Chiedo aiuto per dimostrare le equazioni del modello
Buongiorno, come progetto di tesi mi è stato consegnato questo modello fisico su cui poi svolgere una parte di controllo automatico. Mi piacerebbe, e sarebbe mio compito, prima di tutto dimostrare il più possibile le equazioni del modello che mi vengono già fornite sotto forma di accelerazione nelle tre componenti.
Vi ho allegato il file dove è riportato il problema col modello e le equazioni.
Sto facendo una fatica incredibile per spiegare alcuni termini. Ad esempio la prima equazione mi è chiara se non fosse per il cos(Theta)/h che moltiplica la forza viscosa e quella elastica.
Poi nella seconda e terza equazione non riesco a spiegarmi la maggior parte dei termini.
Riuscireste ad aiutarmi o darmi qualche indicazione?
Vi ho allegato il file dove è riportato il problema col modello e le equazioni.
Sto facendo una fatica incredibile per spiegare alcuni termini. Ad esempio la prima equazione mi è chiara se non fosse per il cos(Theta)/h che moltiplica la forza viscosa e quella elastica.
Poi nella seconda e terza equazione non riesco a spiegarmi la maggior parte dei termini.
Riuscireste ad aiutarmi o darmi qualche indicazione?
Risposte
Non è una cosa proprio banalissima da spiegare, detto in soldoni si giustifica quel termine della prima equazione perché rende conto del fatto che il carrello risente tramite il braccio di una forza trasmessa dalla accelerazione della massa che oscilla in cima al braccio, e questa forza è proporzionale all'angolo cambiato di segno con l'aggiunta di un temine che rende conto della forza viscosa (vedi moti armonici).
Appena ho un po' di tempo magari sviluppo qualche calcolo.
Appena ho un po' di tempo magari sviluppo qualche calcolo.
Un po' di tempo l'ho trovato, ma mi limito alla prima equazione eh, di più non posso.
Consideriamo una massa m in cima a un'asta di massa trascurabile lunga h, vincolata a terra con cerniera avente una molla di richiamo e una resistenza viscosa. Impostiamo l'equazione differenziale del moto di questa massa, imponendo che la somma dei momenti sia uguale al prodotto del momento di inerzia per l'accelerazione angolare.
$$ - k\theta + mgh\sin \theta - b\dot \theta = I\ddot \theta = m{h^2}\ddot \theta $$
Ecco, questo è il modello dinamico.
Naturalmente c'è un'approssimazione, cioè si suppone di stare in un sistema inerziale, mentre invece il carrello è soggetto ad accelerazioni, quindi ci sarebbe un momento aggiuntivo dovuto al fatto di non essere in un sistema inerziale. Ma lo trascuriamo.
Vediamo adesso le forze che l'asta esercita sul carrello in senso x.
L'asta sopporta il peso della massa m, il quale però è "alleggerito" dalla forza centrifuga dovuta alla rotazione della massa.
In totale l'asta comunica al carrello la seguente forza in senso x:
$${f_x} = \left( {mg\cos \theta - mh{{\dot \theta }^2}} \right)\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta + mh\ddot \theta \cos \theta $$
Il problema cita anche una forza dell'attuatore in elevazione e la chiama f2. Allora si ha:
$${f_2} = mg\cos \theta - mh{{\dot \theta }^2}$$
dunque
$${f_x} = {f_2}\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta + mh\ddot \theta \cos \theta $$
Sostituendo l'accelerazione angolare con la sua espressione dovuta alla prima equazione differenziale che ho scritto si trova:
$$\eqalign{
& {f_x} = {m_1}\ddot x = {f_2}\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta - \frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{h}\cos \theta + mg\cos \theta \sin \theta \cr
& {m_1}\ddot x = {f_2}\sin \theta - \frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{h}\cos \theta \cr} $$
da cui l'espressione finale della accelerazione del carrello dovuta alla massa mobile in cima all'asta:
$$\ddot x = - \frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{{{m_1}h}}\cos \theta + \frac{{{f_2}}}
{{{m_1}}}\sin \theta $$
A questa va naturalmente aggiunta la $f_1/m_1$, che rappresenta la componente di accelerazione dovuta al motore del carrello.
Consideriamo una massa m in cima a un'asta di massa trascurabile lunga h, vincolata a terra con cerniera avente una molla di richiamo e una resistenza viscosa. Impostiamo l'equazione differenziale del moto di questa massa, imponendo che la somma dei momenti sia uguale al prodotto del momento di inerzia per l'accelerazione angolare.
$$ - k\theta + mgh\sin \theta - b\dot \theta = I\ddot \theta = m{h^2}\ddot \theta $$
Ecco, questo è il modello dinamico.
Naturalmente c'è un'approssimazione, cioè si suppone di stare in un sistema inerziale, mentre invece il carrello è soggetto ad accelerazioni, quindi ci sarebbe un momento aggiuntivo dovuto al fatto di non essere in un sistema inerziale. Ma lo trascuriamo.
Vediamo adesso le forze che l'asta esercita sul carrello in senso x.
L'asta sopporta il peso della massa m, il quale però è "alleggerito" dalla forza centrifuga dovuta alla rotazione della massa.
In totale l'asta comunica al carrello la seguente forza in senso x:
$${f_x} = \left( {mg\cos \theta - mh{{\dot \theta }^2}} \right)\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta + mh\ddot \theta \cos \theta $$
Il problema cita anche una forza dell'attuatore in elevazione e la chiama f2. Allora si ha:
$${f_2} = mg\cos \theta - mh{{\dot \theta }^2}$$
dunque
$${f_x} = {f_2}\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta + mh\ddot \theta \cos \theta $$
Sostituendo l'accelerazione angolare con la sua espressione dovuta alla prima equazione differenziale che ho scritto si trova:
$$\eqalign{
& {f_x} = {m_1}\ddot x = {f_2}\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta - \frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{h}\cos \theta + mg\cos \theta \sin \theta \cr
& {m_1}\ddot x = {f_2}\sin \theta - \frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{h}\cos \theta \cr} $$
da cui l'espressione finale della accelerazione del carrello dovuta alla massa mobile in cima all'asta:
$$\ddot x = - \frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{{{m_1}h}}\cos \theta + \frac{{{f_2}}}
{{{m_1}}}\sin \theta $$
A questa va naturalmente aggiunta la $f_1/m_1$, che rappresenta la componente di accelerazione dovuta al motore del carrello.
Prima di tutto Falco5x ti ringrazio e ti faccio i complimenti per aver trovato questa via di soluzione tramite i momenti. Avevo chiesto aiuto persino al mio ex professore di Fisica 2 e non era riuscito a trovare una via così elegante e chiara; quindi tanto di cappello.
Se trovi per caso il tempo per suggerirmi qualche cosa anche per le altre equazioni, anche in privato, te ne sarei infinitamente grato anche se capisco che scrivere tutto così chiaramente richiede molto tempo
P.S: posso chiederti anche cosa hai studiato per avere una conoscenza della materia simile, per interesse personale?
Se trovi per caso il tempo per suggerirmi qualche cosa anche per le altre equazioni, anche in privato, te ne sarei infinitamente grato anche se capisco che scrivere tutto così chiaramente richiede molto tempo
P.S: posso chiederti anche cosa hai studiato per avere una conoscenza della materia simile, per interesse personale?
"alereds":
P.S: posso chiederti anche cosa hai studiato per avere una conoscenza della materia simile, per interesse personale?
Sono ingegnere elettronico, e non ho mai fatto il professore.
C'è chi si diverte con l'enigmistica, io preferisco i problemini di fisica.
Riguardo a tentare di spiegare il resto non mi impegno, dipende dal tempo che avrò a disposizione, ma non è escluso...
Rieccomi qua: quando una cosa mi diverte mi ci dedico (se ho tempo, e adesso ce l'ho).
