Cinematica del punto

[zwan9]

Come si fa a calcolare:
1) la traiettoria
2) la legge oraria del moto
di un punto P che, in una base ortonormale levogira (0, e1, e2, e3) ha velocità vettoriale v= -k(x2e1-x1e2), k>0 e appartenente a R?
Si sappia che all'istante t=0:
x1(0)=R>0, x2(0)=x3(0)=0
Grazie mille in anticipo per l'aiuto!!
zwan

[goblyn]

Il vettore velocità è:

vx = -ky
vy = kx
vz = 0

Dove vx vy e vz sono le componenti della velocità v.
Naturalmente vx=x', vy=y', vz=z'. Quindi:

x' = -ky
y' = kx
z' = 0

Dalla prima eq. otteniamo y = -(1/k)*x'. Sostituiamo nella seconda e otteniamo:

-(1/k)*x'' = kx

Da cui

x(t) = A*cos(kt) + B*sin(kt)

con A e B costanti da assegnare. x' vale:

x'(t) = vx = -kA*sin(kt) + Bk*cos(kt)

Ricaviamo allora y dalla prima equazione:

y(t) = vy = A*sin(kt) - B*cos(kt)

z vale:

z(t)=C

con C costante da assegnare.
Ora non resta che imporre le condizioni iniziali.

x(0)=A=R
y(0)=-B=0
z(0)=C=0

Riscriviamo allora l'equazione oraria:

x(t) = R*cos(kt)
y(t) = R*sin(kt)
z(t) = 0

Per la traiettoria basta notare che x(t)^2 + y(t)^2 = R^2 per ogni t. La traiettoria è quindi la circonferenza di raggio R centrata nell'origine e contenuta nel piano xy.