Ciclo Termodinamico di un gas monoatomico
Ciao ragazzi ho un dubbio sul seguente esercizio svolto ieri in sede d'esame, e mi sa che ho scritto una cosa sbagliata.
"Un gas perfetto monoatomico occupa nello stato $A$ un volume $V_A=5.00$ $l$ a pressione atmosferica e alla temperatura $T_A=300$ $K$. Esso è riscaldato a volume costante fino allo stato $B$ a pressione $p_B=3.00$ $atm$. Poi si espande isotermicamente fino allo stato $C$ a pressione $p_C=1$ $atm$, ed infine è compresso isobaricamente fino allo stato iniziale $A$.
a) Si calcolino il numero di moli n di cui è costituito il gas e le coordinate termodinamiche $(p,V,T)$ degli stati $A, B, C$;
b) calcolare il calore Q, il lavoro W e la variazione di energia interna $\Delta U$ per le trasformazioni $AB$, $BC$ e $CA$ e per l’intero ciclo.
Ho calcolato il tutto e svolto tutti i calcoli e la soluzione proposta coincide. Il mio dubbio è il seguente e riguarda il calcolo del lavoro nel tratto isotermo. Il testo non fa riferimento al fatto che il ciclo sia reversibile o irreversibile.
Il calore nel tratto isotermo si calcola, in base al primo principio, come $Q_(BC) = W_(BC)$ essendo la variazione di energia interna nulla.
Per una isoterma reversibile $BC$ il lavoro $W = nRTln((V_C)/(V_B))$. Tuttavia, questa relazione è valida se supponiamo la trasformazione appunto reversibile, in modo tale da poter avere la pressione $p$ costante. La pressione dello stato $B$ è diversa dalla pressione allo stato $C$, quindi ho preso questo tratto per irreversibile e ho scritto di non poter usare questa relazione per il calcolo del lavoro. Ho preso un abbaglio?
Quando ho studiato le varie trasformazioni del gas mi sono fatto quest'idea sul lavoro della isoterma perchè la relazione nasce dal fatto che si calcola il lavoro come fosse il lavoro di una isobara, ovvero come integrale di $p \Delta V$ e si sostituisce a $p$, tramite equazione di stato dei gas, la relazione $p = (nRT)/V$ e poi si risolve quel banale integrale ottenendo appunto che $W = nRTln((V_C)/(V_B))$. In questo caso però la pressione nel tratto $BC$ varia, per cui immaginavo che quel risultato non fosse applicabile. Qualora avessi torto mi potreste allora spiegare in cosa è sbagliata la mia interpretazione?
"Un gas perfetto monoatomico occupa nello stato $A$ un volume $V_A=5.00$ $l$ a pressione atmosferica e alla temperatura $T_A=300$ $K$. Esso è riscaldato a volume costante fino allo stato $B$ a pressione $p_B=3.00$ $atm$. Poi si espande isotermicamente fino allo stato $C$ a pressione $p_C=1$ $atm$, ed infine è compresso isobaricamente fino allo stato iniziale $A$.
a) Si calcolino il numero di moli n di cui è costituito il gas e le coordinate termodinamiche $(p,V,T)$ degli stati $A, B, C$;
b) calcolare il calore Q, il lavoro W e la variazione di energia interna $\Delta U$ per le trasformazioni $AB$, $BC$ e $CA$ e per l’intero ciclo.
Ho calcolato il tutto e svolto tutti i calcoli e la soluzione proposta coincide. Il mio dubbio è il seguente e riguarda il calcolo del lavoro nel tratto isotermo. Il testo non fa riferimento al fatto che il ciclo sia reversibile o irreversibile.
Il calore nel tratto isotermo si calcola, in base al primo principio, come $Q_(BC) = W_(BC)$ essendo la variazione di energia interna nulla.
Per una isoterma reversibile $BC$ il lavoro $W = nRTln((V_C)/(V_B))$. Tuttavia, questa relazione è valida se supponiamo la trasformazione appunto reversibile, in modo tale da poter avere la pressione $p$ costante. La pressione dello stato $B$ è diversa dalla pressione allo stato $C$, quindi ho preso questo tratto per irreversibile e ho scritto di non poter usare questa relazione per il calcolo del lavoro. Ho preso un abbaglio?
Quando ho studiato le varie trasformazioni del gas mi sono fatto quest'idea sul lavoro della isoterma perchè la relazione nasce dal fatto che si calcola il lavoro come fosse il lavoro di una isobara, ovvero come integrale di $p \Delta V$ e si sostituisce a $p$, tramite equazione di stato dei gas, la relazione $p = (nRT)/V$ e poi si risolve quel banale integrale ottenendo appunto che $W = nRTln((V_C)/(V_B))$. In questo caso però la pressione nel tratto $BC$ varia, per cui immaginavo che quel risultato non fosse applicabile. Qualora avessi torto mi potreste allora spiegare in cosa è sbagliata la mia interpretazione?
Risposte
$pV=nRT$ e' un'equazione di STATO. Date 2 variabili, la terza deve soddisfare quest'equazione.
Ma una trasformazione qualsiasi segue un altra legge.
Per un'isoterma, $pv=p_Av_A$.
Ora, se la trasformazione e' reversibile, la p e' determinata e identica in tutto il gas e quindi, essendo il lavoro
$intpdv$ ed e' lecito scrivere $W=int(p_Av_A)/vdv$ da cui ottieni $W=p_Av_Aln(v_B/v_A)$ siccome il punto A sottosta alla legge di stato, $W=RT_Aln(v_B/v_A)$
In altre parole la p e' determinata costante in tutto il gas istante per istante in virtu' della reversibilita', ma varia col tempo.
Ma una trasformazione qualsiasi segue un altra legge.
Per un'isoterma, $pv=p_Av_A$.
Ora, se la trasformazione e' reversibile, la p e' determinata e identica in tutto il gas e quindi, essendo il lavoro
$intpdv$ ed e' lecito scrivere $W=int(p_Av_A)/vdv$ da cui ottieni $W=p_Av_Aln(v_B/v_A)$ siccome il punto A sottosta alla legge di stato, $W=RT_Aln(v_B/v_A)$
In altre parole la p e' determinata costante in tutto il gas istante per istante in virtu' della reversibilita', ma varia col tempo.
Quindi in sostanza mi sono Perso alla fine... Ho preso una totale cantonata. Peccato, avrei potuto (forse, se I miei conti sono esatti) aspirare a un risultato eccellente. Ho toppato la parte finale dell'esercizio
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo