Circuito a due maglie RCL
Salve,
ho di fronte il seguente poblema.
Nel circuito mostrato nella figura (con valori noti dei suoi componenti) all'istante $t=0$ l'interruttore $K_1$ viene chiuso mentre $K_2$ resta aperto.
a) Si determini l'andamento della corrente in funzione del tempo.
b)All'istante $t=\tau$ l'interruttore $K_1$ viene aperto mentre $K_2$ viene chiuso, a quale istante $t'$ la carica sulle armature del condensatore raggiunge il valore massimo e quanto vale tale carica?
Per il punto a) la soluzione è banale in quanto siamo di fronte ad un circuito RL con soluzione "nota"
$I(t)=(E/R_1)(1-exp(-(R_1/L)t))$ (1)
per il punto b) non so come impostare il ragionamento per trovare l'istante in cui la carica è massima sul condensatore.
Siamo di fronte ad un circuito RCL autonomo (senza generatori) caso sottosmorzato in quanto con i dati numerici del problema si ha $\alpha<\omega_0$ avendosi come soluzione notoria di questo caso
$I(t)=exp(-\alphat)(A_1cos\omegat+A_2sin\omegat)$ (2)
dove $\alpha=R_2/(2L)=1500s^(-1)$ ; $ \omega_0=1/(LC)^(1/2)=2000s^(-1)$ e $\omega=(\omega_0^2-\alpha^2)^(1/2)=1320s^(-1)$
dove $\alpha$=fattore di smorzamento $\omega_0$ = frequenza propria o di risonaqnza e $\omega$=frequenza naturale o libera.
ho di fronte il seguente poblema.
Nel circuito mostrato nella figura (con valori noti dei suoi componenti) all'istante $t=0$ l'interruttore $K_1$ viene chiuso mentre $K_2$ resta aperto.
a) Si determini l'andamento della corrente in funzione del tempo.
b)All'istante $t=\tau$ l'interruttore $K_1$ viene aperto mentre $K_2$ viene chiuso, a quale istante $t'$ la carica sulle armature del condensatore raggiunge il valore massimo e quanto vale tale carica?
Per il punto a) la soluzione è banale in quanto siamo di fronte ad un circuito RL con soluzione "nota"
$I(t)=(E/R_1)(1-exp(-(R_1/L)t))$ (1)
per il punto b) non so come impostare il ragionamento per trovare l'istante in cui la carica è massima sul condensatore.
Siamo di fronte ad un circuito RCL autonomo (senza generatori) caso sottosmorzato in quanto con i dati numerici del problema si ha $\alpha<\omega_0$ avendosi come soluzione notoria di questo caso
$I(t)=exp(-\alphat)(A_1cos\omegat+A_2sin\omegat)$ (2)
dove $\alpha=R_2/(2L)=1500s^(-1)$ ; $ \omega_0=1/(LC)^(1/2)=2000s^(-1)$ e $\omega=(\omega_0^2-\alpha^2)^(1/2)=1320s^(-1)$
dove $\alpha$=fattore di smorzamento $\omega_0$ = frequenza propria o di risonaqnza e $\omega$=frequenza naturale o libera.
Risposte
"zorrok":
... per il punto b) non so come impostare il ragionamento per trovare l'istante in cui la carica è massima sul condensatore.
L'equazione differenziale del secondo ordine (che ti consiglio di ricavare senza usare soluzioni notevoli) la puoi scrivere sia in $q(t)$, come farebbe un fisico, sia in $v_C(t)$ come farebbe un ingegnere; in entrambi i casi, andrai a determinare le due condizioni iniziali sfruttando il fatto che, conoscendo l'istante $\tau$ di chiusura di $K_2$, conosci anche $i_L(\tau ^-)$ e che, se non altrimenti specificato, il condensatore è inizialmente scarico, $v_C(\tau^-)=0$.
Nota $q(t)$ o $v_C(t)$, sarà poi semplice determinare il massimo per la carica.