Per prima cosa devo fare qualche piccola rettifica ai calcoli precedenti (che però non inficiano il risultato già trovato).
Avendo guardato solo la prima riga di soluzione, quella della accelerazione secondo x, avevo supposto che l'altezza del carico fosse costante, cioè h fissa, mentre invece guardando adesso le altre due soluzioni mi accorgo che non è così; h è variabile.
Mea culpa 
Allora se h varia bisogna considerare due aspetti.
Primo aspetto: nell'equazione differenziale a secondo membro non si può mettere semplicemente il prodotto del momento di inerzia per l'accelerazione angolare, ma occorre scrivere la più generale derivata del momento angolare, poiché se h varia anche il momento di inerzia I varia.
Inoltre: come avevo già detto in un post precedente, occorre tenere conto del fatto che il carrello non è fisso, dunque esiste una ulteriore forza di inerzia che modifica la dinamica della massa m. Questo fatto non è stato considerato nella soluzione dell'esercizio, forse perché per angoli $\theta$ piccoli ignorare questo fatto comporta errori molto piccoli. Però adesso per necessità di quanto seguirà più avanti, la cosa non può essere ignorata, dunque riporto nell'equazione differenziale anche il contributo della "gravità" apparente causata dalla accelerazione del carrello.
L'equazione differenziale diventa dunque la seguente:
$$ - k\theta + mgh\sin \theta - b\dot \theta + m\ddot xh\cos \theta = \frac{{dL}}
{{dt}} = \frac{d}
{{dt}}\left( {m{h^2}\dot \theta } \right) = m{h^2}\ddot \theta + 2mh\dot h\dot \theta $$
Secondo aspetto: nelle formule della dinamica della massa sospesa m, se h varia entra in gioco oltre alla forza centrifuga anche la forza di Coriolis. Allora nella formula della $f_x$ c'è appunto un termine aggiuntivo che riguarda la componente x di questa forza. Inoltre considero anche qui la "gravità" apparente dovuta alla accelerazione del carrello. Da ultimo, per completezza aggiungo subito anche la $f_1$ che nel post precedente avevo messo solo alla fine. Si hanno allora le seguenti formule delle forze:
$$\eqalign{
& {f_2} = mg\cos \theta - mh{{\dot \theta }^2} - m\ddot x\sin \theta \cr
& {f_x} = \left( {mg\cos \theta - mh{{\dot \theta }^2} - m\ddot x\sin \theta } \right)\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta + 2m\dot h\dot \theta \cos \theta + mh\ddot \theta \cos \theta - m\ddot x + {f_1} \cr} $$
Mettendo insieme le formule già scritte ritrovo la formula della accelerazione x. Ecco i passaggi:
$$\eqalign{
& \left( {{m_1} + m} \right)\ddot x = {f_2}\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta + 2m\dot h\dot \theta \cos \theta + {f_1} + mh\ddot \theta \cos \theta \cr
& mh\ddot \theta \cos \theta = - \left( {\frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{h}} \right)\cos \theta + mg\sin \theta \cos \theta + m\ddot x{\cos ^2}\theta - 2m\dot h\dot \theta \cos \theta \cr
& \left( {{m_1} + m} \right)\ddot x = {f_2}\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta + 2m\dot h\dot \theta \cos \theta + {f_1} - \left( {\frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{h}} \right)\cos \theta + mg\sin \theta \cos \theta + m\ddot x{\cos ^2}\theta - 2m\dot h\dot \theta \cos \theta \cr
& \ddot x = \frac{{{f_2}\sin \theta - \left( {\frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{h}} \right)\cos \theta + {f_1}}}
{{{m_1} + m\left( {1 - {{\cos }^2}\theta } \right)}} \cr
& {m_{1c}} = {m_1} + m\left( {1 - {{\cos }^2}\theta } \right) \cr
& \ddot x = - \left( {\frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{{h{m_{1c}}}}} \right)\cos \theta + \frac{{{f_2}\sin \theta }}
{{{m_{1c}}}} + \frac{{{f_1}}}
{{{m_{1c}}}} \cr} $$
Come si vede la soluzione è quasi uguale a quella trovata nel mio primo post, con una correzione però inerente la massa a denominatore, che non è più quella del carrello $m_1$, ma diventa la massa corretta $m_(1c)$. Questa massa corretta può essere ottimamente assimilata a $m_1$ se la m è piccola, e ancor più se l'angolo $\theta$ è piccolo. Penso sia quest'ultima la ragione per la quale la soluzione data nell'esercizio del libro utilizza direttamente la $m_1$.
