[Cinematica]Teorema sui moti centrali

[caffeinaplus]

Salve,
il libro dà questa affermazione

Ogni moto centrale è necessariamente piano

Edit: Sostanzialmente un moto centrale è un moto che ha accelerazione sempre rivolta verso un certo punto $O$ che è detto centro del moto

Solo che io non ne capisco la dimostrazione!

Lui procede considerando il piano osculatore contente il punto $O$ dove sono orientate tutte le accelerazioni e il vettore velocità $v(t)$ nell'istante considerato.
Detto questo lui afferma che il piano allora in quell'istante conterrà anche la velocità relativa all'istante successivo, quindi $v(t+dt)$, che mi sembra ragionevolmente vero.
Poi afferma che

A partire da questo istante si ragiona allo stesso modo; e si è così tratti a concludere che il piano considerato contiene la velocità relativa ad un istante qualsiasi, e quindi tutta intera la traiettoria del moto

Che mi sembra un po una fesseria, basti pensare a una traiettoria sferica con accelerazione solo centripeta!

Poi dopo qualche altra considerazione da una dimostrazione analitica dicendo che

se $P$ è il punto dove si trova il corpo, $O$ il centro del moto e $v$ la velocità del corpo sappiamo che

$(P-O) \wedge v = c$
Supponendo $c!=0$ e sapendo che è ortogonale a entrambi quei vettori si conclude che

$c * (P-O) = 0$

di qui risulta che $P-O$ è costantemente perpendicolare a $c$, quindi il punto mobile $P$ giace sempre nel piano normale a $c$ condotto per $O$.

Che in un primo momento mi sembra più accettabile, ma poi tornando all'esempio del moto su una sfera mi pare non riesca a funzionare!

Qualcuno può aiutarmi a capire questo fatto?

[Shackle]

Io vorrei piuttosto capire che cosa intende il tuo libro per "moto centrale" , perché il punto di partenza è questo .

[caffeinaplus]

Ah chiedo scusa, pensavo fosse una definizione abbastanza comune.
Sostanzialmente un moto centrale è un moto che ha accelerazione sempre rivolta verso un certo punto $O$ che è detto centro del moto

[Shackle]

"caffeinaplus":
Sostanzialmente un moto centrale è un moto che ha accelerazione sempre rivolta verso un certo punto $ O $ che è detto centro del moto

Non devi scusarti, ho chiesto solo perchè con le definizioni dei libri non si sa mai ... Avevo intuito che fosse questa la definizione, poiché non ce ne sono di molto diverse...ma allora la cosa, da un punto di vista dinamico, è semplice. Se l'accelerazione è rivolta costantemente verso un polo $O$ , anche la forza agente sul punto materiale, che è data da : $ vecF = mveca$ , è rivolta sempre verso quel polo. Quindi, a mio avviso più correttamente, si deve dire che il moto avviene sotto l'azione di una forza centrale. E quando questo succede, il momento di questa forza rispetto al polo è nullo, e tale rimane: esempio tipico, il moto dei pianeti . Perciò , il vettore momento angolare del corpo, calcolato rispetto allo stesso polo, rimane costante :

$vecL = vecr times vecp = "cost" $

allora , il fatto che il vettore momento angolare rimane costante ha come conseguenza che il piano ad esso perpendicolare , contenente $vecr$ e $vecv$ , rimane costante . Quindi l'orbita è piana , come precisato qui :

https://it.wikipedia.org/wiki/Forza_centrale

e per me, tutti quegli arzigogolamenti sui vettori velocità sono inutili. Voglio dire, il concetto è semplice da un punto di vista dinamico, ma se ci si vuole limitare alla cinematica mi sembra che il procedimento sia abbastanza brigoso.

Piuttosto , spiegami che cosa vuoi dire tu con questo :

Che mi sembra un po una fesseria, basti pensare a una traiettoria sferica con accelerazione solo centripeta!

[professorkappa]

Il ragionamento della sfera ti trae in inganno. Il moto centrale su una sfera avviene in un piano! Quello del meridiano. Se ti sposti su un altro meridiano il moto non è più centrale, il corpo deve avere avuto, a un certo punto, una accelerazione non parallela al piano contenente il meridiano per spostarsi, e quindi non diretta verso il centro della sfera

[professorkappa]

Ovviamente anche un moto su un parallelo è centrale, ma il polo non è in questo caso il centro della sfera

[caffeinaplus]

@Shackle: spiegata così è decisamente più semplice.
Scusa se dirò ovvietà ma voglio essere certo di aver capito il ragionamento: in pratica dato che il prodotto vettoriale tra il braccio e la velocità è sempre costante, il prodotto è sempre lo stesso vettore anche se poi traslato in base agli spostamenti del punto.
Dato che il vettore prodotto è sempre lo stesso, il piano a esso ortogonale è sempre lo stesso e quindi se la velocità del vettore che la posizione giacciono sempre nello stesso piano di conseguenza il moto è piano!
Da un punto di vista della Dinamica in pratica non c'è niente che lo solleva dal piano, dato che la Forza applicata è piana e il momento nullo.

@Shackle, professorkappa: io avevo pensato a un moto del tipo, in coordinate polari
$rho = ( rcos(omega*t),rsin(omega*t),rsin(phi*t))$

$omega$ angolo nel piano $Oxy$
$phi$ angolo tra il braccio e l'asse $z$

Però mi sto rendendo conto che non è un moto centrale, quindi l'esempio della sfera non funziona

[Shackle]

Si, più o meno hai capito il concetto , ma questa idea :

il prodotto è sempre lo stesso vettore anche se poi traslato in base agli spostamenti del punto.

non è corretta . Non devi traslare il vettore momento angolare, che non sta sulla testa del punto materiale !

[caffeinaplus]

Cavolo hai ragione, il polo è $O$ ed è fisso

Esattamente perché ho "più o meno" capito il concetto e non pienamente?
Cosa mi sfugge?

[Shackle]

Fai attenzione, il vettore momento angolare $vecL$ è un vettore libero, non un vettore applicato. Non sei obbligato ad applicarlo nel polo $O$ ! È solo per comodità di rappresentazione che lo metti con l’origine in O .