Si certo la (2) è stata ottenuta proprio scrivendo la seguente equazione del circuito
$V_R+V_C+V_L=0$ ossia $Ri(t)+L(di)/dt+V_C=0$
sfruttando le condizioni iniziali da te suggerite (che non mi erano chiare)
$i(0)=i(\tau)$ dove la $i(\tau)$ si ottinene dalla (1) ponendo $t=\tau$
$((di)/dt)_(t=\tau)=V_0/L=0$ essendo $V_0$ la tensione ai capi del condensatore che è nulla quando l'interruttore $K_2$ viene chiuso
ottendo la seguente espressione della corrente
$i(t)=i(\tau)exp(-\alphat)cos\omegat$ (3)
A noi interessa la carica massima sul condensatore, dunque devo integrare la (3) ?
$V_R+V_C+V_L=0$ ossia $Ri(t)+L(di)/dt+V_C=0$
sfruttando le condizioni iniziali da te suggerite (che non mi erano chiare)
$i(0)=i(\tau)$ dove la $i(\tau)$ si ottinene dalla (1) ponendo $t=\tau$
$((di)/dt)_(t=\tau)=V_0/L=0$ essendo $V_0$ la tensione ai capi del condensatore che è nulla quando l'interruttore $K_2$ viene chiuso
ottendo la seguente espressione della corrente
$i(t)=i(\tau)exp(-\alphat)cos\omegat$ (3)
A noi interessa la carica massima sul condensatore, dunque devo integrare la (3) ?
"zorrok":
... la (2) è stata ottenuta proprio scrivendo la seguente equazione del circuito
$V_R+V_C+V_L=0$ ossia $Ri(t)+L(di)/dt+V_C=0$
Scrivendola in $v_C(t)$ avresti fatto prima.
"zorrok":
... sfruttando le condizioni iniziali da te suggerite (che non mi erano chiare)
$i(0)=i(\tau)$ dave la $i(\tau)$ si ottinene dalla (1) ponendo $t=\tau$
Si, in quanto la $i_L(t)$ non può presentare discontinuità ...
"zorrok":
... $((di)/dt)_(t=\tau)=V_0/L=0$ essendo $V_0$ la tensione ai capi del condensatore che è nulla quando l'interruttore $K_2$ viene chiuso
No, la tensione sul condensatore non è uguale a quella sull'induttore; dai un occhio alla KVL alla maglia scritta sopra (per la quale era comunque necessario specificare le convenzioni adottate per corrente e tensione).
BTW Possiamo conoscere i dati numerici del problema?
al tuo post precedente dicevi $v_C(\tau)=0$ all'istante iniziale ossia per $t=\tau$
non capisco ...la tensione ai capi del condensatore non è nulla al'istante iniziale?
ecco i dati
$E = 20 V, R_1=5\Omega, R_2=30\Omega, L=10mH$ $C = 25\muF$ e $\tau=15ms$
con questi dati $\alpha=1500s^(-1)$ mentre $\omega_0=2000s^(-1)$
la risposta del testo è
$t'=\tau+(1/\omega)arctan((2\omegaL)/R_2)$
$q(t')=((i(\tau))/\omega)sin\omega(t'-\tau)exp(-\alpha(t'-\tau))$
non capisco ...la tensione ai capi del condensatore non è nulla al'istante iniziale?
ecco i dati
$E = 20 V, R_1=5\Omega, R_2=30\Omega, L=10mH$ $C = 25\muF$ e $\tau=15ms$
con questi dati $\alpha=1500s^(-1)$ mentre $\omega_0=2000s^(-1)$
la risposta del testo è
$t'=\tau+(1/\omega)arctan((2\omegaL)/R_2)$
$q(t')=((i(\tau))/\omega)sin\omega(t'-\tau)exp(-\alpha(t'-\tau))$
"zorrok":
... al tuo post precedente dicevi $v_C(\tau)=0$ all'istante iniziale ossia per $t=\tau$
non capisco ...la tensione ai capi del condensatore non è nulla al'istante iniziale?
Certo ma con "istante iniziale" [nota]A dire il vero avevo scritto $v_C(\tau^-)=0 $ e l 'uso dell'apice "meno" stava a significare un istante immediatamente precedente la chiusura.[/nota] intendevo l'istante di chiusura di K2, a partire dalla chiusura di K1, chiaramente per comodità ci converrà poi far ripartire il tempo, ovvero riazzerate il cronometro alla chiusura di K2.