Fine dei calcoli per la prima soluzione
--------------------------------------------------
Passiamo adesso a calcolare l'accelerazione di h.
Nel sistema rotante e traslante costituito dall'asta, la massa m si muove in modo radiale. Pertanto la sua dinamica segue le regole del moto relativo rotatorio, nel quale entrano in gioco sia le forze attive sia le forze apparenti caratteristiche del moto rotatorio, oltre che la forza orizzontale apparente dovuta alla accelerazione secondo x del carrello. Mettendo insieme le cose salta fuori la seguente relazione:
$$\ddot h = \frac{{{f_2}}}
{m} - g\cos \theta + h{{\dot \theta }^2} + \ddot x\sin \theta $$
Il primo termine a destra del segno di uguaglianza è la quota di accelerazione dovuta al motore elevatore, il secondo è la componente della gravità lungo l'asta, il terzo è la accelerazione centrifuga, il quarto termine è la "gravità" apparente orizzontale generata dalla accelerazione del carrello.
Riprendendo la formula della accelerazione secondo x del carrello già trovata sopra, si hanno i seguenti passaggi:
$$\eqalign{
& \ddot x = - \frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{{{m_{1c}}h}}\cos \theta + \frac{{{f_2}}}
{{{m_{1c}}}}\sin \theta + \frac{{{f_1}}}
{{{m_{1c}}}} \cr
& \ddot h = - \frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{{{m_{1c}}h}}\sin \theta \cos \theta + \frac{{{f_2}}}
{{{m_{1c}}}}{\sin ^2}\theta + \frac{{{f_1}}}
{{{m_{1c}}}}\sin \theta + \frac{{{f_2}}}
{m} - g\cos \theta + h{{\dot \theta }^2} \cr
& \ddot h = - \frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{{2{m_{1c}}h}}\sin 2\theta + \frac{{{f_2}}}
{{{m_{1c}}}}{\sin ^2}\theta + \frac{{{f_1}}}
{{{m_{1c}}}}\sin \theta + \frac{{{f_2}}}
{m} - g\cos \theta + h{{\dot \theta }^2} \cr} $$
Fine dei calcoli per la seconda soluzione
--------------------------------------------------
Adesso occorre calcolare l'accelerazione angolare. Qui ci aiuta l'equazione differenziale trovata sopra:
$$ - k\theta + mgh\sin \theta - b\dot \theta + m\ddot xh\cos \theta = m{h^2}\ddot \theta + 2mh\dot h\dot \theta $$
Da questa e dalla soluzione della accelerazione secondo x si ricava:
$$\eqalign{
& \ddot \theta = - \left( {\frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{{m{h^2}}}} \right) + \frac{{g\sin \theta }}
{h} + \frac{{\ddot x\cos \theta }}
{h} - \frac{{2\dot h\dot \theta }}
{h} \cr
& \ddot \theta = - \frac{{\left( {k\theta + b\dot \theta } \right)}}
{{{h^2}m}} + \frac{{g\sin \theta }}
{h} - \left( {\frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{{{h^2}{m_{1c}}}}} \right){\cos ^2}\theta + \frac{{{f_2}\sin \theta \cos \theta }}
{{h{m_{1c}}}} + \frac{{{f_1}\cos \theta }}
{{h{m_{1c}}}} - \frac{{2\dot h\dot \theta }}
{h} \cr} $$
Salvo errori, ovviamente.
Per prima cosa devo fare qualche piccola rettifica ai calcoli precedenti (che però non inficiano il risultato già trovato).
