllare il denominatore ottenuto con il tuo e con quello di Sergio.
Ed ecco il risultato
Lascio a te controllare il denominatore ottenuto con il tuo e con quello di Sergio.
anche me sembrava non corretta la soluzione del testo..
ecco l'originale
ecco l'originale
Ora ho capito, Rosati, vista l'uguaglianza dei tre resistori R2=R3=R4, usa R2 per indicare il loro comune valore, semplificando il calcolo simbolico, ma rendendolo privo di generalità e quindi sostanzialmente equivalente alla determinazione numerica.
hai veramente l'occhio lungo!
penso sia proprio così!
questo esercizio mi è stato molto utile..infinite grazie
penso sia proprio così!
questo esercizio mi è stato molto utile..infinite grazie
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