"zorrok":
... ecco i dati
Quindi direi un problema mal posto con quel $ \tau$ così grande rispetto alla costante di tempo del primo transitorio.
"zorrok":
... mentre $\omega=2000s^(-1)$
$\omega_0=2000 \ \text{s}^(-1)$
"zorrok":
... la risposta del testo è
Beh, quello lo verifichiamo alla fine, ma vedo che non commenti quanto ti ho fatto notare sulla condizione iniziale associata alla derivata della corrente.
Giusto una seconda considerazione: chiaramente, partendo la tensione da zero, il massimo per la carica lo avremo in corrispondenza del primo massimo per $|v_C(t)|$, concordi?
grazie alle tue "imboccate" penso di "esserci" almeno per il calcolo del tempo nel quale la carica è massima. Tutto l'inghippo era nel valutare correttamente (da parte mia) le due condizioni iniziali
la prima è ovvia:
$i(0)=i(\tau)$
la seconda "dovrebbe" essere la seguente
$Ri(0)+L((di)/dt)_(t=0)+V_C(0)=0$
ma $V_C(0)=0$ all'istante iniziale relativo alla seconda maglia, dunque la seconda condizione iniziale è
$((di)/dt)_(t=0) = -(R/L)i(0)$
facendo i calcolini trovo
$A_1=i(\tau)$ e $A_2=-R/(2R\omega)$
quindi la nostra espressione della corrente circolante nella seconda maglia è
$i(t)=exp(-\alphat)i(\tau)(cos\omegat-(R/(2L\omega))sin\omegat)$
La corrente è definita come $i(t)=(d(q(t)))/dt$
il valore massimo della carica si ha nell'stante di tempo t' che annulla la derivata prima di $q(t)$ ossia che annulla $i(t)$
$i(t)=exp(-\alphat)i(\tau)(cos\omegat-(R/(2L\omega))sin\omegat)=0$
ossia $cos\omegat'-(R/(2L\omega))sin\omegat'=0$ cioè
$tan\omegat'=((2L\omega)/R)$
e in definitiva ricordandoci che rispetto al tempo iniziale t=0 occorre sommare a t' il tempo $\tau$ abbiamo la soluzione (che è quella data del testo)
$t'=\tau+(1/\omega)arctan((2L\omega)/R)=50ms$ la soluzione numerica del testo invece dice 17.2 ms??!
Non ci rimane che calcolare a questo istante di tempo t' quanto vale la carica, dovrei integrare la funzione $i(t)$ per ottenere la $q(t)$?
la prima è ovvia:
$i(0)=i(\tau)$
la seconda "dovrebbe" essere la seguente
$Ri(0)+L((di)/dt)_(t=0)+V_C(0)=0$
ma $V_C(0)=0$ all'istante iniziale relativo alla seconda maglia, dunque la seconda condizione iniziale è
$((di)/dt)_(t=0) = -(R/L)i(0)$
facendo i calcolini trovo
$A_1=i(\tau)$ e $A_2=-R/(2R\omega)$
quindi la nostra espressione della corrente circolante nella seconda maglia è
$i(t)=exp(-\alphat)i(\tau)(cos\omegat-(R/(2L\omega))sin\omegat)$
La corrente è definita come $i(t)=(d(q(t)))/dt$
il valore massimo della carica si ha nell'stante di tempo t' che annulla la derivata prima di $q(t)$ ossia che annulla $i(t)$
$i(t)=exp(-\alphat)i(\tau)(cos\omegat-(R/(2L\omega))sin\omegat)=0$
ossia $cos\omegat'-(R/(2L\omega))sin\omegat'=0$ cioè
$tan\omegat'=((2L\omega)/R)$
e in definitiva ricordandoci che rispetto al tempo iniziale t=0 occorre sommare a t' il tempo $\tau$ abbiamo la soluzione (che è quella data del testo)
$t'=\tau+(1/\omega)arctan((2L\omega)/R)=50ms$ la soluzione numerica del testo invece dice 17.2 ms??!