Avendo guardato solo la prima riga di soluzione, quella della accelerazione secondo x, avevo supposto che l'altezza del carico fosse costante, cioè h fissa, mentre invece guardando adesso le altre due soluzioni mi accorgo che non è così; h è variabile.
Mea culpa Allora se h varia bisogna considerare due aspetti.
Primo aspetto: nell'equazione differenziale a secondo membro non si può mettere semplicemente il prodotto del momento di inerzia per l'accelerazione angolare, ma occorre scrivere la più generale derivata del momento angolare, poiché se h varia anche il momento di inerzia I varia.
Inoltre: come avevo già detto in un post precedente, occorre tenere conto del fatto che il carrello non è fisso, dunque esiste una ulteriore forza di inerzia che modifica la dinamica della massa m. Questo fatto non è stato considerato nella soluzione dell'esercizio, forse perché per angoli $\theta$ piccoli ignorare questo fatto comporta errori molto piccoli. Però adesso per necessità di quanto seguirà più avanti, la cosa non può essere ignorata, dunque riporto nell'equazione differenziale anche il contributo della "gravità" apparente causata dalla accelerazione del carrello.
L'equazione differenziale diventa dunque la seguente:
$$ - k\theta + mgh\sin \theta - b\dot \theta + m\ddot xh\cos \theta = \frac{{dL}}
{{dt}} = \frac{d}
{{dt}}\left( {m{h^2}\dot \theta } \right) = m{h^2}\ddot \theta + 2mh\dot h\dot \theta $$
Secondo aspetto: nelle formule della dinamica della massa sospesa m, se h varia entra in gioco oltre alla forza centrifuga anche la forza di Coriolis. Allora nella formula della $f_x$ c'è appunto un termine aggiuntivo che riguarda la componente x di questa forza. Inoltre considero anche qui la "gravità" apparente dovuta alla accelerazione del carrello. Da ultimo, per completezza aggiungo subito anche la $f_1$ che nel post precedente avevo messo solo alla fine. Si hanno allora le seguenti formule delle forze:
$$\eqalign{
& {f_2} = mg\cos \theta - mh{{\dot \theta }^2} - m\ddot x\sin \theta \cr
& {f_x} = \left( {mg\cos \theta - mh{{\dot \theta }^2} - m\ddot x\sin \theta } \right)\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta + 2m\dot h\dot \theta \cos \theta + mh\ddot \theta \cos \theta - m\ddot x + {f_1} \cr} $$
Mettendo insieme le formule già scritte ritrovo la formula della accelerazione x. Ecco i passaggi:
$$\eqalign{
& \left( {{m_1} + m} \right)\ddot x = {f_2}\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta + 2m\dot h\dot \theta \cos \theta + {f_1} + mh\ddot \theta \cos \theta \cr
& mh\ddot \theta \cos \theta = - \left( {\frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{h}} \right)\cos \theta + mg\sin \theta \cos \theta + m\ddot x{\cos ^2}\theta - 2m\dot h\dot \theta \cos \theta \cr
& \left( {{m_1} + m} \right)\ddot x = {f_2}\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta + 2m\dot h\dot \theta \cos \theta + {f_1} - \left( {\frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{h}} \right)\cos \theta + mg\sin \theta \cos \theta + m\ddot x{\cos ^2}\theta - 2m\dot h\dot \theta \cos \theta \cr
& \ddot x = \frac{{{f_2}\sin \theta - \left( {\frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{h}} \right)\cos \theta + {f_1}}}
{{{m_1} + m\left( {1 - {{\cos }^2}\theta } \right)}} \cr
& {m_{1c}} = {m_1} + m\left( {1 - {{\cos }^2}\theta } \right) \cr
& \ddot x = - \left( {\frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{{h{m_{1c}}}}} \right)\cos \theta + \frac{{{f_2}\sin \theta }}
{{{m_{1c}}}} + \frac{{{f_1}}}
{{{m_{1c}}}} \cr} $$
Come si vede la soluzione è quasi uguale a quella trovata nel mio primo post, con una correzione però inerente la massa a denominatore, che non è più quella del carrello $m_1$, ma diventa la massa corretta $m_(1c)$. Questa massa corretta può essere ottimamente assimilata a $m_1$ se la m è piccola, e ancor più se l'angolo $\theta$ è piccolo. Penso sia quest'ultima la ragione per la quale la soluzione data nell'esercizio del libro utilizza direttamente la $m_1$.