Non ci rimane che calcolare a questo istante di tempo t' quanto vale la carica, dovrei integrare la funzione $i(t)$ per ottenere la $q(t)$?
"zorrok":
... la seconda "dovrebbe" essere la seguente
$((di)/dt)_(t=0) = -(R/L)i(0)$
Ok
"zorrok":
...facendo i calcolini trovo
$A_1=i(\tau)$ e $A_2=-R/(2R\omega)$
Typo a parte, Ok.
"zorrok":
... quindi la nostra espressione della corrente circolante nella seconda maglia è
$i(t)=exp(-\alphat)i(\tau)(cos\omegat-(R/(2L\omega))sin\omegat)$
Ok.
"zorrok":
... il valore massimo della carica si ha nell'stante di tempo t' che annulla la derivata prima di $q(t)$ ossia che annulla $i(t)$
Ok, e il massimo per la carica, visto che non è altrimenti specificato, sarà inteso in valore assoluto.
"zorrok":
...$t'=\tau+(1/\omega)arctan((2L\omega)/R)=50ms$ la soluzione numerica del testo invece dice 17.2 ms??!
Premesso che non hai usato $\omega$ ma $\omega_0$, non concordo con la soluzione del testo in quanto il primo massimo lo abbiamo dopo circa $0.546\ \text{ms}$ e quindi $t' \approx 15.55 \ \text{ms}$ e non $17.2 \ \text{ms}$, che è invece prossimo, ma non uguale, al secondo massimo che si trova intorno ai $17.92 \ \text{ms}$.
"zorrok":
...Non ci rimane che calcolare a questo istante di tempo t' quanto vale la carica, dovrei integrare la funzione $i(t)$ per ottenere la $q(t)$?
Si ma, come ti dicevo, io avrei cercato di evitare di passare attraverso la corrente, andando a scrivere l'equazione differenziale nella tensione sul condensatore, che avrà forma simile a quella da te ricavata per la corrente, ma che grazie alla condizione iniziale nulla porterà ad una costante A=0
$v_C(t)=B e^{-\alpha t}\sin(\omega t)$
dove B sarà ricavabile dalla condizione iniziale sulla derivata
$\dot v_C(0)=\frac{i_0}{C} \qquad \Rightarrow \qquad B=\frac{i_0}{C\omega}$
mentre l'istante di tempo corrispondente al massimo, uguagliando a zero la derivata
$\dot v_C(t_M)=0 \qquad \Rightarrow \qquad t_M=\frac{1}{\omega}\arctan(\frac{\omega}{\alpha})$
che traslando nel tempo per mantenere l'istante iniziale alla chiusura di $K_1$, porta a
$t'=\tau+t_M$
e la carica massima a
$q(t ' )=\frac{i_0}{\omega}e^{-\alpha (t'-\tau)}\sin[ \omega (t'-\tau)]$
.
chiaro e "chirurgico"!
solo un insignificante dettaglio numerico..ho fato i conticini con calma ma me viene $t'=46ms$ il secondo addendo mi viene 31 ms con $\omega=1323s^(-1)$ $L=10^-2s^(-1)$ e $ C =25\mus$
solo un insignificante dettaglio numerico..ho fato i conticini con calma ma me viene $t'=46ms$ il secondo addendo mi viene 31 ms con $\omega=1323s^(-1)$ $L=10^-2s^(-1)$ e $ C =25\mus$
Spero tu non abbia la calcolatrice impostata su Degree, vero? 
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2F1323)atan(1323%2F1500)
BTW Occhio alle unità di misura!
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2F1323)atan(1323%2F1500)
BTW Occhio alle unità di misura!
Opss!!!!
..la vecchiaia incombe....
..la vecchiaia incombe....
Visto che a me non incombe ma ci sono proprio "dentro" 
, giusto per controllare di non aver sbagliato io, ho provato a simulare numericamente il transitorio
e il risultato conferma il calcolo intorno ai 550 microsecondi per il primo massimo, che ovviamente è anche il massimo assoluto.
, giusto per controllare di non aver sbagliato io, ho provato a simulare numericamente il transitorio e il risultato conferma il calcolo intorno ai 550 microsecondi per il primo massimo, che ovviamente è anche il massimo assoluto.
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