Fine dei calcoli per la prima soluzione
--------------------------------------------------
Passiamo adesso a calcolare l'accelerazione di h.
Nel sistema rotante e traslante costituito dall'asta, la massa m si muove in modo radiale. Pertanto la sua dinamica segue le regole del moto relativo rotatorio, nel quale entrano in gioco sia le forze attive sia le forze apparenti caratteristiche del moto rotatorio, oltre che la forza orizzontale apparente dovuta alla accelerazione secondo x del carrello. Mettendo insieme le cose salta fuori la seguente relazione:
$$\ddot h = \frac{{{f_2}}}
{m} - g\cos \theta + h{{\dot \theta }^2} + \ddot x\sin \theta $$
Il primo termine a destra del segno di uguaglianza è la quota di accelerazione dovuta al motore elevatore, il secondo è la componente della gravità lungo l'asta, il terzo è la accelerazione centrifuga, il quarto termine è la "gravità" apparente orizzontale generata dalla accelerazione del carrello.
Riprendendo la formula della accelerazione secondo x del carrello già trovata sopra, si hanno i seguenti passaggi:
$$\eqalign{
& \ddot x = - \frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{{{m_{1c}}h}}\cos \theta + \frac{{{f_2}}}
{{{m_{1c}}}}\sin \theta + \frac{{{f_1}}}
{{{m_{1c}}}} \cr
& \ddot h = - \frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{{{m_{1c}}h}}\sin \theta \cos \theta + \frac{{{f_2}}}
{{{m_{1c}}}}{\sin ^2}\theta + \frac{{{f_1}}}
{{{m_{1c}}}}\sin \theta + \frac{{{f_2}}}
{m} - g\cos \theta + h{{\dot \theta }^2} \cr
& \ddot h = - \frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{{2{m_{1c}}h}}\sin 2\theta + \frac{{{f_2}}}
{{{m_{1c}}}}{\sin ^2}\theta + \frac{{{f_1}}}
{{{m_{1c}}}}\sin \theta + \frac{{{f_2}}}
{m} - g\cos \theta + h{{\dot \theta }^2} \cr} $$
Fine dei calcoli per la seconda soluzione
--------------------------------------------------
Adesso occorre calcolare l'accelerazione angolare. Qui ci aiuta l'equazione differenziale trovata sopra:
$$ - k\theta + mgh\sin \theta - b\dot \theta + m\ddot xh\cos \theta = m{h^2}\ddot \theta + 2mh\dot h\dot \theta $$
Da questa e dalla soluzione della accelerazione secondo x si ricava:
$$\eqalign{
& \ddot \theta = - \left( {\frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{{m{h^2}}}} \right) + \frac{{g\sin \theta }}
{h} + \frac{{\ddot x\cos \theta }}
{h} - \frac{{2\dot h\dot \theta }}
{h} \cr
& \ddot \theta = - \frac{{\left( {k\theta + b\dot \theta } \right)}}
{{{h^2}m}} + \frac{{g\sin \theta }}
{h} - \left( {\frac{{k\theta + b\dot \theta }}
{{{h^2}{m_{1c}}}}} \right){\cos ^2}\theta + \frac{{{f_2}\sin \theta \cos \theta }}
{{h{m_{1c}}}} + \frac{{{f_1}\cos \theta }}
{{h{m_{1c}}}} - \frac{{2\dot h\dot \theta }}
{h} \cr} $$
Salvo errori, ovviamente.
Rispondo solo ora perchè in questi giorni ho trascritto tutto a mano cercando di verificare piano piano tutte le formule e non ho trovato alcun errore.
Sei stato davvero gentilissimo per la spiegazione completa del modello.
Ci sono dei passaggi a cui proprio non sarei riuscito ad arrivare; ad esempio f2 la vedevo come una forza applicata indipendente con un suo proprio valore invece tu l'hai posta uguale ad alcune componenti fisiche.
Infine volevo solo chiederti, ora che sto riguardando tutti i conti per bene:
quando nelle formule metti la massa m ti riferisci sempre alla massa in elevazione m2?
Sei stato davvero gentilissimo per la spiegazione completa del modello.
Ci sono dei passaggi a cui proprio non sarei riuscito ad arrivare; ad esempio f2 la vedevo come una forza applicata indipendente con un suo proprio valore invece tu l'hai posta uguale ad alcune componenti fisiche.
Infine volevo solo chiederti, ora che sto riguardando tutti i conti per bene:
quando nelle formule metti la massa m ti riferisci sempre alla massa in elevazione m2?
"alereds":
quando nelle formule metti la massa m ti riferisci sempre alla massa in elevazione m2?
Naturalmente sì, mi sono preso la libertà di togliere il pedice solo per velocizzare la scrittura delle formule
Ok immaginavo 
Quando invece dici che l'asta sopporta il peso della massa m, ho capito la forza centrifuga che alleggerisce ma come mai il termine che viene poi moltiplicato per il seno dell'angolo è mgcos ?
Quando invece dici che l'asta sopporta il peso della massa m, ho capito la forza centrifuga che alleggerisce ma come mai il termine che viene poi moltiplicato per il seno dell'angolo è mgcos ?
Intendo questo passaggio qui che non mi è chiarissimo..
"Falco5x":
L'asta sopporta il peso della massa m, il quale però è "alleggerito" dalla forza centrifuga dovuta alla rotazione della massa.
In totale l'asta comunica al carrello la seguente forza in senso x:
$${f_x} = \left( {mg\cos \theta - mh{{\dot \theta }^2}} \right)\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta + mh\ddot \theta \cos \theta $$
La forza centrifuga è allineata con l'asta, mentre la forza peso no, dunque è solo la componente della forza peso proiettata sull'asta quella che viene alleggerita dalla forza centrifuga, e poi entrambe vanno moltiplicate per il seno dell'angolo per dare il comune contributo in direzione x.
La forza peso però contribuisce anche in direzione normale all'asta, e allora ecco il termine successivo, sempre proiettato nella direzione x.
La forza peso però contribuisce anche in direzione normale all'asta, e allora ecco il termine successivo, sempre proiettato nella direzione x.
E l'ultimo termine, sempre riguardante la stessa equazione che ho quotato prima, a cosa si riferisce?
Infine volevo sapere: qui sotto quando moltiplichi la accelerazione nel senso x per la massa, metti (m1 + m) poichè consideri il sistema come somma delle masse giusto?
Infine volevo sapere: qui sotto quando moltiplichi la accelerazione nel senso x per la massa, metti (m1 + m) poichè consideri il sistema come somma delle masse giusto?
"Falco5x":
$$\eqalign{
& \left( {{m_1} + m} \right)\ddot x = {f_2}\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta + 2m\dot h\dot \theta \cos \theta + {f_1} + mh\ddot \theta \cos \theta \cr} $$
In un sistema di riferimento rotante con accelerazione angolare non nulla la accelerazione assoluta è uguale alla somma di 4 addendi: accelerazione relativa, accelerazione centripeta, accelerazione di Coriolis, accelerazione di trascinamento tangenziale. Nel sistema relativo le forze apparenti sono il prodotto della massa per gli ultimi tre addendi.
L'ultimo termine della mia formula rappresenta la forza apparente corrispondente all'inverso della accelerazione di trascinamento tangenziale, proiettata secondo la direzione e il verso di x.
Comunque la formula che hai riportato è quella semplificata che considera il carrello fermo e la massa m fissa.
Successivamente io l'ho completata ed è diventata la seconda che tu hai riportato, però per spiegarla bene è meglio trascriverla come era nel passaggio precedente, ovvero:
$${f_x} = \left( {mg\cos \theta - mh{{\dot \theta }^2} - m\ddot x\sin \theta } \right)\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta + 2m\dot h\dot \theta \cos \theta + mh\ddot \theta \cos \theta - m\ddot x + {f_1}$$
che poi introducendo la f2 diventerebbe
$${f_x} = {f_2}\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta + 2m\dot h\dot \theta \cos \theta + mh\ddot \theta \cos \theta - m\ddot x + {f_1}$$
Questa espressione dice che la forza totale cui è soggetto il carrello di massa m1 (e solo lui) è uguale a quanto compare a secondo membro.
Questo passaggio l'avevo saltato perché mi pareva ovvio, ma lo trascrivo qui per analizzare meglio la cosa.
Come vedi a secondo termine c'è l'addendo $ - m\ddot x$, il quale dà ragione del fatto che il sistema rotante descritto sopra non è fermo, ma è a sua volta su un sistema accelerato che è il carrello. Dunque a tutte le forze apparenti caratteristiche del moto rotatorio va aggiunta anche la forza apparente dovuta alla accelerazione di traslazione orizzontale del sistema. Per questo c'è quell'addendo, che poi riportato a primo membro dà luogo all'espressione che segnalavi tu:
$$\left( {{m_1} + m} \right)\ddot x = {f_2}\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta + 2m\dot h\dot \theta \cos \theta + {f_1} + mh\ddot \theta \cos \theta $$
Questa è la ragione per la quale sembra che ci sia la somma delle masse e non soltanto la m1.
Se però non sono stato del tutto chiaro fammelo sapere, così cerco di spiegare meglio (se riesco).
L'ultimo termine della mia formula rappresenta la forza apparente corrispondente all'inverso della accelerazione di trascinamento tangenziale, proiettata secondo la direzione e il verso di x.
Comunque la formula che hai riportato è quella semplificata che considera il carrello fermo e la massa m fissa.
Successivamente io l'ho completata ed è diventata la seconda che tu hai riportato, però per spiegarla bene è meglio trascriverla come era nel passaggio precedente, ovvero:
$${f_x} = \left( {mg\cos \theta - mh{{\dot \theta }^2} - m\ddot x\sin \theta } \right)\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta + 2m\dot h\dot \theta \cos \theta + mh\ddot \theta \cos \theta - m\ddot x + {f_1}$$
che poi introducendo la f2 diventerebbe
$${f_x} = {f_2}\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta + 2m\dot h\dot \theta \cos \theta + mh\ddot \theta \cos \theta - m\ddot x + {f_1}$$
Questa espressione dice che la forza totale cui è soggetto il carrello di massa m1 (e solo lui) è uguale a quanto compare a secondo membro.
Questo passaggio l'avevo saltato perché mi pareva ovvio, ma lo trascrivo qui per analizzare meglio la cosa.
Come vedi a secondo termine c'è l'addendo $ - m\ddot x$, il quale dà ragione del fatto che il sistema rotante descritto sopra non è fermo, ma è a sua volta su un sistema accelerato che è il carrello. Dunque a tutte le forze apparenti caratteristiche del moto rotatorio va aggiunta anche la forza apparente dovuta alla accelerazione di traslazione orizzontale del sistema. Per questo c'è quell'addendo, che poi riportato a primo membro dà luogo all'espressione che segnalavi tu:
$$\left( {{m_1} + m} \right)\ddot x = {f_2}\sin \theta - mg\sin \theta \cos \theta + 2m\dot h\dot \theta \cos \theta + {f_1} + mh\ddot \theta \cos \theta $$
Questa è la ragione per la quale sembra che ci sia la somma delle masse e non soltanto la m1.
Se però non sono stato del tutto chiaro fammelo sapere, così cerco di spiegare meglio (se riesco).
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